一種計算機模擬動擺線的方法
2023-05-21 16:51:21 1
專利名稱：一種計算機模擬動擺線的方法
技術領域：
本發明屬於計算機輔助幾何設計技術領域，具體涉及一種計算機模擬動擺線的方法。
背景技術：
目前，在許多計算機輔助幾何設計方法及安全底紋防偽的設計方法中，會經常涉及到擺線的計算機生成。所述的擺線(Cycloid)是當一個圓沿一條定直線作無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線。定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點。
當一個圓在與其內切的定圓內作無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做內擺線(hypocycloid)。小圓內部與外部的每個定點所描繪的曲線稱為內次擺線(hypotrochoid)。
當一個圓沿一個與它外切的定圓作無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做外擺線(epicycloid)。小圓的內部與外部的每個定點所描繪的曲線稱為外次擺線(epitrochoid)。
上述的擺線可以稱為定擺線，描繪了定點(也即定擺點)經過的運動軌跡形成的曲線。內外擺線的形狀除了跟滾動圓與固定圓的半徑之比有關外，還跟定點至滾動圓圓心的距離與滾動圓的半徑之比有關。如果改變這兩種比例關係就會得到豐富的圖形設計。
但是現有的擺線技術中存在一定的局限性當定擺點擴展為一個軌跡上的運動的任意點時，就超出了現有技術所能解決的範圍。也就是說在動圓沿著定圓作無滑動的滾動時，與滾動圓圓心有一定位置關係的擺點不再是一個定點，而是一個(相對於動圓)具有特定軌跡Ω的動擺點。當滾動圓沿著定圓運動時，動擺點也沿著動擺點自身軌跡運動，此時的擺點可以理解為一個廣義的點。軌跡Ω為任意圖形，可以對稱的或者不規則的，可以是凹多邊形或者凸多邊形，可以全部在動圓的內部或者外部，甚至可以一部分在動圓的內部，另一部分在動圓的外部，本發明要解決的問題就是如何來描述動擺點A所經過的軌跡曲線(動擺線)。由於動擺點自身軌跡的不確定性，通過這種方法模擬的曲線類型也更加的豐富多樣。如果將這些動擺線用於平面圖形設計或者安全底紋防偽設計，同樣可以得到非常理想的效果。
發明內容
本發明的目的是針對現有技術中的缺陷，提出了一種計算機模擬動擺線的方法。該方法中能使動擺點相對於滾動圓不再是一個固定不變的點，而是具有特定軌跡的動點，且由於動擺點自身軌跡的不確定性，該方法所描繪的動擺線也是更加的豐富多樣，具有很好的可擴展性，從而能更好地應用於計算機輔助平面圖形設計或者安全底紋防偽設計。
為達到以上目的，本發明採用的技術方案是一種計算機模擬動擺線的方法，包括以下步驟(1)選取固定圓和滾動圓的半徑分別為R和r，從而可以確定擺線的周期T，令k表示R與r的比率；(2)將擺點擴展為一個廣義的點即動擺點，它在滾動圓運動的過程中，具有自己特定的軌跡曲線，並且軌跡曲線的類型可以任意，並確定動擺點自身軌跡Ω的形狀；(3)計算動擺點與自身軌跡形狀Ω重心的距離d[i]和旋轉角度angle[i]，i＝0，1，2......；(4)記錄動擺點離散成定擺點後的軌跡點集把動擺點離散成定擺點後的擺線點集可以如下得到X(i)＝(k-ε)*r*cost+d[i]*cos((k-ε)t-angle[i])Y(i)＝(k-ε)*r*sint-ε*d[i]*sin((k-ε)t-angle[i])其中動擺點的標識(d[i]，angle[i])是不斷變化的，依次記錄每個動點後得到點的集合II＝{(xi，yi)｜i＝0，1，2，3，4......}，ε為1或者-1，t為有向角的弧度值，r為滾動圓的半徑；(5)根據最小二乘法原理，將集合II中的離散點擬合成三次的Bezier曲線f(x)＝a1x3+a2X2+a3x+a4，其中f(x)所表示的曲線即為本發明所模擬的動擺線的軌跡，其中a1，a2，a3，a4為係數。
進一步來說，步驟(1)中的k等於q∶p，其中p與q是一對互質的正整數。在本發明的方法中若k＝q/p，且p與q是一對互質的正整數，則滾動圓與固定圓的圓周長之比為q∶p，於是，當滾動圓轉動q圈時，滾動圓上的擺點會回到原始的出發點，此時，滾動圓恰好環繞固定圓p圈，則擺點所描繪的圖形軌跡是一條封閉的曲線；另一方面，因為p與q互質，所以，當滾動圓轉動的圖數不到q圈時，擺點決不會回到出發點，則擺線所描繪的圖形軌跡是一條開放的曲線。
步驟(2)中，動擺點自身軌跡形狀Ω是規則的幾何圖形或者是不對稱的圖元對象。
在步驟(2)中，動擺點的自身軌跡形狀Ω是凸圖形，若動擺點的軌跡Ω完全在滾動圓的內部或者外部，滾動圓在繞固定圓運動時，動擺點遵循凸圖形運動規律；若動擺點的軌跡Ω一部分在滾動圓的內部，另一部分在滾動圓的外部時，Ω上距離M點最近的點就不是唯一的，出現最小距離相同的點數多於一個，此處任選其中之一，所述的M點為滾動圓與固定圓的切點。
步驟(2)中，動擺點的自身軌跡形狀是凹圖形，動擺點在軌跡Ω上的點和滾動圓上點建立一一對應，滾動圓在繞固定圓運動時，動擺點遵循凹圖形運動規律。
再進一步，若動擺點的軌跡Ω為凸圖形，則遵循凹圖形運動規律；若動擺點的軌跡Ω為凹圖形，則遵循凸圖形運動規律。
步驟(1)中，確定固定圓半徑R和滾動圓半徑r，計算R和r的最小公倍數L，並令T＝L/r，滾動圓運行T圈後，動擺點回到出發點，從而得到一條封閉的動擺線。
固定圓半徑R與滾動動圓半徑r比較接近時，在凹圖形運動規律生成的擺線的每個組成部分形狀接近所選定的圖元對象的形狀，擺線此時可以看成是數個相似圖元首位相連而成的曲線軌跡。
與現有技術相比，本發明的效果在於採用本發明所述的方法生成的動擺線可以更加的豐富多樣，擺點在滾動圓運動的過程中不再局限為一個固定點，而是可以有任意的軌跡曲線，從而具有很好的可擴展性，可以廣泛地應用於計算機輔助幾何圖形設計及安全防偽底紋的設計。
本發明之所以具有上述的顯著效果，主要在於以下原因本發明中，滾動圓沿固定圓運動時，擺點也相對於滾動圓以軌跡為Ω做運動，此時動擺點可以看作離散的定擺點，定擺線將得到進一步的擴展，動擺點自身軌跡Ω的重心在動圓滾動的過程中，相對於動圓而言始終是靜止的，考慮動擺線時就可以只考慮動擺點的自身軌跡Ω上的點，d為Ω的重心到滾動圓圓心O的距離，定擺點的距離和角度的極坐標表示為(d，angle)，相應的起始極坐標為(d，0)，而擴展為動擺點後，某時刻動擺點與Ω重心的距離和旋轉角度的極坐標可以表示為(d[i]，angle[i])i＝1，2，3，4......，由此可以看出在運動的過程中動擺點與Ω重心的距離和旋轉角度不斷發生變化，由於d[i]和angle[i]的不同，最終的曲線軌跡將會更加豐富。
圖1基本擺線原理示意2定點到滾動圓的圓心的距離與滾動圓的半徑不等時的擺線示意3固定圓與滾動圓半徑之比為5∶1時的內擺線示意4固定圓與滾動圓半徑之比為7∶3時的外擺線示意5內擺線示意6凸圖元示意7凹圖元示意8凸圖元在凸圖形運動規律下的內擺線示意9凸圖元在凹圖形運動規律下的內擺線示意10凸圖元在凸圖形運動規律下的內擺線組合圖11凸圖元在凹圖形運動規律下的內擺線組合圖12凹圖元在凸圖形運動規律下的內擺線組合圖13凹圖元在凹圖形運動規律下的內擺線組合圖14凹圖元在滾動圓內部的凸圖形運動規律下的內擺線圖15凹圖元在滾動圓外部的凹圖形運動規律下的內擺線圖16凹圖元在滾動圓邊上的凸圖形運動規律的擺線圖17凹圖元在滾動圓邊上的凹圖形運動規律的擺線圖18凹圖元在滾動圓外部的凸圖形運動規律下的內擺線圖19凹圖元在滾動圓外部的凹圖形運動規律的內擺線圖20凹圖元在凸圖形運動規律下的外擺線圖21凹圖元在凹圖形運動規律下的外擺線圖22本發明的流程圖具體實施方式
下面結合說明書附圖和具體實施方式
對本發明做進一步的描述。
首先簡單介紹一下原有擺線技術的實現方法。
如圖1所示，假設一定點與滾動圓的圓心的距離為d，底線是x，出發時定點的坐標為(0，a-d)，其中a是滾動圓的半徑。當滾動圓滾到圖1所示的位置時，定點的位置在 上且與O點的距離為d。由此可知其參數方程為x＝at-dmint，y＝a-dcost (1)由公式(1)可以看出，a和d大小關係會引起擺線軌跡的不同，圖1為a＝d的情況，另外a＞d和a＜d的情況分別為圖2中的上圖和下圖。
內外擺線的形狀由滾動圓(即為小圓)與固定圓(即為大圓)的半徑之比來決定。圖3是一個內擺線，其固定圓和滾動圓的半徑之比為5∶1；圖4是一個外擺線，其固定圓和滾動圓的半徑之比為7∶3。
內外擺線的形狀除了跟滾動圓與固定圓的半徑之比有關外，還跟定點至滾動圓圓心的距離與滾動圓的半徑之比有關。
設滾動圓的半徑為a，固定圓的半徑為ka，其中k是比1大的一個固定數。又設固定圓的圓心是原點O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是A(ka，0)。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為J、與固定圓的切點為I，而滾動圓上的定點移動到P(x，y)。設以OA為始邊、OJ為終邊的有向角為t弧度，我們以t為參數(見圖5)。
因為弧IP與弧IA的長度相等，所以，有向角∠PJI是kt弧度。過P與J分別作水平直線與鉛垂直線，則可就t的值0t2(k-1)]]>所屬的各種範圍分別討論，而得 這就是擺線的參數方程式。
若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為d，且在出發時的坐標為((k-1)a+d，0)，則此定點在滾動的過程中，所描繪曲線的參數方程式為 其次，若將圖5中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數方程式為 其中k表示固定圓與滾動圓的半徑之比，k大於1。同理，將定點改成與滾動圓圓心的距離為d，且在出發時的坐標為[(k+1)a-d，0]，則可得外次擺線的參數方程式為 上述四組參數方程式可合併成下述形式
其中ε＝1或-1，而k≥1、k≥ε且d≥0。當ε＝1，上述參數方程式，以d＝a或d≠a分別表示內擺線或內次擺線；當ε＝-1時，上述參數方程式，以d＝a或d≠a分別表示外擺線或外次擺線。
如圖22所示，下面具體說明本發明所述的一種計算機模擬動擺線的操作步驟。
本實施例中，首先設計動擺點的自身軌跡Ω的形狀，如圖6是一種非對稱的凸圖元，圖7是一種規則的凹圖元情況。並記固定圓的半徑為R，滾動圓的半徑為r，得到封閉軌跡曲線時，滾動圓需要繞固定圓運動的圈數為T，所有的數量單位均為毫米。
當動擺點的自身軌跡形狀為凸圖形，滾動圓在繞固定圓運動時，動擺點同時也沿著自己的軌跡Ω運動，記滾動圓與固定圓的切點為M，但是由凸圖元的特性如果動擺點的軌跡Ω完全在滾動圓的內部或者外部時，在運動的任意時刻一定可以找到Ω上距離M點最近的點A，也就是說動擺點的運動和滾動圓的運動不一定是同步的，動擺點可能在某時刻發生突變，計算此時動擺點在A處的旋轉角度，從而可以得出動擺點的運動位置，將此過程稱為凸圖形運動規律。
當動擺點的自身軌跡形狀可以是凹圖形，由於凹圖形的特性，動擺點的軌跡Ω上的點距離切點M最近的點不具備唯一性，此時動擺點運動方式和滾動圓完全一致；具體做法是在動擺點的自身軌跡Ω上均勻選取一定數目的離散點集S，然後以相同的段數均分滾動圓圓周，建立自身軌跡Ω與滾動圓圓周之間的一一對應關係，從而可以確定動擺點在某一時刻的位置極坐標為(d[i]，angle[i])，根據動擺線的公式可以計算出此時動擺點的空間位置，將此過程稱為凹圖形運動規律。
固定圓半徑R和滾動圓半徑r確定了得到封閉軌跡時，滾動圓繞固定圓所需運動的圈數，同樣給定固定圓半徑R和滾動圓運行的圈數T，得到滿足條件的滾動圓半徑r值會多於一個，具體做法令L為R，r的最小公倍數，根據得到封閉軌跡曲線的條件，故有L＝r*T，則一定存在正整數n，使得L＝r*T＝R*n，進而r＝R*n/T。為了方便和精確，此處規定L，r，T，R，n全為正整數，並且R＞r。由於R＞r且n＜T，所以n取值範圍1，2，3......T-1；由公式r＝R*n/T計算r的值，如果r是整數，就記下r的取值為ri，滿足此條件的r值最多有T個，r值的不同可以得到總周期為T的一系列的軌跡曲線圖形組。
下面具體介紹動擺點所描繪的軌跡曲線的生成方法，a)設置動擺線的固定圓半徑R為300，滾動圓半徑r為282。此處R和r的最好設置為整數，否則得到封閉軌跡曲線時，滾動圓經過的圈數將會非常大，並且結果也不理想。
b)計算T的值為50。
c)計算每一個時刻動擺點與Ω重心的距離和旋轉角度的極坐標，記為(d[i]，angle[i])i＝1，2，3，4......。
d)通過擺線軌跡的計算公式，得到一系列離散點的集合，然後進行曲線擬合。
通過以上步驟後得到軌跡曲線如圖8所示。圖6所示的凸圖形遵循凹圖形運動規律時的效果如圖9。
固定R值，改變r或者T時將會得到不同的軌跡曲線效果。圖8和圖9就是T為50的情況，得到軌跡曲線亦為封閉的。
固定R值，然後令T＝5，由前面的敘述可知，共可以生成五條封閉軌跡曲線，而相應的滾動圓半徑r分別為60、120、180和240。
(1)動擺點的自身軌跡Ω為圖6所示凸圖元形狀，遵循凸圖形運動規律得到的軌跡曲線組合如圖10；遵循凹圖形運動規律得到的軌跡曲線組合為圖11所示。
(2)動擺點的自身軌跡Ω為圖7所示凹圖元形狀，遵循凸圖形運動規律得到的軌跡曲線組合如圖12；遵循凹圖形運動規律得到的軌跡曲線組合為圖13所示。
由以上描述可以看出，在本發明的方法中，動擺點所經過的擺線軌跡曲線的形狀跟以下因素有關固定圓的半徑R、滾動圓的半徑r、動擺點的自身軌跡Ω的形狀、Ω幾何大小、Ω與滾動圓的相互位置關係，以及動擺點的運動規律。由於這些因素的相互可能的組合非常之多，得到的軌跡曲線的樣式也就豐富多樣。尤其是動擺點自身軌跡Ω形狀選擇往往會帶來意想不到的效果。
下面是凹圖元對象得到的一些擺線軌跡曲線。
選取如圖7所示的凹圖元對象，當R為300，T設為10時，滾動圓半徑有四種選擇可以得到封閉的軌跡曲線，分別為30，90，210和270，此處選擇r為270。通過以下方式得到如圖14至圖21的軌跡曲線。
當凹圖元位於滾動圓的內部，在凸圖形運動規律作用下得到的內擺線示意圖如圖14所示；
當凹圖元位於滾動圓的外部，在凹圖形運動規律作用下得到的內擺線示意圖如圖15所示；當凹圖元在一部分位於滾動圓的內部，一部分位於其外部，在凸圖形運動規律下的擺線示意圖如圖16所示；當凹圖元在一部分位於滾動圓的內部，一部分位於其外部，在凹圖形運動規律下的擺線示意圖如圖17所示；當凹圖元位於滾動圓的外部，在凸圖形運動規律下得到的內擺線示意圖如圖18所示；當凹圖元位於滾動圓的外部，在凹圖形運動規律下得到的內擺線示意圖如圖19所示；凹圖元在凸圖形運動規律下得到的外擺線示意圖如圖20所示；凹圖元在凹圖形運動規律下得到的外擺線示意圖如圖21所示；上述步驟只是本發明優選的一個實施方式，本領域技術人員不難得出其他的實施方法而不違背本發明的總體思想。
其中，動擺點自身的軌跡Ω可以設計為其他任意獨特的形狀；其中，圖元的運動方式可以採用除凹圖形運動規律和凸圖形運動規律外的其他方式；其中，動擺點運動後的離散軌跡點集可以採用其他的曲線擬合算法得到最終封閉的軌跡曲線。
權利要求
1.一種計算機模擬動擺線的方法，包括以下步驟(1)選取固定圓和滾動圓的半徑分別為R和r，從而可以確定擺線的周期T，令k表示R與r的比率；(2)將擺點擴展為一個廣義的點即動擺點，它在滾動圓運動的過程中，具有自己特定的軌跡曲線，並且軌跡曲線的類型可以任意，並確定動擺點自身軌跡Ω的形狀；(3)計算動擺點與自身軌跡形狀Ω重心的距離d[i]和旋轉角度angle[i]，i＝0，1，2......；(4)記錄動擺點離散成定擺點後的軌跡點集把動擺點離散成定擺點後的擺線點集可以如下得到X(i)＝(k-ε)*r*cost+d[i]*cos((k-ε)t-angle[i])Y(i)＝(k-ε)*r*sint-ε*d[i]*sin((k-ε)t-angle[i])其中動擺點的標識(d[i]，angle[i])是不斷變化的，依次記錄每個動點後得到點的集合∏＝{(xi，yi)|i＝0，1，2，3，4......}，ε為1或者-1，t為有向角的弧度值，r為滾動圓的半徑；(5)根據最小二乘法原理，將集合∏中的離散點擬合成三次的Bezier曲線f(x)＝a1x3+a2x2+a3x+a4，其中f(x)所表示的曲線即為本發明所模擬的動擺線的軌跡，其中a1，a2，a3，a4為係數。
2.如權利要求1所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是步驟(1)中的k等於q:p，其中p與q是一對互質的正整數。
3.如權利要求1所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是步驟(2)中，動擺點自身軌跡形狀Ω是規則的幾何圖形或者是不對稱的圖元對象。
4.如權利要求3所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是在步驟(2)中，動擺點的自身軌跡形狀Ω是凸圖形，若動擺點的軌跡Ω完全在滾動圓的內部或者外部，滾動圓在繞固定圓運動時，動擺點遵循凸圖形運動規律；若動擺點的軌跡Ω一部分在滾動圓的內部，另一部分在滾動圓的外部時，Ω上距離M點最近的點就不是唯一的，出現最小距離相同的點數多於一個，此處任選其中之一，所述的M點為滾動圓與固定圓的切點。
5.如權利要求3所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是步驟(2)中，動擺點的自身軌跡形狀是凹圖形，動擺點在軌跡Ω上的點和滾動圓上點建立一一對應，滾動圓在繞固定圓運動時，動擺點遵循凹圖形運動規律。
6.如權利要求1或3所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是若動擺點的軌跡形狀Ω為凸圖形，則遵循凹圖形運動規律；若動擺點的軌跡Ω為凹圖形，則遵循凸圖形運動規律。
7.如權利要求1所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是步驟(2)中，確定固定圓半徑R和滾動圓半徑r，計算R和r的最小公倍數L，並令T＝L/r，滾動圓運行T圈後，動擺點回到出發點，從而得到一條封閉的軌跡曲線，稱此曲線為動擺線。
8.如權利要求1所述的一種計算機模擬動擺線的方法，其特徵是滾動動圓半徑R與固定圓半徑r比較接近時，在凹圖形運動規律生成的擺線的每個組成部分形狀接近所選定的圖元對象的形狀，擺線此時可以看成是數個相似圖元首位相連而成的曲線軌跡。
全文摘要
本發明涉及一種計算機模擬動擺線的方法，屬於計算機輔助幾何設計技術領域。現有技術中，滾動圓繞固定圓做無摩擦運動時，擺點是與滾動圓的圓心相對位置固定的一個點，可變化的方式較少。本發明所述的方法中擺點已經擴展為一個廣義的點，它在滾動圓運動的過程中，具有自己特定的軌跡曲線，並且軌跡曲線的類型可以任意。採用本發明所述的方法，擺點在滾動圓運動的過程中不再局限為一個固定點，而是可以有任意的軌跡曲線，從而具有很好的可擴展性，通過這種方法模擬的曲線類型也更加的豐富多樣，可以廣泛地應用於計算機輔助幾何圖形設計及安全防偽底紋的設計。
文檔編號G06F17/50GK1622098SQ20051000058
公開日2005年6月1日 申請日期2005年1月7日 優先權日2005年1月7日
發明者亓文法, 盧書一 申請人:北京北大方正電子有限公司, 北京大學