最原始的人造計算工具（人類追求計算自動化重要物證）

2023-07-25 11:55:00 4

細微處窺見時代風貌體認中領略器物之美

撰文 | 張濤

來源：清華大學科學博物館

萊氏計算器

人類進入當前以計算機為代表之一的資訊時代，經歷了漫長的發展歷程，其中計算器的發明與發展起到了關鍵作用。在這一過程中，萊布尼茨計算器是一項裡程碑式的發明，它不僅能夠進行加減乘除四則運算，而且真正實現了計算過程的自動化，其設計理念和核心部件引領了此後機械計算器200餘年的發展進程。收藏萊布尼茨計算器並研究其設計理念、核心部件、使用方法、內部結構、進位方式，對於研究和了解人類探索計算自動化之歷程具有重要意義。

萊布尼茨十進位四則運算手搖機械計算器

清華科學博物館復原了萊氏計算器的「階梯滾輪」裝置，並在「神機妙算——計算器具歷史展」中展出

人類進入當前的信息社會，尤其是進入當前流行的計算主義時代，從醞釀到成熟，經歷了近400年的緩慢發展歷程。但是，由於特殊的國情，中國進入信息社會幾乎是在短短十幾年內完成的，並沒有像西方社會那樣經歷過漫長的過渡。這種科技史記憶的缺失，尤其是科技史器物的缺失，並不利於我國思想界深入反思信息社會的本質，也不利於我國科技教育界理解科技發展的一般規律和科技創新的一般原理。因此，研究西方計算器史，並以此為基礎研究西方計算思想史，並同時在科學博物館中開設計算器展區，對於中國思想界和中國科技教育界的發展，均具有基礎性的理論意義和急切的現實意義。

德國著名哲學家、數學家萊布尼茨（G.W. Leibniz，1646－1716）為世人所知，多半是因為他發現了微積分（Calculus）這一數學概念並創造了我們今天所使用的微積分符號，但大多數人並不知道他在漫長的計算器發展史和計算思想發展史中是一位重要的奠基者。他系統地發明了二進位算數，提出了「通用字符理論」，這二者均成為了信息社會的根基。此外，萊布尼茨對信息社會更直接的貢獻，是他發明的能夠對十進位數字進行加減乘除自動化運算的手搖機械計算器。

在17世紀的歐洲，似乎掀起了一場追求計算自動化和研製計算工具的浪潮，僅僅在半個世紀裡就先後誕生了納皮爾骨籌、對數計算尺、史卡特計算器、帕斯卡計算器、莫蘭計算器、萊布尼茨計算器等計算裝置。其中，前兩者均是計算輔助工具，史卡特計算器和莫蘭計算器的設計原理依然是納皮爾骨籌，這四者的計算過程均需要手動參與；帕斯卡計算器雖然實現了自動化，但嚴格意義上講它還只是一臺加法器，其齒輪只能往一個方向撥動，並且對於乘除運算無能為力。而萊布尼茨設計的計算器，不僅能夠進行加減乘除四則運算，而且還真正實現了自動化，標誌著人類追求計算過程自動化之夢想的真正實現。

自萊布尼茨之後，機械計算器設計愈發精巧，在19世紀末逐漸實現了量產，於20世紀初得到普及，並逐漸通過與電機和按鍵的結合變得更加省力，直到20世紀末被現代電子計算器所取代。但是，在萊氏計算器後續200餘年的機械計算器的發展史中，其設計理念及其核心部件仍然發揮著主導作用，之後的各類機械計算器均可以從萊氏計算器中找到影子。可見，萊氏計算器在人類追求計算過程自動化的歷程中具有裡程碑式的意義。

1、萊氏計算器製造及其研究簡史

萊布尼茨在世之時，他的計算器就已經得到了廣泛的關注和研究，並直接推動了機械計算器的發展。他的第一臺計算器還是一個比較簡單的木製模型，於1673年2月1日在倫敦的皇家協會得到公開展示，與會的胡克（Robert Hooke）對其進行了非常細緻的研究，甚至嘗試研製一臺更先進的計算器出來，以爭奪四則運算計算器的發明權。

萊布尼茨於1673年5月在巴黎研製的第二臺計算器，由黃銅製成，擁有4個輸入位、12個輸出位，可以對4位數（千位）進行計算，輸出結果可以達到12位數（千億位）；於1675年1月9日在法國皇家科學學院得到展示。萊布尼茨於1675年在巴黎研製的第三臺計算器，也是由黃銅製作，已經擁有7個輸入位、12個輸出位；這臺計算器在巴黎的不同地點得到過多次展示，並於1676年10月18日交給了英國皇家協會秘書奧登伯格（Heirich Oldenburg）。

萊布尼茨於1697年完成了第四臺計算器的研製，在幾番改進之後，擁有8個輸入位、16個輸出位，經常由萊布尼茨親自攜帶或單獨外借到歐洲各地公開展示。為此，萊布尼茨於1704年左右還特意為計算器訂製了一個木質盒子，以起到保護作用。應該說，萊氏計算器的這些公開展示活動，直接推動了機械計算器的發展，甚至掀起了歐洲研製四則運算機械計算器的高潮，我們在萊氏計算器之後出現的幾臺機械計算器中，都能發現其影響。

萊布尼茨死後留下了20多萬張手稿，卻被漢諾瓦王室長期封存，這嚴重阻礙了萊布尼茨思想的傳播，萊布尼茨對機械計算器的貢獻也因此被遺忘了。在萊布尼茨去世之後，他的計算器流落到了哥廷根，在那裡待了一個多世紀，先是在哥廷根大學的模型陳列室裡安放著，然後又閒置於大學圖書館的閣樓裡。

直到19世紀末，在歷史主義思潮的影響下，萊布尼茨的重要性日益突出，萊布尼茨手稿的整理工作逐漸被提上日程，萊氏計算器也開始進入當時的學術視野。例如，第一篇研究萊氏計算器的學術文獻，應該是威廉·喬丹（Wilhelm Jordan）於1887年發表的德文文章《萊布尼茨的機械計算器》，他在文中對萊氏計算器的基本原理進行介紹，並手繪了幾幅圖紙。

也是在19世紀末，伴隨著機械計算器製造業的逐漸成熟，以及商業需求的逐漸加大，萊氏計算器得到了機械計算器製造商們的重視和研究，從而再次推動了機械計算器的發展。例如，在1893年，著名的計算器製造商Arthur Burkhardt對萊氏計算器進行了研究，這幫助他在萊布尼茨「階梯滾輪」的基礎上發明了更小巧的「階梯鼓輪」（stepped-drum），對機械計算器的發展起到了重要推動作用。

在此大氛圍之下，1897年萊氏計算器終於被藏入現在的萊布尼茨檔案館，得到了專門保護。在1924年，著名的機械計算器製造公司Brunsviga成功複製了第一臺萊氏計算器，此後又複製了4臺。截止目前，在德國境內已至少擁有14臺萊氏計算器複製品，大都是由機械計算器製造商、博物館或研究機構製造的。

施泰因（Erwin Stein）於1990年組織了萊布尼茨展覽（Leibniz-Ausstellung），推動了學界對萊布尼茨技術發明家形象的關注；施泰因於2005年複製了一臺萊氏計算器，並將其複製過程、機械圖紙、數學原理等內容公開發表到學術期刊上，開啟了萊氏計算器研究的另一種研究方式。在2014年，他與瓦爾斯道夫（Ariane Walsdorf）、巴杜爾（Klaus Badur）和柯浦（Franz Otto Kopp）合作出版了研究萊氏計算器的德語專著《最後的珍品》，可謂集萊氏計算器研究之大成。

2、藏品概覽、設計理念及其使用方式

雖然萊布尼茨一生實際共研製過4臺計算器，但是只有最後一臺得以存世，它於1697年在漢諾瓦由鐘錶製造師謝爾普（Adam Scherp）製成，後來先後輾轉各地交由不同的機械師改進，直到萊布尼茨去世的前幾年才改進完成，目前存放在漢諾瓦的萊布尼茨檔案館（見圖1）。

1）藏品概覽

因為經常要被運到其它地方去供人鑑賞，萊布尼茨為這臺計算器設計了一個由胡桃木和橡木製成的盒子，以起到保護作用。機器的主體部分是由鐵和黃銅製成，長寬高分別約為780mm、320mm、150mm；去掉木質盒子的蓋板之後，總重量約14kg。這臺計算器一共有8個輸入位、16個輸出位，換言之，可以對8位數（千萬）進行加減乘除四則運算，輸出結果可以達到16位數（千萬億）。機器主體部分，主要由輸入裝置和計算裝置兩大部分組成。輸入裝置在機器較靠前的位置，是一個相對較獨立的整體，可以通過搖動左側的滑板曲柄，在螺紋中軸上左右移動，以方便進行乘除法運算，起到類似於在筆算法中將乘數的不同數位分別與被乘數相乘的效果。

2）階梯滾輪及其設計理念

萊氏計算器的突破，是可以進行加減乘除四則運算。在它之前的帕斯卡計算器，實際上只能進行加法運算，只能把齒輪單個地往同一個方向撥動，其減法運算需要通過更換顯示欄的遮擋條來實現；因此，嚴格意義上講，「帕斯卡計算器」的學名應該是「帕斯卡加法器」。萊氏計算器之所以能夠進行乘除運算，主要是藉助於他發明的「階梯滾輪」（見圖2），也正是這個關鍵的零件主導了後世200多年的機械計算器的發展，為此，英語學界稱其為「萊布尼茨輪」（Leibniz Wheel）。

萊布尼茨輪的設計理念是：首先，從根本上說，加減乘除四則運算最終都可以還原為機械疊加，減法是加法的逆運算，乘法是加法的重複運算，除法是乘法的逆運算。

其次，將從0到9的10個個位數值，轉換成階梯滾輪上的10個階梯的長度值。

如圖2，數值0對應的階梯長度是「無」，數值1對應的階梯長度是最長的，數值9對應的階梯長度是最短的，以此類推。

第三，階梯滾輪推動與它相接的齒輪轉動，即可實現計算的功能。例如，圖2中的計數齒輪對準了階梯滾輪的2號階梯，當階梯滾輪旋轉1圈之後，計數齒輪會撥動2個齒格，相當於實現了2×1的計算；如果階梯滾輪轉動3圈，計數齒輪會撥動6個齒格，相當於實現了2×3的計算。

第四，十進位數的進位，是通過更換數字的排列位置實現的，例如，001、010、100依次相差十倍。同理，雖然每一個階梯滾輪裝置單獨對它所接收的數值進行計算，但是如果將多個階梯滾輪裝置排列起來，也就實際上表達了對不同數位上的數值的計算。

3）使用方法

萊氏計算器奠定了後世機械計算器的設計基礎，在現代電子計算器興起之前，市場上所廣泛使用的幾種機械計算器，其使用方法均與萊氏計算器類似。我們接下來以654321和987的加減乘除四則運算為例，闡釋萊氏計算器的操作過程。

1.加法和減法運算要計算

654321 987，參考圖1，共需6步：

①歸零。通過旋轉滑板曲柄，將輸入裝置移動到最右側，並將8個輸入旋鈕、16個結果顯示器都歸零。

②輸入被加數。通過旋轉輸入旋鈕，完成對數值654321的輸入；此時，數值大小已經轉變成了階梯滾輪的階梯長度。

③存儲數值。順時針旋轉動力曲柄1圈，將654321傳輸到計算箱上保存起來，相當於完成了0 654321的計算；此時，階梯滾輪推動了計算箱上的齒輪的轉動。

④輸入加數。旋轉輸入旋鈕，完成對數值987的輸入。

⑤計算。順時針旋轉動力曲柄1圈，完成654321 987的計算。⑥讀數。讀出結果顯示器上的數值即可。

由於減法運算是加法運算的逆運算，要計算654321－987，除了在步驟⑤中需要把動力曲柄逆時針旋轉1圈之外，其它步驟與計算654321 987均相同。乘法運算是加法運算的疊加運算，上面的步驟③其實相當於完成了654321×1的計算，如果要計算654321×987，理論上可以通過旋轉動力曲柄987圈來實現。

2.乘法運算

萊布尼茨設計了一個更簡便的乘法運算方法：

①歸零。

②輸入被乘數654321。

③計算。首先，順時針旋轉動力曲柄7圈，完成 654321×7 的計算；其次，旋轉滑板曲柄，使輸入裝置向左移動一個數位，對準輸出顯示器上的十位數，再順時針旋轉動力曲柄8圈，完成654321×80的計算；最後，再次旋轉滑板曲柄，使輸入裝置再向左移動一個數位，對準輸出顯示器上的百位數，然後順時針旋轉動力曲柄9圈，完成654321×900的計算。

④讀數。

可見，萊氏計算器的乘法運算原理，與我們經常使用的筆算法類似，將被乘數與乘數的不同數位分別相乘，然後將乘積結果相加；只不過，萊氏計算器將這兩個步驟綜合了起來，即時地顯示了每一次計算的結果。

3.除法運算

除法是乘法的逆運算，在筆算法中除法運算比較複雜，需要用除數從被除數的最高位開始逐位試錯，萊氏計算器也依據了同樣的原理。要計算654321÷987，需要經過6個主要步驟：

①歸零。

②輸入被除數654321。

③存儲數值，此時結果顯示器上已顯示654321。

④輸入除數987。

⑤計算。首先，旋轉滑板曲柄，使除數的最高位「9」對準結果顯示器上的最高位「6」，然後逆時針旋轉動力曲柄，計算器會出現卡頓，表示無法除盡，如此便完成了654÷987的計算，結果是除不盡（這一步也可以省略）；其次，旋轉滑板曲柄，使除數的最高位「9」對準結果顯示器上的次高位「5」，然後向逆時針旋轉動力曲柄，最多只能旋轉6圈，此時結果顯示器顯示「62121」，記轉器顯示「6」，便得到了6543÷987 的計算結果「商6餘62121」；第三，旋轉滑板曲柄，使除數的最高位「9」對準結果顯示器上的「4」，然後逆時針旋轉動力曲柄，最多也只能旋轉6圈，此時結果顯示器顯示「2901」，記轉器顯示「6」，便得到了62121÷987的計算結果「商6餘2901」；第四，旋轉滑板曲柄，使除數的最高位「9」對準結果顯示器上的「3」，然後逆時針旋轉動力曲柄，最多只能旋轉2圈，此時結果顯示器顯示「927」，記轉器顯示「2」，便得到了2901÷987的計算結果「商2餘927」。

⑥將每次運算所得結果列出來，便是654321÷987的最終結果「商662餘927」。

3、部分功能詳解及其進位過程

理論上講，將幾個階梯滾輪裝置（見圖2）並排起來，便構成了一臺萊氏計算器；但是，在實際操作層面上，卻遠比想像中的複雜：其關鍵在於如何處理進位問題，尤其是連續多次進位問題。帕斯卡加法器的進位原理，類似於我們現在日常使用的水錶、電錶的結構，低位齒輪旋轉1圈後，會撥動左側高位齒輪前進1齒，如此完成1次進位；其進位只能是低位齒輪逐級地推動高位齒輪的轉動，不存在多個數位的齒輪同時轉動的情況。

但是，萊氏計算器因為要進行乘除法運算，它必須能夠使不同數位上的轉軸、齒輪、階梯滾輪等同時轉動，並保證高位計算軸能夠精確地接收到低位計算軸上的進位，並且還要保證相鄰的計算軸在進位的時候不會發生衝突；這是萊布尼茨要克服的機械難題。

1）主要部件功能詳解

我們在這裡借用巴杜爾在《最後的珍品》中繪製的四幅圖，對萊氏計算器的內部結構進行一些詳細的說明。圖3是整體功能結構圖，圖4是輸入裝置結構圖，圖5是計算裝置結構圖，圖6是進位裝置結構圖。

圖3中各部件的名稱及作用（見圖3）分別是：a. 底盤，承載計算器整體；b. 輸入裝置，位於計算器前半部分（見圖4），是一個能夠在螺紋中軸上左右移動的整體；c. 結果顯示器，及時地顯示運算結果；d. 計算裝置，固定於計算器後半部分（見圖5），是一個獨立的整體。

圖4中各部件的名稱及作用分別是：e.輸入旋鈕，位於輸入裝置b上，一共有8個，上面刻有0~9十個數字，旋轉它的時候就會通過底下的傳動齒條使階梯滾輪m產生位移，從而實現數字輸入的功能；f.動力曲柄，是計算器進行計算的唯一動力來源，轉動它的時候便進入計算狀態；g.記轉器，用於計算動力曲柄旋轉的圈數，上面有對應著0~9十個數字的10個孔，可以用一個插銷插入指定的孔中，以限定動力曲柄旋轉的最大圈數；h.滑板曲柄，通過轉動它，輸入裝置會在8個不同的位置間進行移動，用以完成對高位數或小數的計算；j.定位儀，用以確保輸入裝置移動到準確的位置上，否則傳動曲柄f將會卡住；m.階梯滾輪，階梯狀的齒牙位於圓柱體的一側，齒牙之間的角度是22.5°，與輸入轉盤e底下的傳動齒條相連，承載著輸入結果，預備進入計算裝置中進行計算；u.傳動齒輪，傳動曲柄f首先驅動緊靠其後的3個大的傳動齒輪，然後再驅動更後面的8個傳動齒輪，這8個傳動齒輪再通過緊靠著它的小齒輪驅動階梯滾輪，並同時驅動和它處於同一個軸上的末端的二角齒輪。

圖5中各部件的名稱及作用分別是：i.制動彈簧，保證齒輪旋轉的時候保持一定的張力，保證計算的精確度；k.中間過渡軸，位於計數軸的中間，總共有15條，上面載有進位裝置（見圖6），在其前面和後面各有一個五角凹輪；l.五角墊圈，位於過度軸的最末端，屬於進位裝置的一部分，當它成傾斜狀的時候，表示有進位需求，手動將其擺正之後才能最終完成進位；n.接收計數輪，與結果顯示器c同處於計數軸上，與下面的階梯滾輪相接，用以接收來自階梯滾輪的數值。

2）進位裝置部件功能詳解

圖6中各部件的名稱及作用分別是：k.中間過渡軸；m.階梯滾輪，當它的階梯狀的齒牙位於上方的時候，會與接收計數輪n相接，從而實現數值的傳送；n.接收計數輪，它與結果顯示器同處計數軸上，兩者的轉動具有一致性；u.傳動齒輪，它會通過與它相接的小齒輪驅動階梯滾輪m旋轉；v.傳動齒條，與數字輸入轉盤e下面的齒輪相接，通過軸與階梯滾輪相連，當旋轉輸入轉盤e的時候，它會拉動階梯滾輪做前後位移；o.單齒輪，位於計數軸的末端，擁有一個凸齒，在計數軸的帶動下，每旋轉一圈就會推動中間過渡軸k末端的齒輪旋轉一個齒格，並使得中間過渡軸k旋轉18°；s.前置五角凹輪，有五個凹陷的角，各自成72°，在沒有進位需求的時候底邊處於水平狀態，如果單齒輪o推動了中間過渡軸k的轉動，那麼這個前置五角凹輪也會偏轉18°；t.二角凹輪，它與傳動齒輪u共用一個軸，位於軸的末端，在沒有進位需求的時候，它不會與上面的前置五角凹輪相交，當有進位需求的時候，即當前置五角凹輪發生偏轉的時候，它就會推動前置五角凹輪旋轉54°；p. 末端五角凹輪，它與前置五角凹輪共用一個軸，當前置五角凹輪被二角凹輪推動54°之後，它也會發生同樣的旋轉，並同時推動與其相接的左側的小型十角齒輪r旋轉一個齒格，從而完成進位；r.小型十角齒輪，它位於計數軸上，用於接受來自右側的後置五角凹輪的進位需求。

3）單次進位與多次連續進位

萊布尼茨的計算器，有兩種進位機制：單次進位和多次連續進位。單次進位比較簡單和順利。例如，如果要計算9 3，機器運作的整個過程將是這樣的：首先，將個位數上的數字輸入轉盤e向右旋轉到刻度3的位置，這個時候轉盤就會通過下面的傳動齒條v使得階梯滾輪m發生位移；其次，向右旋轉傳動曲柄f，它通過傳動齒輪u推動階梯滾輪向左旋轉；第三，階梯滾輪旋轉到上方的時候，與個位數上的接收計數輪n相接，使得n向右轉動3個齒格，並使得個位數上的結果顯示器c從數值9變為數值2；第四，個位數上的單齒輪o推動它左側的中間過渡軸k末端的齒輪向左旋轉18°；第五，傳動曲柄f繼續向右旋轉，二角凹輪t推動前置五角凹輪s向左旋轉54°；第六，後置五角凹輪也向左旋轉54°，並同時推動左側的十位數計數軸上小型十角齒輪r向右旋轉一個齒格。最後，十位數上的結果顯示器c因為向右旋轉了一個齒格，便從數字0變成了1，至此，完成了計算的全過程，8個結果顯示器上的結果是00000012。

但是，還有另外一種情況，那就是當多次連續進位發生的時候，這是乘法運算中經常遇到的，也是萊布尼茨需要解決的一個難題，同時也是他的進位裝置能夠巧妙地解決的。例如，如果要計算99 3，則需要完成兩次進位，其運算的整個過程是這樣的：首先，個位數上的進位過程與上面的過程完全一樣，完成進位之後，個位數的結果顯示器c變成了2，十位數上的結果顯示器c變成了0；其次，十位數所在的計數軸的末端的小型十角齒輪r，會推動其左側的中間過渡軸k向左旋轉18°，但是由於此時傳動曲柄f已經不再旋轉，二角凹輪也不會再旋轉，進位過程也就到此為止；最後，不得不手動地將十位數與百位數之間的中間過渡軸k後面的五角墊圈向左旋轉到水平位置，並同時推動其左側的百位數計數軸向右轉動一個齒格，由此完成進位的整個過程，八個結果顯示器c上的結果是00000102。因此，在使用萊氏計算器的過程中，當計算完成之後，還需要檢查末端的五角墊圈，如果有傾斜的，需要手動將其向左旋轉（從計算器後面看是向右旋轉）至水平位置，之後才會得到最終結果。

可以說，相對於萊布尼茨畢生所追求的「計算過程完全機械自動化」這一設計理念來說，在多次進位時仍然需要手動操作，是萊氏計算器的唯一弊病。為改進這一弊端，萊布尼茨耗費了大量精力和財力，但直至萊布尼茨去世，這一弊病仍未能克服。

4、結語與啟示

以上分析，雖已相當細緻，甚至在個別地方略顯冗繁，但也只是對萊氏計算器進行了粗略地講解，足以見得萊氏計算器的複雜程度和設計難度；即使是在機械製造水平非常發達的今天，要複製這樣一臺計算器也是一件十分具有挑戰性的工作。

但是，這種細緻的分析，是一項基礎性的工作，能夠為學界的一些爭論提供有力的參考。比如，有人猜測萊氏計算器是在帕斯卡計算器的基礎上改進而成的，這顯然是錯誤的猜測，只要對兩款計算器的內部結構稍一對比，便能發現兩者在設計理念、設計方法、複雜程度等方面相差懸殊，萊氏計算器相對於帕斯卡加法器而言幾乎取得了革命性的突破。

再如，目前學界一般認為萊氏計算器的核心部件是階梯滾輪，但是經過仔細分析不難發現，階梯滾輪雖然非常關鍵，但是最複雜的技術難題是如何處理進位問題，機器各部件之間的系統性關聯也是萊布尼茨的重要創新，這些共同推動了機械計算器的發展。

特別需要注意的是，萊布尼茨並不是一次性地完成了計算器的研製，而是終其一生都在研製和改進他的計算器，這種技術實踐活動勢必會對他的思想造成一定的影響，萊布尼茨自己也曾多次強調他的組合思想、計算思想與計算器的關聯性，這將是我們今後繼續探討的一個課題。

目前，在德國已經有科普教育公司成功地通過樂高積木等簡單的工具，模擬了萊氏計算器的設計理念；在一些大學的科學教育課堂上，已有學生團隊使用塑料材質製作了簡單的萊氏計算器。研究萊氏計算器，對於我國的科技史研究、科技博物館教育、STEM教育和科技傳播等領域均會有所幫助。