混q進位、進位行數字工程方法和混q算盤的製作方法

2023-04-28 06:21:36

專利名稱：混q進位、進位行數字工程方法和混q算盤的製作方法
技術領域：
本發明涉及數字工程方法和算盤領域。
背景技術：
數字工程包括數位電視、數位相機、數控工具機以及大中型數位化設備和數字系統工程等等。本發明中「數字工程」是專指「數字計算工程」。它不是解決一個個具體的算題，而是四則運算法則本身的數字工程實現技術方案。它與具體的計算工具密切相關。眾所周知，「計算」有好多種，除「近似計算」、「模擬計算」及「無工具計算(心算、指算、口算，包括口訣、速算、估算)」外，則為「採用工具的數字計算」。
「採用工具的數字計算」僅有三種，這就是數字電算、珠算、筆算。與此相應的數字計算工程也就僅有三種數字計算機；算盤；採用筆和紙進行筆算的數字計算工程，簡稱為「筆算工程」。
四則運算是數的最基本運算。正如恩格斯所說「四則(一切數學的要素)。」加法又是四則運算的最基本的運算。因此，我們理所當然應當對四則運算，尤其是對加法運算給予特別的關注。當前數字工程方法中數學的四則運算，首先是加法，有許多不盡如人意之處。主要表現為運算速度慢；在減法中，未能充分利用負數的作用，而且，不能「連減」。尤其在加減混合運算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺點更加擴大嚴重；在除法中，上述缺點依舊。總之，在最小的數體——有理數體中，四則運算情況並不滿意。
在筆算數字工程中，對運算的解剖，表明存在一些隱含的操作程123456+345678＝46913478+297+259＝634 式一式二序，以至產生「隱患」。以加法為例。例一「兩數相加」。算式如式一。其中，十位上的和數3，解剖一下，其微程序操作是(凡未註明所屬數制的數，均為普通十進位數。下同。) 個位上來的進位(見標誌) 十位上5、7兩數字與低位進位相加，即(5+7+1)。取其和的個位。 上列(5+7+1)和的進位送到高位(見標誌)。其餘各位情況類似。又如，例二，設三數求和，算式如式二78+297+259＝634如圖可見，上述情況更為加重。
顯然，存在下列缺點a.進位標示困難。若用小數字表明，則易混淆且字面積受限。特別是表456789時就更煩人；若以「.」字寫在數字間，則易與小數點混淆且表示456789也不便；若以手指數數，則速度慢且不方便；若心算，則費腦力且易錯。總之，比較討厭，易出錯。
b.一般兩數相加時，每一位上要有三個數相加求和。於是，需二次運算。三及三以上個數求和時，則更不方便。
c.驗算困難。一般採用重做一遍，費時費力。
②減法比加法麻煩。且不能在同一豎式中「連減」，必須斷開。特別在加減混合運算時，不能一步到位。
③乘除法中，這類情況更為嚴重。而且，加減乘除運算格式不統一，除法時另起爐灶。
另一方面，在電子計算機的數字工程中，同樣有大量的數值運算。這些數一般均採用普通二進位數制{二}來表示。其負數常以原碼、反碼、補碼、移碼之類來表示。在現有計算機中運算均以二個數運算，而無法實現「多重運算」。所謂「多重運算」是指多於二個數同時進行加減。
在採用其他普通Q進位{Q}等普通數制的電子計算機中，存在相應的許多複雜性。[Q為自然數。]發明內容本發明提出一種新的數字工程方法，顯著提高運算速度，同時加強運算正確性的保障，使出錯的可能性顯著減少。
本發明的另一個目的是提供一種新的算盤。它運算的數不僅可以是普通十進位數，而且可以是包含普通十進位數在內的混十進位數。Q＝10時，混Q進位數即混十進位數，故本發明稱為「混Q算盤」。
根據本發明的一個方面，提供一種混Q進位、進位行數字工程方法，包括以下步驟第1步，將參與運算的普通Q進位數的每一位數字都加上一個數符，即表示該位數為正或負，使它成為每一位均帶符號的混Q進位數，設，參予運算的數為K個混Q進位數，K為≥2的正整數；第2步，對K個數同時進行混Q進位的求和運算，從最低位開始按位相加，即在某一位上，取前述K個數中的二個數按位相加，得到「按位和」為該位這二個數相加的和數；將此和數記入下一運算層，作為「部份和」數；同時所得「混Q進位」，則存放到下一運算層的任一進位行與該位相鄰的高位處；第3步，在該位上取K個數中的另二個數，進行第2步的運算，如此反覆，直至K個數均取完為止；當K個數中僅剩下一個數時，則直接移至下一運算層的同一位上作為「部份和」數；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重複第2步及第3步的運算，直至K個運算數的每一位都已全部操作；第5步，在下一個運算層中，將上述「按位和」數與進位行中的「進位數」進行前述第2步、第3步、第4步求和運算；第6步，重複第2步至第5步的運算，直至不產生「混Q進位」為止，則最後一次「按位加」所得和數，即為所求加法運算結果。
上述混Q進位數可以不另行編碼；可以普通8421碼等來編碼；也可以全一碼來編碼。即，將各個混Q進位數的每一位數S，都以S個1從最低位順序至高位排列來對應，其餘高位均為0，總位數則為(Q-1)位；同時，將混Q進位數中該位的數符，即表示該位為正為負，作為相應全一碼中每一位上的數符。
上述運算數可以是混Q進位數，或者普通混Q進位數，或者混數數制數。
根據本發明的另一個方面，提供一種混十進位算盤。在盤狀長方形機械框架結構中，如圖1機械原理圖所示，在上下框之間採用15檔豎檔，或多於15檔，或少於15檔。每根豎檔上貫穿有10隻算珠，上面5隻算盤塗以紅色，下面5隻塗以綠色。上框的水平中線位置上有上框小槽。小槽中有圓型遊標一隻，或者一隻以上，或者沒有。遊標可以在槽中左右滑動，作為參與運算及結果數的小數點或其他特定的定位標記。


圖1為本發明混Q進位、進位行數字工程方法和混Q算盤的機械原理圖。圖中標有1.算珠，2.左框，3.遊標1，4.遊標2，5.上框，6.上框小槽，7.豎檔，8.右框，9.下框。豎檔共15根，每根上有10隻算珠，其中上面5隻算珠塗以紅色，下面5隻塗以綠色。算珠的初始位置，均在豎檔的中央部分，而豎檔的上下兩端均為空位。圖2為本發明的另一種形式。它與圖1的區別僅僅在於算珠的初始位置不在豎檔的中央，而在豎檔的上下端。平常初始位置時，上面5隻算珠(1)依次緊靠上框(5)，下面5隻算珠(1)依次緊靠下框(9)。
具體實施例方式
1、《進位行方法》1.1進位與《進位行方法》在電子計算機中，運算速度提高的關鍵之一，就在於「進位」。進位的獲得，進位的存貯以及進位的參予運算都是至關重要的。「進位」就是爭「速度」。在筆算中，還直接影響到「出錯率」。
所謂《進位行方法》就是，在運算過程中，將產生的進位存放在參予運算的位置，然後直接進行運算的方法。通常，將同運算層各位上的進位排列成一行，稱為「進位行」。(運算層的概念，見下節)舉例如下，設兩普通十進位數求和，算式以豎式求和。如式三123456+345678＝469134 式三為簡化起見，這裡將橫豎式合寫。個位運算(6+8)＝14，其進位1寫於下一行的高一位上。依此類推。
式中二數相加時，各位上不計進位的求和，稱為「按位加」。其和稱為「按位和」。按位和的運算行，稱為「行」。
各進位排成的行，稱為「進位行」。由行與進位行組成「運算層」。
式中一些「+」號已省去。以後可以知道，在《混進方法HJF》中，各個「運算層」只存在一種運算，這就是「+」。故可以不必在運算層中寫出「+」號。
1.2《進位行方法》分析1.2.1二數求和的分析採用《進位行方法》的加法運算由上節可知①兩數相加時，每一位上只有二個數相加，不可能二個以上數加；②在進位行中直接標示進位，不存在任何困難；③驗算十分方便。
兩數相加時，任意位上要麼有進位記為1，要麼無進位記為0；[引理二]兩數相加時，任意位上的和可為0～9之一。但是，當該位上有向高位進位時，該位上的和只能為0～8之一，而不能為9。
由[引理一]和[引理二]可得 式五 式四 兩數相加時，若且唯若某位上沒有向高位進位時，該位上的和才可能出現9。
1.2.2層次概念及運算層設兩數求和。算式為式四、式五由式四可見，運算是分層次進行的，每一運算層，僅完成一項簡單運算。這就是運算的「層次」概念，運算層將一個運算解剖成微運算、子運算。「層次」概念在數學中是基本概念。《進位行方法》正是建立在此概念基礎上。以往的加法運算方法，本質上也隱含「層次」概念。因此，《進位行方法》中的「層次」從總體上看，並未增加運算的複雜性。反之，以往的方法由於隱含了「層次」，反而進一步增加了運算的複雜性。這一點，也進一步造成運算速度被明顯降低。兩者對比，就會一清二楚。
在《進位行方法》中，兩數相加的各個運算層，可以合併為一個運算層。如式五，請見進一步分析。
1.2.3唯一的運算層兩數相加時，特別情況下會出現多次運算層。各層有如下關係成立。
二數相加，當某位前一運算層上有進位時，其後各運算層上均不可能出現進位。(由引理一、二得)[引理四]二數相加，當某位後一運算層上有進位時，其前各運算層上必無進位。(由引理一、二得)[定理二]二數相加時，同一位各運算層上，要麼都無進位，要麼只能有一個進位。(由引理三、四得)[推論]可以將全部各層進位行合併為一個進位行，各運算層合 式六 式七並為一個運算層。
1.2.4三數及三數以上求和分析設三數求和，算式為231+786+989＝2006(見式六)操作要點①「劃Q」的運用；所謂「劃Q」，即Q進位的兩數在某位上相加時，其按位加和為零，但該位上產生進位(與兩數符號一致)。進位放入進位行；同時，在某位上，該兩數均不再參加運算。
在十進位時即為「劃十」。
a、同一位上兩數和為「十」時，可在算式中將兩數字以斜線划去，然後在高位上補1。
b、同一位上幾數和為20、30、40……等時，可將幾數字均划去，然後在高位上補2、3、4……等。
又，設六數求和。算式為786+666+575+321+699+999＝2046(見式七)。
②多個數相加，會出現二個及二個以上的運算層。為了減少運算層數，同一位上的同一運算層空位中，進位及和數可以任意佔位。
③儘量減少運算層。a、較小的數，直接合併算；b、儘量在「配對」中進位；c、儘量減少在第一運算層上相加數的個數，儘量使第二及二以上運算層不出現。
④同一位上，「相同數」、「連續數」等可直接獲得「部分和」。
⑤設有m個數求和。(m為≥2的自然數。)總運算層以n來表示。(n為非負整數)。則 式八2、混數及混數數制2.1《數制理論》2.1.1按同一種規則記錄數，便於用來在一個數系統中進行運算的數的制度，稱為「記數系統的制度」。簡稱為「數制」。一個數的質，首先就是由其所屬的數制來決定的。恩格思指出「單個的數在記數法中已經得到了某種質，而且質是依照這種記數法來決定的。」「一切數的定律都取決於所採用的記數法，而且被這個記數法所決定。」《數制理論》就是研究數制的生成、分類、分析、比較、變換等以及數在各鄰近學科與實踐中應用的科學。它是數學的基礎理論之一。
數制是數的屬性。不存在沒有所屬數制的數，也不存在沒有所屬數的數制。[文中凡未標明數制的數，均指普通十進位數。下同。]2.1.2位值制數制設，構造一個數系的數由各不相同位置上的「數符」來表示。「數符」又稱「數字」，通常從右向左水平排列，其相應的數值由低(小)到高(大)。每個數位上的數字給定一個單位值(又稱「位值」)，由此來表示整個數系中每一個數的數制，稱為「位值制數制」。
我們以下討論的數制，都是「位值制數制」。簡稱為「數制」。所討論的數均約定為整數。
2.1.3數制的三大要素數位I，數元集Zi和權Li。
a、數位I，表示數制中數的各位數字的位置。以I(序數)從右自左來表示。即，i＝1，2，3，……表示該數的第1，2，3，……位。
b、數元集Zi，表示第I位上的「數元」組成的集合。同一數制系統中，各個數同一位上不同符號的全體，組成一個該位上的數符集。該數符集中的元素，稱為「數的元素」。簡稱為「數元」。因此，該數符集稱為「數元集」。
數元集Zi可以隨著i的取值不同而不同，也可以相同。
數元集Zi中的數元可為複數或其他多種多樣符號。以aj來表示數元(a1，a2，a3，……)以iaj表示第i位上數元aj(j為自然數)數元集Zi的基數Pi(Pi為≥2的自然數)表示了集的元素總數。它「不但決定它自己的質，而且也決定其他一切數的質。」Pi的取值不同，標示了數元集Zi的變化。各位上的Pi均相同，則稱為「單一基數」；否則，稱為「混合基數」。相應的數制，稱為「單一數制」及「混合數制」。
c、權Li，表示第i位上的位值大小。特稱此位值為「權Li。」Li為實數(由於複數集非有序體，故不採用)。不同的Li，就決定了不同的位值。
在「編碼理論」中，「編碼」的主要特徵就在於權Li。
實際中常見的權Li採用所謂「冪權」。即，令Li＝Qi(i-1)，Qi為實數。為便於計算起見，常取Qi為自然數。常見各位Li均為冪權，而且成等比Q的數制。Q稱為數制冪權的「底數」或數制的「底數」。底數Q的不同，決定了不同的Li，從而決定了不同的位值。通常，稱這種數制為「Q進位」。當Q＝2，3，10等時，相應的數制就被稱為「二進位」、「三進位」、「十進位」等。
另一種常用的權Li採用「等權」，即各位上的權相同。
根據上述數制的三大要素，數制可以有無窮無盡的種類。
2.2混數及混數數制在任一個數制中，當p＝Q時，自然數在該數制中可以連續唯一的形態表達，稱為「連續數制」，又稱「普通數制」；當P＞Q時，自然數在該數制中可以連續，但有時以多種形態表達，稱為「重複數制」；當P＜Q時，自然數在該數制中只能斷續的形態表達，稱為「斷續數制」。
當數元集Zi中，含數元0時，該相應數制被稱為「含0數制」；當數元集Zi中，全部數元為連續整數時，該相應數制被稱為「整數段數制」；當數元集Zi中，既有正數元，又有負數元時，相應數制被稱為「混數數制」；混數數制中的數，稱為「混數」。「混數」中既有正數元又有負數元的數，稱「純混數」。在{Q*}數中，既有正數元又有負數元的數，稱為「純{Q*}數」。({Q*}定義見下一節。)當數元集Zi中，正負數元是相反數時，相應數制稱為「對稱數制」；顯然，「對稱數制」是「混數數制」的一種。
2.3混Q進位{Q*}和普通混Q進位{普Q*}在《數制理論》中，一個數制的名稱採用「 Zi Li」。例如{0，1，2，}三進位；或者Zi以文字表明其特徵。
對於普通十進位，在《數制理論》中，它的名稱是「單一基數P＝10，含0，整數段，非負不對稱的十進位」。可寫為{十，含0，整數段，非負}十進位，或者寫為{0，1，2，……，9}十進位。一般情況下，我們進一步縮寫為{十}，稱為「普通十進位」。
對於普通二進位在《數制理論》中，它的名稱是「單一基數P＝2，含0，整數段，非負不對稱的二進位」。可寫為{二，含0，整數段，非負}二進位，或者寫為{0，1}二進位。一般情況下，我們進一步縮寫為{二}，稱為「普通二進位」。
本文中《混數、進位行方法》(簡稱《混進方法HJF》見下一節。)中的混數數制主要有四類。在《數制理論》中，它們的名稱分別是「單一基數P＝19，含0，整數段，對稱的十進位」。可寫為{十九，含0，整數段，對稱}十進位，或者寫為{0，±1，±2，……，±9}十進位。一般情況下，我們進一步縮寫為{+*}，稱為《混十進位》(用於筆算數字工程，特別是有理數運算教科書等時)。或者，「單一基數P＝3，含0，整數段，對稱的二進位」。可寫為{三，含0，整數段，對稱}二進位，或者寫為{0，±1}二進位。一般情況下，我們進一步縮寫為{二*}，稱為《混二進位》(用於計算機等時)。同樣，對於{0，±1，……，±(Q-1)}Q進位稱為「含0混Q進位」。當不致誤解時，也稱為《混Q進位》。Q為＞1的整數；同樣，對於不含0的{±1，…，±Q}Q進位，縮寫為{不含0 Q*}，稱為《不含0混Q進位》。Q為自然數。含0與不含0的「混Q進位」合併起來，也常常統稱為「混Q進位」。以符號{Q*}來表示，此時，Q為自然數。
在混數數制中，另一類為普通數制「Q，含0，整數段，對稱Q進位」，稱為「含0，整數段，對稱，普通Q進位」，稱為「含0普通混Q進位」。當不致誤解時，也稱為「普通混Q進位」，Q只能為＞1的奇數。其中典型的是{1，0，1}三進位，稱為「普通混三進位」{普三*}。[注令負A表為，讀作負A。如，負1＝1。下同。]在不含0的混數數制中，有一類為普通數制「Q，不含0，整數段，對稱Q進位」，稱為「不含0，整數段，對稱，普通Q進位」，又稱為「不含0普通混Q進位」{不含0普Q*}。其中典型的是{1，1}二進位，稱為「不含0普通混二進位」{不含0普二*}。顯然，不含0普通混Q進位中，Q只能為正偶數。含0與不含0的「普通混Q進位」合併起來，也常常統稱為「普通混Q進位」，以符號{普Q*}來表示。此時，Q為＞1的整數。
除上述四類「對稱混數數制」外，其他對稱混數數制，稱為「其他對稱混數數制」；其他不對稱混數數制，稱為「非對稱混數數制」。
3、《混進方法HJF》及其混十進位{十*}四則運算。
採用混數和《進位行方法》來進行有理數運算的方法，稱為《混數、進位行方法》，簡稱為《混進方法HJF》。當用於筆算數字工程，特別是有理數運算教科書等之中時，採用的是{+*}混十進位的《混進方法HJF》。當用於電子計算機等之中時，採用的是{二*}混二進位及{十*}混十進位等的《混進方法HJF》。
3.1{+*}的加法 (見式九)式九式中求得和為573。當需要轉化為普通十進位{十}數時，和為427。一般來說，所求和573不必轉化(特別是作為計算過程中間結果時)。確需轉化時，方法見4.1轉換法則。
3.2{+*}的減法3.2.1例123-456＝123+456＝339首先化為加法來運算，這是由於混數的特性所決定。這一來，實際計算中，加減就合併為加法了。這就消除了通常連加減的困難。
例112+56-32-85+67-46＝72 (見式十) 式十一式十3.2.2約混。這是指二數求和時，同一位上的相反數可以消去。也可稱為「對消」或「對衝」。在算式中，可以斜線划去。也就是說，所謂「對衝」，即兩相反數，其和為零。該某位上的兩數不再參加以後的運算。在實際運算中，採用先「對衝」後「劃Q」來獲得混Q數的結果。
3.3{+*}的乘法例238×89＝12502 (見式十一)3.4{+*}的除法例5728÷23＝249……1要點①式十二採用原普通除法，現採用四則統一算式如式十三。
②式十三中57-23×2＝57+23×2＝57+46也就是說，由於採用混數可使除法中的「減」過程變為「加」的過程。其餘同此。
式十二式十三式十四我們為了去掉「減」過程的思路，可以令被除數變號，然後，整個「減」過程完全變成「加」過程。這可使整個運算的複雜性進一步降低。
以後，我們的除法就以此來進行。但，應該注意，此時若出現餘數則要將該餘數變號後，才是最終運算結果的餘數。
4、《混十進位》{+*}與《普通十進位》{十}的關係。
4.1{+*}與{十}數的轉換法這裡指整數的情況，例如{+*}382296＝{十}221716(式十四)。
4.1.1{十}數本身即為{十*}數的一種特況，故{十}數不經轉換即為{十*}數。
4.1.2{十*}數轉換成{十}。方法有兩種一種將{十*}數變為一正一負的兩個{十}數求和。這有好多種。其中，典型的是將該{十*}數中各正數字位及0位作為一正{十}數，而將各負數字位作為一負{十}數。
例{十*}382296＝{+}302006-80290＝221716另一種方法是{+*}數中，連續正數字(或0)的數欄位照寫不變。如3×2××6。但，當其不在{+*}數末尾(個位)時，則最低位加1；連續負數字的數欄位，則使負數字的相反正數字與所求轉換數字之和為9，如×1×70×。然後，在其最低位加1。
這樣，求得結果為221716，即為相應{+}數。
(注式十四中連續負數欄位右側可劃上分段線。當不致誤解時，分段線可不劃。)4.2{+*}與{+}對照表及其說明(對照表見下面表一) 表一說明表一中 表示為9的二次取負數(二次以上從略)，餘數同此。
①表一中0+0-分別為從正負方向趨近於0所獲得的0；②表一中9表示任意非負整數位連續的9，讀作「延9」。式中 表示任意非負整數位連續的0，讀作「延0」。這種數，可以稱為「無限延數」。
③無限延數有且僅有 四種。由於 故無限延數有且僅有 三種。亦可寫為 ④0＝0，由數10的兩種表達形式可知。因此， 4.3{+*}與{+}關係分析
4.3.1{+}數是{+*}數的一部分，{+}數集是{+*}數集的子集；{+*}數{+}數，即{+*}數對{+}數有包含關係。
4.3.2{+}數與{+*}數的關係是 「一多對應」關係，而不是「一一對應」關係。正由於此，{+*}就獲得了多樣處理的靈活性。這是{+*}運算中多樣性、快速性的原因。從這一點來說，{+*}具有較強的功能。
4.3.3{+*}數轉換為{+}數，只能化為相應唯一的一個數。這是因為，{+*}數可經{+}數加減直接獲得，而{+}數加減運算後的結果是唯一的。反之，{+}數也只能化為相應唯一的一組{+*}無限延數。所以，這種{+}數的「一」與{+*}無限延數的「一」組兩者是「一一對應」關係。
由此，可建立一種{+*}數與{+}數的互為映射關係。
由於變換是集到自身上的對應，所以{+}與{+*}數是「一一變換」。對於運算系統來說，{+}與{+*}數系統是「自同構」。相應{+}數的各種運算性質，亦在{+*}數系統中成立。
4.3.4{+*}中P＞Q，因而在該數制中自然數有時會出現多種形態表達，這正是該數制靈活性所在，它使運算得以簡便快捷。也可以說{+*}是以多樣性來換取了靈活性。
{+}中P＝Q，因而在該數制中，自然數是連續唯一形態表達，它沒有這種多樣性。也缺少了這種相應的靈活性。
可以這麼說，本發明的關鍵正是在此。有了它，才有了《混進方法HJF》，才有了「筆算數字工程」的新技術方案。有了它，也才有了電子計算機新技術方案。
4.3.5應當指出，顯然，上述對{+}及{+*}的分析，完全相應於{Q}及{Q*}的分析，因為{+}與{Q}是同構的。由此可知，①{Q}數與{Q*}數的關係是「一多對應」，而不是「一一對應」。②同時，{Q}中的「一」個數與相應的{Q*}中的「一」組無限延數，兩者之間是「一一對應」關係。③{Q}與{Q*}數系統是「自同構」。相應{Q}數系統的各種運算性質，亦在{Q*}數系統中成立。
5、綜合上述，可有如下簡明結論混Q進位{Q*}及《混進方法HJF》在數字工程中，可大大提高運算速度，而且大大降低筆算的出錯率。它正是錢學森指出的數學第三層次「直接應用的工程技術」。這種「工程技術」與數字計算工程緊密結合的方法，稱為「混Q進位、進位行數字工程方法」。由該「混Q進位、進位行數字工程方法」，分別獲得如下三個發明申請號0312 2702.3混Q進位、進位行數字工程方法和筆算工程。
申請號2004 1002 8503.6混Q進位、進位行數字工程和處理器。
申請日2004年6月25日混Q進位、進位行數字工程方法和混Q算盤。
第二部分混Q算盤圖1為正負碼1編碼的混Q算盤機械原理圖。以四則運算的加法為例，被加數布珠在豎檔(7)上，其個位在右邊為被加數小數點的豎檔(7)。遊標1(3)在上框小槽(6)中滑動到指定的被加數小數點位置。參加運算的數為混Q進位數，簡稱「混Q數」(包括普通Q進位數在內)。當Q＝10時，則為混十進位數，簡稱為「混十數」(包括普通十進位數在內)。
在運算時，依加法口訣執行。設該加數的某位為正數，則將位於豎檔(7)中央的算珠(1)(稱為中珠或「零珠」)，上撥依次緊靠上框(6)(稱為「上珠」或「正珠」)；某位為負數時，則將位於豎檔(7)中央的算珠(1)，下撥依次緊靠下框(9)(稱為「下珠」或「負珠」)。進位照口訣。和數以混Q數呈現於豎檔(7)上。在運算過程中，當算珠從下位移到中位，或從中位移到上位，則為「加」；反之，當算珠從上位移到中位，或從中位移到下位，則為「減」或「加」負值。運算中可充分運用「對衝」及「劃十」，用來提高運算速度。
當最終結果需要轉換為普通十進位數時，則照前述轉換法則即可。
在豎檔上的運算格式如下 加法、乘法珠算口訣一去九進一一去八進一三去七進一四去六進一五去五進一六去四進一七去三進一八去二進一九去一進一圖2為正負碼2編碼的混Q算盤機械原理圖。當運算時，數的某位為正，則該位上算珠依次緊靠上框；當該數的某位為負，則該位上算珠依次緊靠下框。當該數的某位數＞5或＜5時，則加上該位數對「十」補數的相反數；同時，在相鄰高位上加同符號數1。
運算的結果，即為各位上珠超出5的數及下珠超出5的數。
當上下珠均為5隻時，該位上的數值為0。
第三部分 增Q進位{Q△}及全一碼1.增Q進位{Q△}1.1定義及符號[文中凡未標明數制的數，均指普通十進位數。下同。]{十}{二}{一△} {一△}{二}{十}000 000 000 0…00000000＝ 001 111 001 0…00000001＝1＝ 010 112 010 0…00000011＝11＝ 011 1023 011 0…00000111＝111＝ 100 114 100 0…00001111＝1111＝101 1025 101 0…00011111＝11111＝ 110 1026 110 0…00111111＝111111＝ 111 1137 111 0…01111111＝1111111＝ ＝＝＝＝＝ ＝ ＝ ＝表三 表二11 11 2 1揚1 3 3 1 輝1 4 6 4 1 三· · 角· · 形表四在一個數制中，凡P＝Q+1＞Q的進位，稱為「增強Q進位」。簡稱為「增在一個數制中，凡P＝Q+1＞Q的進位，稱為「增強Q進位」。簡稱為「增Q進位」，以符號{Q△}來表示。Q為自然數，顯然，{0，1，2}二進位，即為「增二進位{二△}」； {1，0，1}二進位也就是混二進位{二*}，亦為「增二進位{二△}」。此外，還有其他{二△}。
1.2增一進位{一△}及其運算增Q進位{Q△}中，當Q＝1時，即為增一進位{一△}。增一進位{一△}中，主要有二種。其一是{0，1}一進位，其元器件為二態器件。其二是{1，1}一進位，其元器件亦為二態器件，它亦可表示全部整數。本文僅採用{0，1}一進位來分析。
增一進位{一△}的運算。這裡列出加法運算，例如{+}4+3+2＝9＝{一△}110101+1011+101＝11001100010101011。
1.3增一進位{一△}與{Q}的關係。
1. 3.1{一△}數與{Q}數的轉換法。
{一△}數轉換成{Q}數，可以將{一△}數中的各位數字1，以{Q}計數即可。所得{Q}計數和，即為相應的{Q}數。這就是說，{一△}數中有幾個1，則相應的{Q}數即為幾。顯然，這是十分簡單的法則。(見表二){Q}數轉換成{一△}數，可將{Q}數各位均乘以各位上的權，然後將這些積以同樣個數的1，分別在所要表達的{一△}數位置上，以不重複的方式列出即可。這就是說，{Q}數為幾，則{一△}數中就有幾個1。顯然，這也是十分簡單的法則。(見表三)1.3.2{一△}數與{Q}數對照表及其說明見表二、三(令Q＝2、10)說明①{一△}數可表示全部{Q}數②有較多的重複數，以4位{一△}數為例，除0及4唯一外，其餘均有重複數。其中，1有4個；2有6個；3有4個。於是，從0～4的重複數分別為1，4，6，4，1個。這與二項式展開係數CKn是一致的。(位數n為自然數，K為0～n。)(見表四揚輝三角形。)③表中0表示為任意非負整數位連續的0。這與混Q進位中是一樣的。稱為「無限延數」。{一△}數中，無限延數有且僅有一個，即為「 0」。
1.3.3{一△}與{Q}關係分析。
(1)Q1，Q為自然數；1為最小的自然數，也是最基本的自然數單元。Q包含1，這使得相應的{Q}及{一△}之間存在自然的聯繫。
(2){Q}數與{一△}數的關係是「一多對應」關係，而不是「一一對應」關係。正由於此，{一△}就獲得了多樣處理的靈活性。這是{一△}運算中快速性的原因之一。從這一點來說，{一△}具有較強的功能。
(3){一△}數轉換為{Q}數，只能化為相應唯一的一個數。這是因為，{一△}數可經{Q}加減直接獲得，而{Q}數加減運算後的結果是唯一的。反之，{Q}也只能化為相應唯一的一組{一△}無限延數。所以，這種{Q}數的「一」與{一△}無限延數的「一」組兩者是「一一對應」關係。由此，可建立一種{一△}數與{Q}數的互為映射關係。對於運算系統來說，{Q}與{一△}數系統是「同構」。相應{Q}數的各種運算性質，亦在{一△}數系統中成立。
(4){一△}中P＝Q+1＞Q，因而在該數制中，自然數有時會出現多種形態表達，這正是該數制靈活性所在，它使得運算得以簡便快捷。也可以說，{一△}是以多樣性來換取了靈活性。
{Q}中P＝Q，因而在該類數中，自然數是連續唯一形態表達。它沒有這種多樣性，也缺少了這種相應的靈活性。
(5)上述{一△}與{Q*}相結合，使得功能更加增強。考慮到{一△}→{Q}→{Q*}這其中有著內在的聯繫，顯然，這一切均在預料之中。
1.4增一進位{一△}的應用1.4.1增一進位{一△}的運算是一種優異的運算。由於它以權為1的單元1配以0構造數，故其運算中常以「傳送」來實現。這是{一△}數運算中快速性原因之一。{一△}數運算中的「進位」，也可以當前位的二數按位加和為0，而進位為Q的「劃Q」邏輯實現。這種「傳送」及「劃Q」的邏輯實現，結構特別簡單，速度卻特別的快。這是{一△}數運算中快速性原因之二。
當{一△}數與純{Q*}數結合運算時，又補充了「對衝」這一結構更為簡單、速度更為快速的邏輯。這是{一△}數運算中快速性原因之三。
1.4.2{一△}與{Q*}結合可作為多種新一代超高速電子計算機的技術方案。[詳見下一章。]2.全一進位、全一數及全一碼2.1全一進位和全一數增一進位{一△}數的多樣性是{一△}數運算快速的原因之一。{一△}數在「多重運算」時，在沒有必要獲得最終結果的過程運算中，產生的每一重數據均保留在相應的多重寄存器中作為中間結果。
但是，由於{一△}數具有極端的多樣，常造成數運算形式難以把握。因此，在一般情況下，有必要對{一△}數加以某種約束條件，使其減小多樣性。這就產生了「全一進位」。
在增一進位{一△}的正整數中，限定每一組無限延數，只選取從個位開始，從右向左連續排列1的唯一的一種形態表達。例如{+}數3＝{一△}數 (「/」表「或者」)，限定為{+}3＝{一△} 這樣，每一組無限延數中的重複數均被刪除，只剩下一個全是1的唯一形態。我們稱為「全一數」。表達「全一數」的進位稱之為「全一進位」。表二中，{一△}數最左邊的形態，即為「全一進位」數。當考濾到正負整數時，可以將該全一進位數的符號，分配到該數的各位上去。從而構造帶符號的全一進位。下述「全一進位」均為此種帶符號的全一進位。
因此，「全一進位」是加特定約束條件的增一進位{一△}。
在《數制理論》中，當定義空位表示0，具有隱含的「空位0」，即「空元」概念時，則全一進位可以從加符號位的{1}一進位獲得；全一進位也可以從不含0的混Q進位{不含0 Q*}中的{1，1}一進位加約束條件獲得，約束條件為該進位數必須各位上符號均相同；全一進位還可以從不含0增一進位{不含0一△}中的{1，1}一進位加上述同樣約束條件獲得。
2.2全一碼全一進位顯然具有如下優缺點。優點①運算速度快。「傳送」代替了「翻轉」。②多重運算時，不需要二、二求和，只需要先「對衝」及後「劃Q」即可得結果。這就大大加快了總體運算速度。③與{Q}轉換方便。缺點①「字長」太長，位數多。但，當取可變字長時，其平均字長僅為一半。②荷載信息量較小。因此，根據全一進位的優缺點，揚長避短，以全一進位來編碼{Q*}是合適的。以「全一進位」來編碼，稱為「全一編碼」。「全一編碼」中採用的「全一數」，稱為「全一碼」。由上述全一進位是帶符號的可知，全一碼也是帶符號的。表五，顯示出全一碼一位，編碼{二}數元的情況。由表五可見，全一碼一位編碼的{二}數，即為{二}數本身。表六，顯示出以全一碼九位，編碼{十}數元的情況。由表六可見，全一碼九位編碼的{十}，字長增加至9倍。但，當取可變字長時，其平均字長僅為5倍。
例如{十}23＝全一碼 ＝ ≡。
對於混Q進位{Q*}，則可以全一碼來編碼。需要指出的是，這裡全一碼一位編碼的{二*}數，即為{二*}數本身；這裡{十*}數，則全一碼 {二}數元 全—碼 {十}0 01 1 表五 表六以九位全一碼來編碼。
2.3全一碼的計算。
全一碼的計算非常簡單。以二數加法為例，僅為二數中1的不重複排列，簡稱為「排1」。如11+111＝11111。
特別是，在{Q*}數字工程中，僅僅只需先「對衝」後「劃Q」就能獲得{Q*}數運算結果。當最終結果需要輸出時，才將{Q*}數轉換成{十}數輸出。
2.4全一碼的應用。
全一碼主要應用於對{Q}及{Q*}數進行編碼。特別是，①採用全一碼九位編碼{十}數，可以實現普通十進位{十}、全一碼電子計算機。
②採用全一碼九位編碼{十*}數，可以實現混十進位{十*}、全一碼電子計算機。
③採用全一碼編碼{Q*}數，可以實現混Q進位{Q*}、進位行、全一碼電子計算機。
④採用全一碼九位編碼{+}或{+*}數，再以正負碼來二次編碼，可以實現另一種新型算盤。
⑤採用全一碼九位編碼{+}或{+*}數，再以正負碼來二次編碼，可以實現另一種新型筆算工程。
第四部分正負碼(一)人為構造如下正負碼1，參見表七正負碼1編碼，是將混十進位數的每一位數字s，以三位特定值之和來編碼。其中，一位正值，一位0值，一位負值。(見{十*}數與正負碼1對照表。)表中s為{十*}整數，r＝{十}0，1，2，3，4，5。
表七混十進位數與正負碼1對照表 顯然， 圖1中算珠在豎檔的上、中、下三個位置，即成為「上珠」、「中珠」和「下珠」。以上珠來表示這裡的正值，以下珠來表示這裡的負值，以中珠(又稱為「零珠」)來表示中間值0。採用中間值0的設計，是為了存放多餘的零珠。在運算過程中，當算珠從下位移到中位，或從中位移到上位，則為「加」；反之，當算珠從上位移到中位，或從中位移到下位，則為「減」或「加」負值。運算中可充分運用「對衝」及「劃十」，用來提高運算速度。
(二)人為構造如下正負碼2，參見表八。
正負碼2編碼，是將混十進位數的每一位數字s，以二位特定值之和的一半來編碼。其中，一位正值，一位負值。(見{十*}數與正負碼2對照表。)表中s為{十*}整數。
表八混十進位數與正負碼2對照表
表八中，左下方—表示產生負進位；右上方—表示產生正進位。
圖2中算珠在豎檔的上、下二個位置，即成為「上珠」和「下珠」。以上珠來表示這裡的正值，以下珠來表示這裡的負值。至於0值，則以「上珠」與「下珠」均為5隻來表示。在運算過程中，當算珠從下位移到上位，則為「加」；反之，當算珠從上位移到下位，則為「減」或「加」負值。運算中可充分運用「對衝」及「劃十」，用來提高運算速度。
正負碼2與正負碼1相比，不需要「零珠」，因此，只要二位編碼即可。這對撥打算珠時，希望確保狀態穩定有利。但是，正負碼2判斷數時，須去掉5的影響。
採用正負碼來編碼的優點是(1)適於混十進位運算；(2)產生新的重複數，增強了數據表達形式的多樣性，從而提高了運算速度。
採用正負碼來編碼的缺點是正負碼編碼二位或三位，使操作的複雜性增加。
權利要求
1.一種混Q進位、進位行數字工程方法，包括以下步驟第1步，將參與運算的普通Q進位數的每一位數字都加上一個數符，即表示該位數為正或負，使它成為每一位均帶符號的混Q進位數，設，參予運算的數為K個混Q進位數，K為≥2的正整數；第2步，對K個數同時進行混Q進位的求和運算，從最低位開始按位相加，即在某一位上，取前述K個數中的二個數按位相加，得到「按位和」為該位這二個數相加的和數，將此和數記入下一運算層，作為「部份和」數；同時所得「混Q進位」，則存放到下一運算層的任一進位行中與該位相鄰的高位處；第3步，在該位上取K個數中的另二個數，進行第2步的運算，如此反覆，直至K個數均取完為止；當K個數中僅剩下一個數時，則直接移至下一運算層的同一位上作為「部份和」數；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重複第2步及第3步的運算，直至K個運算數的每一位都已全部操作；第5步，在下一個運算層中，將上述「按位和」數與進位行中的「進位數」進行前述第2步、第3步、第4步求和運算；第6步，重複第2步至第5步的運算，直至不產生「混Q進位」為止，則最後一次「按位加」所得和數，即為所求加法運算結果。
2.如權利要求1的混Q進位、進位行數字工程方法，其特徵在於在某一位上，對K個數中的二個數進行求和運算時，如果其中兩個運算數的該位為相反數，則該位和為零，然後將該兩個運算數的某位均以邏輯方式置「0」，不再參加以後的運算，這稱為「對衝」；如果在某一位上，對K個數中的二個數進行求和運算時，其中兩個運算數的按位加和為零，但產生進位，則將其進位放入任一進位行中的相鄰高位，然後將該兩個運算數的某位均以邏輯方式置「0」，不再參加以後的運算，這稱為「劃Q」；或者，不採用「對衝」及「劃Q」。
3.如權利要求1或2的混Q進位、進位行數字工程方法，其特徵在於可以不編碼混Q進位；可以普通8421碼等來編碼混Q進位數；也可以全一碼來編碼混Q進位數，即將各個混Q進位數的每一位數S，都以S個1從最低位順序至高位排列來對應，其餘高位均為0，總位數則為(Q-1)位；同時，將混Q進位數中該位的數符，即表示該位的數為正或負，作為相應全一碼中每一位上的數符。
4.如權利要求1-3任一個的混Q進位、進位行數字工程方法，其特徵在於當採用全一碼來編碼混Q進位數時，二數加法僅為二數中1的不重複排列。
5.權利要求1或2的混Q進位、進位行數字工程方法，其中所述運算數是混Q進位數，Q為自然數。
6.一種混Q進位、進位行算盤，即混Q算盤，在盤狀長方形機械框架結構中，以人工手動方式使算珠(1)沿豎檔上下移動進行數據連接計算，其特徵是具有豎檔(7)，其上有可垂直移動的一些算珠(1)；具有遊標1(3)、遊標2(4)，可在上框(5)的上框小槽(6)中左右滑動。
7.根據權利要求6中所述的一種混Q算盤，其特徵是豎檔(7)可以為15檔，或15檔以上，或15檔以下。
8.根據權利要求6或7的混Q算盤，其特徵是每根豎檔(7)上有10隻算珠(1)，或者有9隻算珠(1)。
9.根據權利要求6所述的一種混Q算盤，其中所述運算數用正負碼編碼來表示。
10.根據權利要求6所述的一種混Q算盤，其中所述運算數是混Q進位數，Q為自然數，特別是普通十進位數。
全文摘要
本發明涉及數字工程方法和算盤領域，提出一種新的數字工程方法，大大提高運算速度，而且大大降低筆算的出錯率。本發明的混Q進位、進位行數字工程方法包括將參與運算的K個普通Q進位數的每一位數字都加上一個數符，對K個數同時進行混Q進位的求和。從最低位開始按位相加，即在某一位上，得到「按位和」，將此和數記入下一運算層，作為「部分和」數；同時所得「混Q進位」，則存放到下一運算層的任一進位行中與該位相鄰的高位處。經過如此反覆運算，直至不產生「混Q進位」為止。則最後一次「按位加」所得和數，即為所求加法結果。本發明同時提供了數字工程領域的混Q進位算盤。
文檔編號G06F7/49GK1624652SQ20041006011
公開日2005年6月8日 申請日期2004年6月25日 優先權日2004年6月25日
發明者李志中, 徐菊園 申請人:李志中