幾何推理的方法（數學推理方法之枚舉法）

2023-08-11 13:52:32 1

思想者

有人問一位藝術家是怎麼雕刻出栩栩如生的人像來的，藝術家回答說：「拿一塊石頭來，把多餘的部分砍掉就是了。」這就是說，「法無定法」。數學推理也是如此，很難說用什麼方法便能解決什麼數學問題。但是，藝術家的創造雖無固定模式，他所用的工具卻可以一一列舉。每種工具也有一定的基本用法。解決數學問題雖無固定模式，但數學推理常用方法卻大體可以列出那麼幾條。不過，使用起來，也就像雕刻家手中的刀鑿斧鋸，「運用之妙，存乎一心」了。

枚舉法——盡掘七十二疑冢

枚舉法，就是把要討論的問題分成若干個具體情形，一一考查，各個擊破。我們當然不希望用這種辦法做題，但有時沒有別的更好的辦法，也只有用枚舉法了。

例如，要問137是不是素數，只要檢查一下，比根號137小的素數是不是137的因數？小於根號137的素數有2、3、5、7、11這五個。逐個驗算，都不是137的因數，所以137是素數。

下面一個有趣的問題，也是用枚舉法解決的。

在一張紙條上寫下兩個自然數x和y之和，交給數學家甲。另一張紙條上則寫下這兩個自然數之積，交給另一個城市的數學家乙。兩人都被告知，x、y都是大於1而且不超過40的整數。甲乙兩位數學家在電話中討論。

甲說：「我斷定，你不可能知道我手中是什麼數。」

乙說：「是的，我不能肯定你的數是什麼。」

過了一會兒，甲說：「可是，現在我知道你的數了！」

乙回答說：「那我也知道你的數了。」

現在請問，x、y各等於多少？他們兩人又是如何知道對方手中的數字呢？

從反面想，如果乙手中的數是兩個素數之積（如6=2×3，9=3×3，15=3×5），乙馬上可以猜出甲手中是這兩個素數之和。甲能斷定乙不知道他手中的數，可見甲手中的數不能寫成兩個素數之和。因此我們便知道（乙也知道）甲手中的數不外是：11、17、23、27、29、35、37，七種可能。讓我們一一分析各種情形：

如果甲手中是37，因37=2 35=3 34=...，故乙手中可能是2×35=70，3×34=102，等等。如乙手中是70=7×10，乙有可能猜甲手中是17。如乙手中是102=6×17，則可能猜甲手中為23。總之，兩種情形之下乙都可能猜錯。故甲從乙的「不能肯定」無法確定乙手中是70還是102，或別的。然而甲知道了，故甲手中不是37。

同理，若甲手中是35，35=33 2=13 22=...，乙手中可能是33×2=66，13×22=286......若為66=6×11，乙可能猜甲為17，若為286=26×11，乙可能猜37。兩種情形都會猜錯。甲無法知道乙是66還是286。故甲手中不是35。

同理，29=24 5=20 9...，乙手中可能是24×5=120，20×9=180，...而120=8×15，180=12×15，乙可能錯認為甲是23或27。故甲手中不是29。

同理，23=20 3=15=8。再由3×20=60=12×5，而5 12=17；15×8=120=24×5，而24 5=29。得甲非23。

同理，17=15 2=14 3，再由15×2=30=5×6，而5 6=11；14×3=42=2×21=23。故甲非17。

剩下一種可能：甲手中是11。由於11=2 9=3 8=4 7=5 6，

故甲可以判斷乙手中不外是2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30四種情形。

若乙手中是18，18=2×9=3×6，故乙只能猜甲為2 9=11或3＋6=9，而9是不可能的，於是乙能肯定甲是11。但乙說他不能肯定，故乙非18。

同理，若乙手中是24=3×8=4×6=2×12，乙可猜甲是11、10、14，而10和14不可能，乙知甲是11。這不可能，故乙非24。

同理，有28=4×7=2×14，而甲不可能是14 2=16，乙知甲是11。這不可能，故乙非28。

最後，若乙手中是30=5×6=2×15=3×10，乙可能猜甲手中是11或17（13不可能），這兩個可能性都存在。因而乙不能斷定甲手中的數是什麼。這時，甲在乙表示「不能肯定」時斷言乙手中是30。

甲能斷定乙手中是什麼之後，乙也知道了甲手中只能是11。

這個題目解起來，淋漓盡致地使用了枚舉法。

注釋：這個藝術家是羅丹。奧古斯特·羅丹（Auguste Rodin，1840年11月12日—1917年11月17日），法國雕塑藝術家。主要作品有《思想者》《青銅時代》《加萊義民》《巴爾扎克》等。

運用之妙，存乎一心是一個成語，意思是指運用得巧妙、靈活，全在於善於動腦筋思考，出自《宋史·嶽飛傳》：「陣而後戰，兵法之常；運用之妙，存乎一心。」嶽飛沒有留下兵法，卻留下了「運用之妙、存乎一心」的兵法要訣。

毛澤東《論持久戰》：古人所謂「運用之妙，存乎一心」，這個「妙」，我們叫做靈活性，這是聰明的指揮員的出產品。

摘自：院士數學專輯《漫話數學》，張景中、任宏碩著。