古代算術方法大全（古人的算數盈不足術）

2023-05-30 10:45:03

　　什麼是盈不足術，它是怎麼解決問題的呢？

　　盈不足術中 「盈」就是「多」的意思，「不足」就是「少」的意思，因此盈不足術是在解決「盈虧類」問題。比如，在《九章算術》中就有一道非常著名的題目，今天我們就拿它來給大家詳細介紹下盈不足術是怎麼解決問題的。

　　題目是這樣的：「今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數、物價各幾何？」用我們現在的話就是說：「有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈餘3元，每日人出7元，則還差4元。請問共有多少人？這個物品的價格是多少？」

　　這個題如果放到現在來說，我們可以應用方程組求解，假設共有x個人，物品的價格為y元，則8x-y=3、y-7x=4，因此我們非常容易就能得到答案:x=7， y=53。

　　但對於不會方程組的古人來說，他們是怎麼靠盈不足術解決的呢？

　　第一，我們需要先將上題的表述抽象化為：有一些人共同買一個物品，每人出x1元，還盈餘y1元；每人出x2元，則還差y2元。請問共有多少人？這個物品的價格是多少？

　　第二將，x1、 y1、 x2、 y2排成如下矩陣：

　　這個矩陣的表述就是，如果只買一件的話，每人出x1元，還盈餘y1元；每人出x2元，則還差y2元。

　　第三，我們要找到當買1件物品時一種「不盈不虧」的出錢方法。因此我們可以將上面矩陣的第一列都乘以y2，第二列都乘以y1 。

　　根據上面的矩陣我們可以知道，第一次交易盈餘y1y2元；第二次交易還差y1y2元。如果將兩次交易相加，買y1 y2個物品，則盈餘、不足抵消，即「不盈不虧」。也就是，買1件物品時，每人應出錢：（x1y1 x2y2）/（y1 y2）元。

　　第四，我們開始計算人數，方法就是用兩次交易總金額的差，除以每人出錢的差，即（y1 y2）/ （x1-x2）。於是，我們的物價也可以得出了，就是用人數乘以每人應出錢數，化簡後就是（x1y1 x2y2）/（ x1-x2）。

　　綜上所述，我們可以知道盈不足術的三個公式，以後只要遇到盈虧問題，人們只要套用公式即可，就不需要一步步推算啦。假設x0表示每人實際應出錢數， A表示人數， B表示物價，則公式如下。

　　最後，回到問題的最開始，你知道怎麼利用盈餘不足術的公式來計算了嗎？

　　本文由山東省萊州市文峰中學二級教師李奕樊進行科學性把關。