中考數學解決最值問題（中考數學之最值問題）

2023-10-13 09:29:11

今天我們來說說「將軍飲馬」的數學模型，將軍飲馬問題在中考數學裡邊出現的頻率相對來說是比較高的，各位同學要一定要注意。

「將軍飲馬」的由來

相傳古希臘亞裡山大裡亞城有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠千裡專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題:將軍從A地出發到河邊飲馬，然後再到B地軍營視察，顯然有許多走法。問走什麼樣的路線最短呢?精通數理的海倫稍加思索，便作了完善的回答。這個問題後來被人們稱作「將軍飲馬」問題。

唐朝詩人李欣的《古從軍行》中有這麼一句話：「白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。」這首詩裡面也隱含著飲馬圖的基本模型。

「將軍飲馬」數學模型

模型一：「一線兩點」型（一動兩定型）

（1）異側線段和的最小值問題（初一課本原型）

常考問題：兩定點A和B位於直線l異側，在直線l上找一點P，使得PA PB值最小。

解題思路：根據兩點之間線段最短，PA PB的最小值即為線段AB的長，連接AB交直線l於點P，點P即為所求。

【例1】如圖，在Rt ABC中，∠B=90° , ∠BAC=60°,AB=2，BD是AC上的高，E是BC邊的中點，F是BD上的一點，則AF EF的最小值為

【例2】如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，AD是BC邊的中線，F是AD邊的動點，E是AB邊上一點，且AE＝２，則線段EF＋CF的最小值是　　　　　。

（２）同側線段和最小值問題

常考問題：兩定點A和B位於直線l同側，在直線l上找一點P，使得PA PB值最小。

解題思路：將兩定點同側問題轉化為異側問題，利用異側線段和最小值問題方法解決即可。

【例3】如圖在直角三角行ABC中AB=BC=4，點D，E分別是AB、AC的中點，在CD上找一點P，使PA PE的值最小，則這個最小值為 。

【例4】如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB邊上的一點，且AE=1，點Q為對角線AC上的動點，則三角形BEQ周長的最小值為 。

【例5】如圖在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動點P滿足三角形ABC的面積是矩形ABCD面積的 ，則點P到A、B兩點之間距離之和PA PB的最小值為 .

（3）同側線段差的最大值問題

常考問題：兩定點A和B位於直線l同側，在直線l上找一點P，使得 值最大。

解題思路：當A、B、P三點不共線時，根據三角形任意兩邊之差小於第三邊可得 ，當A、B、P三點共線時， ，則 的最大值為線段AB的長，連接AB並延長，與直線l的交點即為P點。

【例6】(2019陝西14題3分)如圖，在正方形ABCD中AB=8，AC與BD交於點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM=6，P為對角線BD上一點，則PM-PN的最大值是 。

【例7】如圖，在 中，∠BAC＝90°，AB＝2，sinC= ，Ｅ為AC的中點，P為BC上一動點，則的最大值為　　　　。

（４）異側線段差的最大值問題

常考問題：兩定點A和B位於直線l異側，在直線l上找一點P，使得 值最大。

解題思路：解決異側線段差的最大值問題時，可將異側點轉化為同側問題，用同側線段差最大值問題的解決方法解決。

【例9】如圖，已知 三角形ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上一動點，則的最大值　　　　。

【例10】如圖，正方形ABCD的邊長為2， 三角形ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD外，在射線AC上有一動點P，當 的值最大時，AP＝　　　　。

以上內容就是今天要分享的「將軍飲馬"問題的一個模型，「將軍飲馬」大多數時候需要做對稱的，同學們注意先看清楚題目的信息再下筆，分清楚它到底是屬於哪一種模型，然後再下筆。

下次我們再分享「將軍飲馬」的其他模型。