三角形中位線逆定理（三角形中位線定理的運用）

2023-05-14 04:01:30

在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D為AC的中點．

（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB於點H．判斷FH與FC的數量關係並加以證明；

（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．

圖1

【涉及考點】全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．

【解題分析】

（1）延長DF交AB於點G，根據三角形中位線的判定得出點G為AB的中點，根據中位線的性質及已知條件AC＝BC，得出DC＝DG，從而EC＝FG，易證∠1＝∠2＝90°﹣∠DFC，∠CEF＝∠FGH＝135°，由AAS證出△CEF≌△FGH．∴CF＝FH．

（2）通過證明△CEF≌△FGH（ASA）得出．

【詳細解答】解：（1）FH與FC的數量關係是：FH＝FC．

證明如下：延長DF交AB於點G，

圖2

由題意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，

∴DG∥CB，

∵點D為AC的中點，

∴點G為AB的中點，且DC=1/2AC，

∴DG為△ABC的中位線，

∴DG=1/2BC．

∵AC＝BC，

∴DC＝DG，

∴DC﹣DE＝DG﹣DF，

即EC＝FG．

∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，

∴∠1 ∠CFD＝90°，∠2 ∠CFD＝90°，

∴∠1＝∠2．

∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，

∴∠DEF＝∠DGA＝45°，

∴∠CEF＝∠FGH＝135°，

∴△CEF≌△FGH，

∴CF＝FH．

（2）FH與FC仍然相等．

理由：由題意可得出：DF＝DE，

∴∠DFE＝∠DEF＝45°，

∵AC＝BC，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA＝∠FGB＝45°，

∴∠FGH＝∠CEF＝45°，

∵點D為AC的中點，DF∥BC，

∴DG＝1/2BC，DC＝1/2AC，

∴DG＝DC，

∴EC＝GF，

∵∠DFC＝∠FCB，

∴∠GFH＝∠FCE，

在△FCE和△HFG中

角CEF=角FGH,EC=GF,角ECF=角GFH

∴△FCE≌△HFG（ASA），

∴HF＝FC．

圖3

【總結】

這道題主要考查了全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識，綜合性強，難度較大．

圖4