初等數論題大全(一道五難數論題的詳細剖析與解答)
2023-05-09 15:36:28
【附】為便於編輯修改,特提供純文本文檔如下:
一道「五難」數論題的詳細剖析與解答
馮躍峰
2018年全國高中數學聯賽加試中,有一道個人認為是質量非常高的數論題,題目如下:
數列{an}定義如下:a1是任意正整數,an 1是與Σi=1nai互質,且異於a1,a2,…,an的最小正整數。試證:每個正整數都在數列{an}中出現。(2018高中數學聯賽加試第4題)
本題有較大的難度,我們稱之為「五難」問題——至少有5個難點。
說其難,並非是它涉及什麼高深的數論知識背景,而是指思維層面上一些作法難於想到。相反地,本題幾乎無需用到數論中的相關定理。
本文的目的,就是發掘本題在突破這些難點上的獨特思路及相應的處理手法。
首先,從目標看,即使是取一個具體的數,比如2018,你也無從判斷它是否屬於W(數列{an}各項組成的集合)。
本題的獨特之處就在於:證某個具體的正整數出現在題給數列W中卻很困難,而證所有正整數出現在數列W中則反而可行(以面帶點)!因為我們有一個強有力的工具:數學歸納法——在歸納假設(某個數屬於W)的前提下,可順利推出下一個數也屬於W,這是解題的第一個難點。
其次,從條件看,直接對n歸納是不可取的,因為「正整數n屬於W」與「正整數n 1屬於W」之間並沒有遞推關係,題中給出的遞歸是an 1與前n項a1,a2,…,an之間的聯繫,無法直接用於判斷「正整數n 1也屬於W」。
應對誰進行歸納?題中並沒有更多的歸納對象可供選擇,這是第二個難點,這也是本題最關鍵的難點之一。
實際上,我們不能對正整數一個個歸納,只能對正整數的某種屬性歸納(分批歸納,同一屬性批次含多個正整數)。
應考察正整數的什麼屬性呢?不妨取一個具體的數列{an}來研究,從中發現與「遞歸」相關的性質。
【研究特例】取a1=1,則易知數列前若干項為:
1,2,4,3,7,5,9,…
該序列各項之間似乎沒有什麼聯繫,但這些項卻有一個共同點,你發現了嗎?——可考察其標準分解式。
【發掘規律】這些數都只含有一個質因數,為pα形式的數。
它啟發我們產生這樣的設想:對於只含有一個質因數的正整數pα,可以統一於一個批次中一次性證明其都屬於W。
由此想到所選擇歸納對象是:正整數n的質因數個數——突破本題最大的難點。
【分批歸納】對正整數含有質因數的個數τ進行歸納。
當τ=1時,正整數為pα形式,我們證明任何pα形式的數都在數列中。
要證明pα∈W,可想像pα=aj。這自然想到驗證pα滿足aj定義中的「三性」:
(1)互異性:aj異於a1,a2,…,aj-1;(2)互素性:(aj,Sj-1)=1;(3)最小性:aj是滿足(1)(2)的最小正整數。
但數列{an}及pα都沒有具體給定,難以從正面找到合乎(1)(2)(3)的正整數j,只能從反面行驗證某個條件「不滿足」,由反設「pαW」,導出矛盾。——這是本題的第三個難點。
【反面思考】反設pαW,則顯然pα滿足(1),所以pα不能同時滿足(2)和(3)。
這能產生怎樣的「有用信息」呢?它還非常隱蔽,很難進一步推理。——這是本題的第四個難點,也是本題的另一個關鍵之處。
儘管不能直接由「pα不能同時滿足(2)和(3)」導出相關結論,但也可以看出一些端倪。比如,我們期待pα不滿足(2),即(pα,S j-1)≠1,因為由此可得出p|S j-1(有用信息)。
現在麻煩的是,我們不能先讓pα滿足(3),因為滿足(3)是以滿足(1)(2)為前提的。所以,我們期待適當選取關聯對象aj,由aj滿足(3)來「倒逼」pα不滿足(2),這是本題的另一個最難之處。
為利用aj的「最小性」,想到取pα<aj。因為這樣一來,pα比aj更小,再「嵌入」一個「反證法」(反設pα滿足(2))則可導出與aj的「最小性」矛盾。
【關聯性質】取數列中的一個項aj,使pα<aj,則有(pα,Sj-1)≠1(產生有用信息),否則與aj的最小性矛盾。
現在的問題是,這樣的aj存在嗎?回答是肯定的,利用數列的無限性即可。
【反面剔除】因為不超過pα的正整數只有有限個,必定存在正整數N,使j≥N 1時,恆有pα<aj。
取j=N 1,可知(pα,SN)≠1,否則與aN 1的最小性矛盾,所以p|SN。
取j=N 2,類似可知,(pα,SN 1)≠1,即p|SN 1。
但(SN 1,SN)=(SN 1-SN,SN)=(aN 1,SN)=1,與p是「公約數」矛盾。
所以,τ=1時結論成立。
值得指出的是,此處的歸納法,「奠基」比「遞推」更難。完成了奠基,後面的遞推就非常順暢了,幾乎與前面的推理類似,當然需稍作優化(還有最後一個難點)。
設τ<k(k≥2)時結論成立,考察τ=k的情形。
與τ=1時類似,難以從正面證明相應的正整數屬於W,宜從反面入手。
【平凡拓廣】反設存在正整數x=p1α1p2α2…pkαkW(這裡αi是正整數,以保證x含有k個不同質因數),取關聯條件:設正整數j,滿足x<aj,則必有(x,Sj-1)≠1,否則與aj的最小性矛盾。
【反面剔除】同樣,因為不超過x=p1α1p2α2…pkαk的正整數只有有限個,必定存在正整數N,使j≥N 1時,恆有x=p1α1p2α2…pkαk0)的正整數都屬於W,取其中一個y=p1β1p2β2…pk-1βk-1=aj。
這裡取定的j,假定能使前面的(*)式仍然成立,這也只需j滿足x=p1α1p2α2…pkαk<aj,即j≥N 1。
對這樣的j,仍存在1≤i≤k,使pi|Sj-1。但由數列定義,(aj,Sj-1)=1,這表明pi(1≤i≤k-1)都不能是Sj-1的約數。
由此可見,滿足「pi|Sj-1」中的pi不能是p1,p2,…,pk-1之一,只能是剩下的唯一質因子pk,它便是我們要找的作為公共質因子p。
【目標轉換】這樣,子目標變為:存在j≥N 1,使pk|Sj,pk|Sj-1。
對上面選定的j(y∈W推得y=aj),並未保證j≥N 1,需要優化。
【優化假設】顯然,為保證j≥N 1,只需y=aj異於a1,a2,…,aN。
此外,(*)中的「pi|Sj-1」是由「x<aj」推得的,為了存在1≤i≤k,使pi|S j-1,必須x<aj,即p1α1p2α2…pkαk =xx,且y異於a1,a2,…,aN(以保證j≥N 1),這兩點能否同時做到?——類似進行反面剔除即可。
【反面剔除】注意到y的「表達式」中的指數βi(1≤i≤k-1)可任意大,從而y=p1β1p2β2…pk-1βk-1可任意大,取y=aj>x,且y=aj異於a1,a2,…,aN是可行的。
對於上述「優化」選定的y=aj,有aj>x,且j≥N 1。
但x異於a1,a2,…,aj-1(因為x不屬於W),所以(x,Sj-1)≠1(否則與aj的最小性矛盾),即存在1≤i≤k,使pi|Sj-1。
進一步,j 1≥N 1,且aj>x,對上述取定的j,又存在存在1≤t≤k,使pt|Sj。
由數列定義,有(aj,Sj-1)=1,進而有,(aj,Sj)=(aj,Sj-aj)=(aj,Sj-1)=1。
再注意到aj= y=p1β1p2β2…pk-1βk-1含有質因數p1,p2,…,pk-1,所以Sj、Sj-1都不含質因數p1,p2,…,pk-1。只能是i=t=k,即pk|Sj-1,pk|Sj。
但(Sj,Sj-1)=(Sj-Sj-1,Sj-1)=(aj,Sj-1)=1,矛盾。
【新寫】設數列{an}各項組成的集合為W,我們證明任何正整數都屬於W。對正整數所含質因數個數τ歸納。
當τ=1時,假定存在pαW,因為不超過pα的正整數只有有限個,必存在正整數N、N 1,使pα< aN 1,pα< aN 2。
易知(pα,SN)≠1,否則與aN 1的最小性矛盾,所以p|SN。同理,p|SN 1。
但(SN 1,SN)=(SN 1-SN,SN)=(aN 1,SN)=1,矛盾。
所以,τ=1時結論成立。
設τx。於是(Sn-1,x)≠1,否則與an的最小性矛盾(xW當然異於a1,a2,…,an-1,但x更小)。於是,存在1≤i≤k,使pi|Sn-1(∀n≥N+1)。(*)
由歸納假設,形如p1β1p2β2…pk-1βk-1的數都屬於W,這樣的數有無窮多,可取正整數aj=p1β1p2β2…pk-1βk-1,使aj異於a1,a2,…,aN(即j≥N+1),且aj>x。
但x異於a1,a2,…,aj-1(因為x不屬於W),所以(x,Sj-1)≠1(否則與aj的最小性矛盾),即存在1≤i≤k,使pi|Sj-1。
進一步,j 1≥N 1,且aj 1>x,對上述取定的j,又存在存在1≤t≤k,使pt|Sj。
由數列定義,(aj,Sj-1)=1,進而(aj,Sj)=(aj,Sj-aj)=(aj,Sj-1)=1,並注意到aj= y=p1β1p2β2…pk-1βk-1含有質因數p1,p2,…,pk-1,所以Sj、Sj-1都不含質因數p1,p2,…,pk-1。只能是i=t=k,即pk|Sj-1,pk|Sj。
但(Sj,Sj-1)=(Sj-Sj-1,Sj-1)=(aj,Sj-1)=1,矛盾,故τ=k時結論成立,命題獲證。
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