立體幾何的10大定理（最美妙的數學思想之一）

2023-05-07 07:09:10 2

很長一段時間以來，我一直想寫諾特定理，但卻遲遲沒有「動筆」。我覺得現在是時候給自己一個交代了。由埃米·諾特提出的諾特定理，是迄今為止，最美妙的數學思想之一。但它並沒有為普通大眾所熟知。

愛因斯坦和希爾伯特試圖得出廣義相對論方程，但掙扎了很長一段時間。因為，在廣義相對論之前，存在著這樣一個特殊的悖論，悖論是這樣的：

如果能量扭曲時空而時空包含能量，那麼時空就會扭曲時空。

埃米·諾特解決了這個問題，但她是如何解決這個問題的？

諾特定理

如果宇宙中的一切都被平移到它現在的右邊會怎樣？我們知道這不會發生。但你還是會問「有什麼變化？」，但更重要的是，什麼是保持不變的？

這樣的思想實驗似乎是對時間的無限「濫用」。但在你了解諾特定理後，就不這麼想了。通常對諾特定理的理解是：

對稱意味著守恆。

但是什麼是對稱呢？什麼是守恆定律？它們是如何聯繫在一起的？

「對稱」在日常用語中指的是一種協調和美麗的比例感。在數學中，「對稱」有一個更精確的定義，通常用來指在某些變換下不變的物體，包括平移、反射、旋轉或縮放。

就數學而言，當對一個物體進行任意變換而不產生方向變化時，就建立了對稱。把一個球繞中心旋轉90度，得到的結果和開始時一樣。這個球體是「旋轉對稱的」。取一條直線（無限長），向右移動4個單位，直線沒有變化。這被認為是「平移對稱」。這似乎是一個無關緊要的性質，但事實並非如此。

艾米·諾特認為的對稱是這樣的：

假設這個對象是某個系統，它不斷地按照我們的意願轉換。這個「系統」是宇宙的一部分，或者是宇宙本身。我們用λ值拉伸所有的距離，或旋轉所有的角度。諾特提出的問題是，無論如何，系統是否保持不變？

注意：諾特定理將「對稱」限制為連續對稱。連續對稱是用函數的連續變化來描述的，他們是離散的。球體是連續對稱的，而三角形不是。詳細請閱讀：李代數——物理學中最重要工具之一，一個最簡單的解釋

首先，諾特對能量特別感興趣。這裡的定義做了一些調整：我們說，如果系統中物體的總能量在任意變換下不改變，那麼這個系統就是對稱的。例如，如果我分離出一個質量，並將它與一個移位的質量進行比較，能量將保持不變。

所以這個系統被認為是「平移對稱的」，因為我們對它做的「任意變換」是向右平移λ單位。另一方面，對系統做一個小的改變就可以使這種對稱性變得無效。假設在這個系統中有一顆行星。離這顆行星越近的質量，其引力勢能就越小；而離它越遠的質量，其引力勢能就越大。因此，這個系統不被認為是平移對稱的。

這就是對稱部分。守恆定律是什麼意思？簡單地說，守恆量就是那些既不能被毀滅也不能被創造的量，只是從一種形式轉化成另一種形式。一些守恆量是能量，動量和電荷。

守恆量是指在一段時間內數量保持不變，既不能被創造也不能被毀滅的東西。描述這些量的定律叫作守恆定律。

但是為什麼呢？為什麼這些量是守恆的？為什麼我們不能創造能量呢？諾特定理回答了所有這些問題。它非常準確地解釋了守恆從何而來。

具體說，它假定平移對稱意味著動量守恆。事實上，如果宇宙中每一顆原子向右移動1米，我們就無法分辨出它們的區別。但問題來了。什麼時候動量不是守恆的？

讓我們假設一個蘋果掉下來。如果蘋果向地面移動2單位，它的重力勢會更小，速度會更大。因此，p=mv在兩種情況下並不相同。這個系統被認為是平移不對稱的。

但如果我們考慮整個宇宙。將所有東西向左或向右移動幾個單位，你不會注意到有什麼東西的位置發生了變化。這一定意味著能量是守恆的，因此，動量也是守恆的。重點是平移對稱意味著動量守恆。

平移對稱→動量守恆

但是旋轉對稱呢？同樣的道理。把地球和蘋果看作一個系統。但蘋果並沒有落下，而是繞著地球轉。我們說這裡的守恆量是角動量。如果這個物體沿著一個球形軌道運行，就像下圖所示，那麼這個物體在任何給定位置的總能量都保持不變。所以它在這個軸上有旋轉對稱。

旋轉對稱→角動量守恆

我們已經討論過空間中系統的變換。但是在時間上平移系統意味著什麼呢？換句話說，假設有一個系統，在某一特定時刻t，與t λ時刻的系統比較。如果系統的能量不變，那麼它被認為是時間平移對稱的。諾特說什麼是守恆的？能量。

時間對稱→能量守恆

下面的內容，你不需要費心去完全理解，我只是將其展示出來。這是一系列精妙的數學運算得出的最深刻的證明之一。

可以看作是ε的函數，計算在ε'=0處的導數，利用萊布尼茨法則，得到：

注意歐拉-拉格朗日方程所暗示的：

把這個代入前一個方程，得到：

再一次應用歐拉-拉格朗日方程，得到：

代入前一個方程，得到：

從中，我們可以看到

是一個運動常數，它是一個守恆量。由於

得到

所以守恆量化簡為

這就是諾特對自變量的推導。

上面的數學路線包括了一個獨立變量的推導。也有類似於早先探討過的平移和轉動不變性。對於量子力學系統，有一個場理論版本，它是現代粒子物理的基礎。但還不止於此。從麥克斯韋方程組到廣義相對論，你會發現它無處不在。

正如她所假設的，並不是所有的能量都會扭曲時空。只有應力-能量張量中的能量才重要。應力-能量張量是一個數學對象，它包含了所有關於扭曲時空的能量的信息。

張量有4種信息。其中兩個是「電荷」，是守恆的東西：

順便說一下，這個張量是在這兩個之後命名的。它們與粒子的能量和動量完全相似，但對於一個連續的系統：場→時空本身。

到目前為止，有4個分量：1個能量，3個動量（因為動量是一個矢量，它可以在任意的x, y和z方向上分解）。另外兩種類型的信息是「通量」：

但是什麼是通量？舉個例子，我們電磁波攜帶能量，但是也有動力（這可能不太好理解），因為光子是無質量的，如果m = 0，那麼在p = mv中，會得到p = (0)v。答案比這要複雜一些。重要的是波有動量。通量是在每個方向上流動的能量的精確表達式以及動量矢量在每個方向上流動的量。

這就是能量-動量張量的所有信息。

它不能解釋所有問題。它只是概括了物質的引力影響。萬有引力耦合了能量和動量以及能量和動量的通量。它不關心它是來自於物質還是電磁場，也不關心它來自於什麼物質。重要的是，它是對稱的。

這個張量，是將諾特定理應用到一個由時空對稱性引起的一般時空變換的結果。

然而，在量子場論中，由於量子效應，諾特定理可以被違反。量子修正所打破的經典水平上的對稱性被稱為「反常」。反常對稱性是標準模型的眾多預測之一。下面的文章將探討對稱的違反，以及它們與量子力學的關係。