問題化的深度學習與實踐（基於深度思考的解題）

2023-04-21 00:47:00 1

數學解題就是在弄清題意的基礎上，根據題目的條件和結論，熟練地運用數學基礎知識與基本技能，進行正確的推理、運算，直至求得題目正確答案的過程。

對數學教學而言，不僅要把「題」作為研究的對象，把「解」作為研究的目標，而且也要把「解題活動」作為對象，把學習數學基礎知識、熟練數學基本技能、學會「數學的思考方式」、促進「人的發展」作為目標。教學中的解題更多的是一個數學學習的過程，是一個再創造或再發現的過程，通過解題，學習數學知識；通過解題，學會「數學的思考方式」；通過解題，提升分析問題、解決問題的能力；通過解題，檢測、評價數學學習情況。

我們都在做無效又不敢不做的工作——刷題,話題太沉重，作為老師很想談及做題的目的是什麼這個問題。做的目的，當然有一部分是為了得到答案，但這不應該是做題的初衷，或者說，做題的初心。

做題的初心應該是通過做題去掌握我們所學的知識。在中學階段，我們的學習跟應用可能還有一段距離，最大的應用可能就是做題，但是做題和學習知識是一件事的兩個方面，如果我們不能很好地理解這裡面的關係，我們很難將知識學習好。

數學畢竟是一門偏重於邏輯和運算的學科，刷一定數量的題是必要的，但是我們不是毫無目的的刷題，刷題過程中，我們要對解題過程進行反思：做題——對答案——看解析——總結歸納知識點及解題方法——通過一定量的做題總結出題套路，不要做死題，歸納總結才是王道！

首先，數學審題是解題第一要務。

審題錯誤可能就會讓思考方向偏了，即使你懂得再多，也無濟於事。當然，如果你要拿高分，就必須會檢查方法。

例1.問題背景

如圖（1），△ABD，△AEC都是等邊三角形，△ACD可以由△AEB通過旋轉變換得到，請寫出旋轉中心、旋轉方向及旋轉角的大小．

嘗試應用

如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，AB為邊，作等邊△ACD和等邊△ABE，連接ED，並延長交BC於點F，連接BD．若BD⊥BC，求

的值．

拓展創新

如圖（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，將線段AC繞點A順時針旋轉90°得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．

【分析】問題背景

由等邊三角形的性質得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，證得△ACD≌△AEB（SAS），由旋轉的概念可得出答案；

嘗試應用

證明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性質得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性質得出BF＝DF，則可得出答案；

拓展創新

過點A作AE⊥AB，且使AE＝AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質求出BE，PE的長，則可得出答案．

【解答】問題背景

解：∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，

∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，

∴∠BAD ∠BAC＝∠CAE ∠BAC，

∴∠DAC＝∠BAE，

∴△ACD≌△AEB（SAS），

∴△ACD可以由△AEB繞點A順時針旋轉60°得到，

即旋轉中心是點A，旋轉方向是順時針，旋轉角是60°；

嘗試應用

∵△ACD和△ABE都是等邊三角形，

∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，

∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，

∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，

∵∠ADC＝∠ACD＝60°，

∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，

∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，

設BF＝x，則CF＝DF＝2x，DE＝3x，

∴；

拓展創新

∵∠ACB＝90°，

∴點C在以AB為直徑的圓上運動，取AB的中點D，連接CD，

∴CD＝AB＝1，

如圖，過點A作AE⊥AB，且使AE＝AD，連接PE，BE，

∵將線段AC繞點A順時針旋轉90°得到線段AP，

∴∠PAC＝90°，PA＝AC，

∵∠EAD＝90°，∴∠PAE＝∠CAD，

∴△CAD≌△PAE（SAS），∴PE＝CD＝1，

∵AB＝2，AE＝AD＝1，

∴BE＝，

∴BP≤BE PE＝，

∴BP的最大值為．

其次，完成一個題目只是一個開始，我們還要去回顧題目，去總結歸納。

總結歸納除了知識點之外，更重要的是自己的一些做題習慣和做題方法是否恰當。

如果在做題過程中發現自己的思維漏洞、解題惡習、知識漏洞或者是不成體系等問題，這就是給我們精進的機會，每日精進不是一句空話，需要我們在不斷實踐之中提升。

在數學學習過程中，我認為對題目的深度反思總結是最重要的方法，好的反思總結方可以讓你舉一反三，以一敵百，做一題勝過刷題百題千題。

可以說，解題後的反思有利於激活數學認知，並生長相關數學思維. 一方面，通過解題反思，探究解題錯誤的發生以及解法的發現過程，理清解題規律，理解解題關鍵，積累更多的解題經驗；另一方面，對問題進行宏觀上的進一步認識和理解，透過現象看本質，對問題進行必要的拓展和延伸，以使相關解題策略內化為個體後續解題自發的知識和能力.

第三，解題時多關註解法中涉及到的思想方法，理解清楚這些思想方法如何在解題過程中起作用，這樣的解題過程才是有收穫的。

否則，做題目就像狗熊掰玉米一樣，辛辛苦苦地掰了很多玉米，但掰了又扔，到最後手上也沒剩幾個玉米。

數學思想的培養離不開數學語言，數學概念必須從現實現象中抽象出來，教師引導學生通過觀察、比較、分析、概括、進而抽象形成數學概念或定理。

引導學生理解題目，尋找題感，弄清知識、定理的來龍去脈，有了見識的基礎知識和融會貫通的思想方法，數學思維才能很快的應用於數學問題的解決中。

所以，每做一道題，特別是有一定難度的題目，做完以後都要像下棋那樣進行「復盤」。很多時候，我們從「復盤」中得到的收穫（多總結），往往比做題時大得多。

做題目的一個重要原則是「重質不重量」。多關注那些解法有代表性的題目，把解法琢磨透徹。這樣的題目，做一題頂幾十題。

好的題目通常是難度適中。如果太簡單了，解法沒有太多研究價值；如果太難了，即使把題目做出來，也沒有足夠的能力把解法的精髓吃透。當然，做難題本身也是很好的鍛鍊機會。

經常有學生會這麼說：老師你的每一步我都能看懂，但是即使再給我十次機會我還是想不到會這麼做，相信很多同學可能都有這種感受。

作為一名老師，如果你只告訴學生該怎麼做是遠遠不夠的，你更應該告訴學生你是如何思考的。優秀的老師不止傳授給學生知識和方法，更重要的是傳授給學生如何思考如何分析問題的數學思想，這樣才能提高孩子的思維能力。

對於解題教學來說，教師應該 從學生的想法入手進行分析以及會遇 到哪些難以逾越的障礙，儘可能地揭示 其 背 景，使學生儘可能地做到「解 一 題 知一類」；還要把題目講深講透，儘可能 做到開發學生的智力……這 樣 的 解 題 教 學，從 表 面 上 來 看，會花很多時間來 講解一道題目，似乎是在浪費學生的生 命，而事實上卻能使學生真正掌握這類 題 目，鍛 煉 了 思 維，學得了真正的數學 知識（包括解題方法）. 無論是培養其應 考能力還是提升其數學核心素養，都是 值得的，並且這一過程也是必須經歷的， 從這個意義上來說，數學教師的如此課 堂教學沒有浪費學生的生命而是延長 了學生的生命！

例2.在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以原點O為圓心，半徑為3的⊙O上，連接OC，過點O作OD⊥OC，OD與⊙O相交於點D（其中點C，O，D按逆時針方向排列），連接AB．

（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數為_____；

（2）連接AC，BC，點C在⊙O上運動的過程中，當△ABC的面積最大時，請直接寫出△ABC面積的最大值是_______．

（3）連接AD，當OC∥AD，點C位於第二象限時，

①求出點C的坐標；

②直線BC是否為⊙O的切線？並說明理由．

【分析】本題是圓的綜合題目，考查了掌握切線的判定定理、平行線的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握切線的判定和直角三角形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解題的關鍵，屬於中考常考題型．

【解答】：（1）∵點A（6，0），點B（0，6），∴OA＝OB＝6，

∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，

∵OC∥AB，∴當C點在y軸左側時，∠BOC＝∠OBA＝45°；

當C點在y軸右側時，∠BOC＝90° ∠OBA＝135°；

綜上所述，∠BOC的度數為45°或135°，故答案為：45°或135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB＝OA＝，

∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，

過O點作OE⊥AB於E，OE的反向延長線交⊙O於C，如圖1：

此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，

∴OE＝AB＝，

∴CE＝OC OE＝3 ，

∴△ABC的面積＝CE•AB＝；

即當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為 18；

（3）①過C點作CF⊥x軸於F，如圖2：

∵OC∥AD，

∴∠COF＝∠DAO，

又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，

∴△OCF∽Rt△AOD，

∴，即，

解得：CF＝，

在Rt△OCF中，OF＝，

∴C點坐標為（﹣，）；

②直線BC是⊙O的切線．理由如下：

由①得：C（﹣，），

在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，

∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，

∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，

∵在△BOC和△AOD中，

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，

∴OC⊥BC，∴直線BC為⊙O的切線．

中學數學解題對學生的數學學習、思維培養、文化修養諸方面都有著積極的意義。

１通過解題，鞏固和深化數學的基礎知識與基本技能

數學與其他學科不同，數學書中有許多公式、法則、定義、定理等，都比較抽象。

這些一般都不應死記硬背，而應通過解題逐步地理解、掌握.解題的目的之一就在於通過解題，深化對相關知識、方法的理解，建立相關知識之間的內在聯繫。

有經驗的教師有時會把一些需要學習的定理、法則、公式等編成題，引導學生進行探究，變枯燥的教條為具體生動的問題探究；為了讓學生深入地理解和掌握數學的基礎知識與基本技能，有經驗的教師不是機械地、簡單重複地提問或要求學生背誦有關的定義、定理、法則等，而往往通過豐富多彩的練習，讓學生從不同的角度去體會、理解相關的定理、法則的含義、作用，也往往通過相關的題目去檢驗學生的理解與掌握的情況。

２通過解題，學習、領悟數學的思想方法

數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂。引導學生領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是使學生提高思維水平，真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀念，從而發展數學、運用數學的重要保證。

思想方法等，而這些思想和方法都可以在不斷的解題過程中感知和體會並很好地掌握，因此從這種角度上可以說解題是學習好數學最有力的工具。

3.通過解題，培養理性的思維能力

數學是一門理性思維的學科，要學好數學必須具備一定的理性的思維能力。反過來，學習數學的過程正是培養這種理性思維能力的過程.正如培根所說：「演算使人精密，………個思維不集中的人，他可以研習數學，因為數學稍不仔細就會出錯。」

解一道題的過程實際上是將腦海中的知識點進行一次系統的、有邏輯的重組，要具備辯證的思維能力，運用觀察、試驗、比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，分析找到解決問題的突破口，再進行推論和闡述.解一道綜合性較高、知識性較強的題，不但是原有知識的鞏固、綜合與消化，更是一種將原有知識的提升和升華的有效途徑。

簡言之，就是有助於學生形成崇尚科學、善於思辨的思維習慣，而這對於學生學習數學來說是不無裨益的。

4.通過解題，獲得學習數學的靈感

學好數學是要有靈感的，從心理學的角度講靈感是由疑難面轉化為頓悟的一種特殊的心理狀態，這也正是思考並解出一道難度較高的題的心理狀態。

一道難題的解答必須是在熟練地掌握基礎知識、基本技能的前提下，並具有較強的洞察力、巧妙的構思才能解出的.解難題時的冥思苦想，思想保持極度的明確性，再加上智慧的高度銳敏性，思維過程中遇到的重大阻礙會豁然貫通而統統得到克服。

當這些極度疑難的問題突然得到解決時，思潮洶湧，浮想聯翩，每每如此久而久之靈感便產生了。當然，「冰凍三尺非一日之寒」，並不是解一兩道題就能學好數學的，解題是需要一定的量的，只有數量和質量同時達到，才能實現量變到質變的真正轉變，才能真正獲得學習數學的靈感，這是一個日積月累、長期辛苦勞作的過程。

一旦有了學習數學的靈感，學習數學也就變得相對容易了。

5.通過解題，營造學習數學的意境，培養學習數學的情趣。

王國維曾經在《人間詞話》中說過人生奮鬥必然要經過的三種境界：「昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望斷天涯路」，此第一境界也；「衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴」，此第二境界也；「眾裡尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處」，此第三境界也。

我們在解難題的時候也要經過這三種境界：第一種境界是拿到這道題時茫然不知所措，不知從何下手的過程；第二種境界是苦苦思索，尋找最佳突破口，而全力以赴不懈努力的過程；第三種境界是得到最後結果的釋然和欣喜，平靜地體味享受的過程。

由此可見解答過程可以讓我們感受到人生的哲理，不僅如此，一道好的題目還能給人以藝術體驗，就像在觀賞品味一件精美的藝術品，或進行諸如下棋之類的娛樂活動一樣充滿了情趣，數學的學習當然就不再是一件枯燥無味的苦差事了，學生學習的主觀能動性無形之中便會得到加強。

6.通過解題，鍛鍊人的意志、品質

解題，需要從不同的側面去嘗試.當然，一次嘗試未必就能完全成功，往往要一再嘗試，反覆多次，直至成功.「自古成功在嘗試」，「失敗是成功之母」.數學解題過程中，誰都不免會遇到挫折，正是解題者的百折不撓，不斷嘗試，才會讓一個又一個難題低頭.正如希爾伯特所說：「……正是通過這些問題的解決，研究者鍛鍊其鋼鐵般的意志和力量，發現新方法和新觀點，達到更廣闊、更自由的境界。」

解題，使人專心致志，「不專心致志則不得焉」。解數學題需要思想高度集中，心無旁騖，即使是常規題，也需要開動腦筋想一想有哪幾條路可走？有哪一個例題可以仿效（最好能想一想有沒有更好的解法）？選好解題路線之後，還應小心翼翼，在計算或推理中不可出錯.有時「走錯一步，滿盤皆輸」。

多解數學題，就不會粗心浮氣，焦躁不安.正如培根所說：「演算使人精密」，「一個思維不集中的人，他可以研習數學，因為數學稍不仔細就會出錯。」

總之，解題需要對數學的感悟，需要想像力，需要對掌握的數學知識靈活的應用，更需要我們不斷的實踐和探索，從解決各種複雜多變的問題中積累和練就「技巧」——靈活處理，隨機應變。

而通過解較難的數學題目，我們能掌握更多的邏輯推理方法，這不僅能使我們更深刻地理解有關數學內容，還可以學到使問題轉化以得到解決的方法、途徑和依據，受到更有效的邏輯推理訓練，從而培養我們觀察、分析和解決問題的能力，並能理清思路進行有說服力的論斷，感受到學習數學的樂趣，從而提高對數學的認識和把握能力，培養自覺學習數學的興趣和能力。

參考文獻：湯炳興，葉紅，中學數學解題學習