十個元素最大的數組（尋找無序數組的第k大元素）

2023-05-06 18:44:54

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作者：小灰

來源：程式設計師小灰

本期封面作者：泰勒太樂

————— 第二天 —————

題目是什麼意思呢？比如給定的無序數組如下：

如果 k=6，也就是要尋找第6大的元素，這個元素是哪一個呢？

顯然，數組中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ...... 第6大的元素是9。

方法一：排序法

這是最容易想到的方法，先把無序數組從大到小進行排序，排序後的第k個元素，自然就是數組中的第k大元素。

方法二：插入法

維護一個長度為k的數組A的有序數組，用於存儲已知的k個較大的元素。

接下來遍歷原數組，每遍歷到一個元素，和數組A中最小的元素相比較，如果小於等於數組A的最小元素，繼續遍歷；如果大於數組A的最小元素，則插入到數組A中，並把曾經的最小元素「擠出去」。

比如k=3，先把最左側的7,5,15三個數有序放入數組A當中，代表當前最大的三個數。

這時候，遍歷到3， 由於35，插入到數組A的合適位置，類似於插入排序，並把原先最小的元素5「擠出去」。

繼續遍歷原數組，一直遍歷到數組的最後一個元素......

最終，數組A中存儲的元素是24,20,17，代表著整個數組中最大的3個元素。此時數組A中的最小的元素17就是我們要尋找的第k大元素。

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什麼是二叉堆？不太了解的小夥伴可以先看看這一篇：漫畫：什麼是二叉堆？（修正版）

簡而言之，二叉堆是一種特殊的完全二叉樹，它包含大頂堆和小頂堆兩種形式。

其中小頂堆的特點，是每一個父節點都大於等於自己的子節點。要解決這個算法題，我們可以利用小頂堆的特性。

方法三：小頂堆法

維護一個容量為k的小頂堆，堆中的k個節點代表著當前最大的k個元素，而堆頂顯然是這k個元素中的最小值。

遍歷原數組，每遍歷一個元素，就和堆頂比較，如果當前元素小於等於堆頂，則繼續遍歷；如果元素大於堆頂，則把當前元素放在堆頂位置，並調整二叉堆（下沉操作）。

遍歷結束後，堆頂就是數組的最大k個元素中的最小值，也就是第k大元素。

假設k=5，具體的執行步驟如下：

1.把數組的前k個元素構建成堆。

2.繼續遍歷數組，和堆頂比較，如果小於等於堆頂，則繼續遍歷；如果大於堆頂，則取代堆頂元素並調整堆。

遍歷到元素2，由於 23，20取代堆頂位置，並調整堆。

遍歷到元素24，由於 24>5，24取代堆頂位置，並調整堆。

以此類推，我們一個一個遍曆元素，當遍歷到最後一個元素8的時候，小頂堆的情況如下：

3.此時的堆頂，就是堆中的最小值，也就是數組中的第k大元素。

這個方法的時間複雜度是多少呢？

1.構建堆的時間複雜度是 O（k）

2.遍歷剩餘數組的時間複雜度是O（n-k）

3.每次調整堆的時間複雜度是 O（logk）

其中2和3是嵌套關係，1和2,3是並列關係，所以總的最壞時間複雜度是O（（n-k）logk k）。當k遠小於n的情況下，也可以近似地認為是O（nlogk）。

這個方法的空間複雜度是多少呢？

剛才我們在詳細步驟中把二叉堆單獨拿出來演示，是為了便於理解。但如果允許改變原數組的話，我們可以把數組的前k個元素「原地交換」來構建成二叉堆，這樣就免去了開闢額外的存儲空間。

因此，方法的空間複雜度是O（1）。

/**

* 尋找第k大的元素

* @param array 待調整的堆

* @param k 第幾大

*/

public static int findNumberK(int[] array, int k){

//1.用前k個元素構建小頂堆

buildHeap(array, k);

//2.繼續遍歷數組，和堆頂比較

for(int i=k; i array[0]){

array[0] = array[i];

downAdjust(array, 0, k);

}

}

//3.返回堆頂元素

return array[0];

}

/**

* 構建堆

* @param array 待調整的堆

* @param length 堆的有效大小

*/

private static void buildHeap(int[] array, int length) {

// 從最後一個非葉子節點開始，依次下沉調整

for (int i = (length-2)/2; i >= 0; i--) {

downAdjust(array, i, length);

}

}

/**

* 下沉調整

* @param array 待調整的堆

* @param index 要下沉的節點

* @param length 堆的有效大小

*/

private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {

// temp保存父節點值，用於最後的賦值

int temp = array[index];

int childIndex = 2 * index 1;

while (childIndex < length) {

// 如果有右孩子，且右孩子小於左孩子的值，則定位到右孩子

if (childIndex 1 < length && array[childIndex 1] < array[childIndex]) {

childIndex ;

}

// 如果父節點小於任何一個孩子的值，直接跳出

if (temp <= array[childIndex])

break;

//無需真正交換，單向賦值即可

array[index] = array[childIndex];

index = childIndex;

childIndex = 2 * childIndex 1;

}

array[index] = temp;

}

public static void main(String[] args) {

int array = new int {7,5,15,3,17,2,20,24,1,9,12,8};

System.out.println(findNumberK(array, 5));

}

方法四：分治法

大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把數組分成較大和較小的兩部分。

我們在尋找第k大元素的時候，也可以利用這個思路，以某個元素A為基準，把大于于A的元素都交換到數組左邊，小於A的元素都交換到數組右邊。

比如我們選擇以元素7作為基準，把數組分成了左側較大，右側較小的兩個區域，交換結果如下：

包括元素7在內的較大元素有8個，但我們的k=5，顯然較大元素的數目過多了。於是我們在較大元素的區域繼續分治，這次以元素12位基準：

這樣一來，包括元素12在內的較大元素有5個，正好和k相等。所以，基準元素12就是我們所求的。

這就是分治法的大體思想，這種方法的時間複雜度甚至優於小頂堆法，可以達到O（n）。有興趣的小夥伴可以嘗試用代碼實現一下。

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