偵探消失之謎（阿龍探案蒙特卡洛符號問題）
2023-06-17 17:53:12 2
# 題記 #
卡洛/文
量子多體計算領域有幾個傳統的謎團或者說神話故事，比如量子蒙特卡洛計算一旦遇到符號問題，其重要性抽樣就當場失效；比如張量網絡計算總能克服萬難成功找到指數大的希爾伯特空間中那個甜蜜的小角落；比如第一性原理計算得到的能帶可以煞有介事地解釋關聯電子材料的能譜；…… 。既然是謎團，就是可以沒有標準答案，從業人員信與不信全看當時的心情，或者想也不想，別人怎麼說我也怎麼說。幾十年過去了，謎團或者說神話故事，就這麼口口相傳下來。
但是總有願意琢磨事兒的人，量子蒙特卡洛模擬中的符號問題，其實很多時候是一個如何表達多體系統配分函數的問題，是一個表達的問題。好的表達方式，實際上是人們找到對於量子多體配分函數正確認識的體現，選擇了正確的表達方式，原本看似指數複雜的蒙特卡洛計算問題，還是可以變回代數計算複雜度，從而在有限時間、有限計算資源的實際情況下求解問題。種種蛛絲馬跡，近年來已經從領域的各個方面提醒著願意思考的人們。如在阻挫磁體模型的蒙卡模擬中從單自旋到集團（plaquette）自旋基底的變換，可以一定程度上克服符號問題【1】；而下面這篇偵探小說所嘗試講述的，是最近剛剛發現的費米子量子蒙卡的符號問題的邊界理論【2】。
這個理論指出，通過觀察有限尺度系統的能譜是否存在下界、系統基態簡併度如何，並尋找到有類似性質的參考系統，其實可以在相互作用費米子模型中證明，即使當下蒙卡模擬的基底具有符號問題，這樣的蒙特卡洛計算還是可以具有代數計算複雜度的符號邊界。在這個理解之下，一些眼下大家關心的關聯電子系統，比如具有長程庫倫相互作用的平帶二維量子摩爾材料模型和擴展相互作用的狄拉克電子晶格模型，即使有符號問題，也可以在代數的計算複雜度下通過重要性抽樣求解，嚴格計算其熱力學、動力學等等基本性質，發現新現象並與實驗對照推動領域進展。
當然，完全理解這些抽象名詞背後的科學，還是需要閱讀原始的科學文獻。這裡作者只是通過一篇偵探小說，通過小說中業餘偵探阿龍的分析，一步步在直覺上渲染了科學問題的背景和解決方案。阿龍探案蒙特卡洛符號問題，說到底也是一種表達，是希望可以引起讀者對於如是問題的興趣的表達。既然說到偵探小說，那淵源也是其來有自的，從大家熟知的柯南道爾，愛加莎克裡斯蒂，到雷蒙德錢德勒，島田庄司；從全知全能的福爾摩斯，赫利克裡波洛，到憤世嫉俗、生活潦倒，內心帶著傷痕的硬漢菲利浦馬洛 ……，流派和表達的變化，似乎也在暗合著我們身在其中的科研生態，正在悄悄地從古典的純淨優雅溫情脈脈的英式風格和中產階級價值觀，走向當下繁榮表象下墮落傾頹，內卷鬥狠的黑色美學【3】。身處其中的個體，時時需要面對幻滅、沉淪、掙扎和自我救贖。這篇小說，雖然稚嫩，也可看出作者對於如是現實的思考。
參考文獻：
[1] Thermodynamic properties of the Shastry-Sutherland model from quantum Monte Carlo simulations，Phys. Rev. B 98, 174432 （2018）
[2] Fermion sign bounds theory in quantum Monte Carlo simulation，Phys. Rev. B 106, 035121 （2022）
[3] 辣子雞與符號問題 | 科學遐思
黃金鸚鵡螺號與幽靈船長
撰文 | 張栩（香港大學物理系在讀博士生）
01 陰晴不定的天氣，職業記者與業餘偵探
阿龍開著那輛破舊的二手小轎車載著我行駛在泥濘的山間小路上。
「見鬼，這路可真難走，不知道他們有錢人為啥總喜歡住在這種大山窩的小別墅裡，」阿龍一邊抱怨著崎嶇的山路一邊開著車，「你說你一個記者，經常東跑西奔地去採訪，也該學學開車了，總是讓我代駕你不會不好意思的嗎？」
「就是因為東跑西奔才沒時間去學嘛，況且我又不是不給你開工資。對了，我聽說這次採訪的對象是個公司的大老闆，咱倆晚宴能吃頓好的了，說不定還能幫你找到份稱心的工作。」
「最好是這樣咯。」阿龍故意拉著長腔說。
阿龍是個博士畢業生，和我是大學同學。不像我讀完大學就找了個小媒體公司做起了記者的行當，他目前處於博士畢業一年也沒找到稱心工作的狀態。「你的追求就太狹隘，人不能滿足於吃飽喝足這種小事，應該去追求能實現自身價值的事業。」這是他博士剛剛畢業時的豪言壯語，但現實是他目前成了我的專職司機兼跑腿打雜——雖然他自己不這麼覺得。他自詡是個偵探，倒也確實作為「熱心群眾」幫上過警察的忙。不過既然是「熱心群眾」，當然就沒有報酬，於是他今天還是老老實實地開著車。
車開過一個小坡，山路由上行轉為了下行，剛剛陰沉沉的天氣突然放晴了。車行駛起來沒有了那種軟綿綿的感覺，顯然這一段路的土面堅實了許多。
我們這次要採訪的人叫尼摩，是一家科技公司的大老闆。聽說早年和阿龍一樣讀的是物理學博士，與阿龍讀的凝聚態物理不同，他是大氣物理的方向。後來憑藉一手準確的氣象預測技術起家，慢慢發展起來成為了今天科技業界的領軍人物。這次他借六十大壽生日的機會，要宣告自己退休並任命他的接班人。於是這次晚宴和宴會後的講話成了值得報導的科技界大事。據說這位尼摩先生性格比較古怪，在二十多年前公司勢頭正盛的時候突然把這一帶荒無人煙的地皮買下，修了幢別墅住了下來。雖然住進了大山裡，他公司的事業倒是絲毫沒有被落下，反倒應該說正是在這段時間內他的公司發展壯大成為了業界龍頭。人們傳言說這座別墅似有種神奇的魔力，能讓人的創造力源源不斷地湧出，阿龍和我顯然是不相信這樣的說法的。此別墅名曰鸚鵡螺館，坐落在這四面環山的山凹之中，我們剛剛就驅車從山凹的外側駛入到裡側來。
「你知道嗎？尼摩，鸚鵡螺讓我想到了一本科幻小說。」阿龍聚精會神地注意著避開路上的每個大石塊，頭也不扭地對坐在副駕上的我說。
「哦？是什麼呢？」
「我還以為你這做記者的會提前把功課做足呢。」
「做功課不是你這當助手的責任嗎？好了，別賣關子了，快說吧，助手先生。」「是大名鼎鼎的凡爾納的《海底兩萬裡》啦。書裡的主角之一尼摩船長駕駛的那艘潛水艇就叫鸚鵡螺號，據說這個名字就是取自於鸚鵡螺利用氣室實現上升和下潛的原理。這艘船的設計十分巧妙，很多地方看得出來經過仔細的估算和設計。要是凡爾納先生拿這個想法去投個《自然》《科學》雜誌，說不定也會被接收成為一篇高引的文章呢。」阿龍是沒發過這兩個雜誌的，我不知道他這是在挖苦自己還是在稱讚這位凡爾納先生——畢竟能有幸被這個吹毛求疵的阿龍博士稱讚的人實在極為稀少。
沒過多久，我們終於從繁茂的樹林中穿出，遠遠地看到了那個螺旋狀的半透明建築——鸚鵡螺館。它坐落在一汪深藍色湖水的一隅，正如它的名字一樣，如果從高處看就像是一隻躺倒在海邊閃閃發光的鸚鵡螺。
「啊，真漂亮！」我驚嘆道。
「是啊，美妙的分形結構。」阿龍補充說。
「你又在秀你那晦澀的物理詞彙了。」
「哈哈，分形更算是個數學詞彙了。它是說同樣的結構經過無限重複次比例的縮放構成的圖案，就像這螺旋的鸚鵡螺殼，雪花或者一些無限分叉的植物的葉子。」阿龍笑著眯起眼睛看向我，仿佛我正中了他設計的詭計一般。
在接近別墅時，晴朗的天氣又突然地陰沉了下來，車窗外甚至飄起了細雨。地上的路又變得泥濘難走，看來這雨已經下了有一陣子了。這種天氣一直持續到了鸚鵡螺館的門口。
02 鸚鵡螺館裡的幽靈船長
我們到達的時間在下午4點左右，雖然離晚宴開始應該還有幾個小時，我以為來賓應該已經會有很多了，但在我們前面，鸚鵡螺館的門口，只停了兩輛警車。
停下車走近看，鸚鵡螺館是一個二層的別墅，外殼是透明的玻璃牆和玻璃門。朝向陸地的這邊透過玻璃直接看到的是上下兩層圓弧形的走廊和連接二樓的順著鸚鵡螺殼外沿螺旋而上的樓梯。在館外迎接我們的是一個身著燕尾服，打著花哨領帶的二十多歲的小夥。他看到我們下車，將遠眺湖面的目光移向我們，鞠了一躬，以冷漠的模板式的語氣說：「抱歉，尼摩先生出了點事情，今天的晚宴取消了，麻煩二位請回吧。」
「啊？什麼事情？我都沒聽說啊。」阿龍顯然對於白跑一趟還沒休息就被這樣隨便遣返十分不滿。
「啊，抱歉，原諒我助手的冒失。我是今天約了尼摩先生專訪的記者，這位是我的助手阿龍。如果方便的話，嗯……請問你怎麼稱呼？可以告訴我們尼摩先生出了什麼事嗎？」
「我叫康塞，和丁婭小姐一起負責打點尼摩先生的事務，尼摩先生是我的養父。丁婭小姐目前正在被警官們問話。很抱歉，尼摩先生的事在警官們允許之前我不方便透露。早些時間我郵件通知了來賓們晚宴取消的事，可能沒有通知到二位。讓二位白跑一趟了，實在不好意思。」
這位康塞說起話來帶著一種拒人以千裡之外的毛骨悚然的禮貌，就像是個不帶感情的機器人，不知道他平時和尼摩先生的對話會不會也是這個樣子。我不覺得康塞會由於疏忽忘記給我們郵件通知了，倒更可能是不靠譜的阿龍早上來之前忘記檢查郵件了。想到這，我偷偷惡狠狠地瞪了阿龍一眼。
阿龍看到了我兇惡的眼神，並沒事兒一樣地無視了我。甚至熟絡地同這位機器人聊了起來：「哦，這條畫著粉白相間花瓣的藍底領帶好別致啊，是請人專門為今天的晚宴設計的嗎？」
「唔，這是別人送給我的。」
「哈哈，是女朋友送的？還是老婆呢？是不是那位丁婭小姐啊？」
哪有頭一次見面就八卦別人私生活的，我聽著都感覺尷尬——雖然我不得不承認作為一個記者的助手，阿龍的奇怪問題確實能在一些採訪中起到打開話匣子的奇效。但顯然位機器人康塞先生並不是坐在椅子上無處逃避任人宰割的受訪者，他冷漠的臉龐上漏出來一絲說不上是憤怒還是厭煩的神色，雖然只是一瞬，很快便又恢復了原狀。他把臉扭向一邊，表達著無可奉告的意思，不過阿龍似乎對這種反應已經感到滿意了。
此時，鸚鵡螺館螺殼盡頭的玻璃門打開了，一位打扮幹練，簡單將長發紮成一束的二十來歲的年輕女士在一高一矮兩位警官的陪同下走了出來。這位女士應該就是丁婭小姐了。等他們經過康塞時，這位丁婭小姐似乎溫柔而又悲傷地看了康塞一眼，而康塞仍保持著剛剛頭扭向一邊的姿勢。還沒等我反應過來，阿龍已經大步上前和警官們攀談起來。說實話，阿龍是聊天方面的天才，幾乎和所有人都能聊上幾句，並得到一些他想知道的信息。單論這一點我必須承認他比我更像是一個專業的記者。果然沒過多久，他就已經和警官打成一片了。
「哈，這位就是我的那位記者老闆啦。這兩位分別是土撥鼠和灰背熊警官。」 （請原諒我這不稱職的記者忘記了警官們的名字，而沿用了後來阿龍起的綽號來稱呼他們。）
似乎阿龍把我們之前解決的案件和我的報導添油加醋地炫耀了一番，土撥鼠就欣然允許我們稍稍介入了，雖然灰背熊一副眉頭緊鎖的樣子——也不知他是不情願還是眉頭緊鎖就是他平常辦案時的表情。在另一名女警官把丁婭帶進警車做筆錄之後，土撥鼠就跟我們在另一輛警車裡聊起了這個案件：「尼摩先生昨晚被人殺害了，被一種圓錐形的兇器擊中了後腦，案發地點在鸚鵡螺館二樓中心的書房。當時在館內的人除了尼摩先生，還有兩位管家（康塞和丁婭），一位廚師和請來負責布置現場的2名工頭。平時丁婭負責打點館內的大小事務，當晚她在和廚師以及工頭對第二天晚宴的菜色和布置做最後的確認，她是在尼摩先生休息前最後向他做匯報的人。康塞就是在晚宴後要被宣布成為公司繼承者的人——雖然幾年前公司的實際決定已經是他在做了。當晚他在檢查鸚鵡螺館附近的天氣狀況，並和尼摩先生討論交接的細節。」
「這麼說只有康塞和丁婭當晚見到了尼摩先生了？」阿龍問道。
「準確地說是晚飯後，因為所有人一起在一樓的大廳裡吃的晚餐，尼摩先生似乎對這位大廚的手藝讚賞有加。晚飯後尼摩先生從一樓的大廳出來去二樓的書房了。書房只有不能打開的半透明的玻璃天窗，一邊連著二樓的走廊，靠湖的另一邊連著尼摩先生的臥室。康塞和丁婭的房間分別位於二樓走廊的兩側。二樓的臥室都有靠湖的落地窗。康塞和丁婭都稱昨晚是在書房見的尼摩先生。」
「這麼說最後見到尼摩的丁婭有重大嫌疑咯，當然也不能完全排除兇手是後來翻窗從尼摩先生的臥室進入然後再去書房行兇的。」阿龍自言自語地說。
「的確如此，畢竟好像他們二樓沒有鎖門窗的習慣，但我們倒是沒有發現有翻窗的腳印之類的痕跡。一樓的中間是大廳，然後是給客人住的三間小房間，廚房和觀測室——據說是觀測水文氣象之類的房間。一樓的小房間和二樓的大房間都配有獨立的衛浴，只是二樓的要更大一些。」
「水文觀測室？這我還是頭一次聽說有人的別墅裡會搞這麼個房間的。」
「我們之前也沒有聽說過，據說這個觀測室可以很準確地測定這裡湖水的溫度、密度和蓄水量。你們來的時候也發現這附近的天氣很怪了吧，似乎尼摩先生把別墅選在這裡就是看上了這裡多變的天氣和降雨成分。這裡不同地方雨水的密度跟湖水的密度很不一樣，降水之後，不同地區不同密度的雨水匯集到湖裡充分混合，湖水的密度也就會相應地改變。」
「噢，這個我聽說過。尼摩先生是靠氣象預測技術起家的，號稱可以通過無人機對不同位置雲層的直接探測估計出相應位置的雨水密度和降雨量。這可真是了不起的技術啊，這裡的鸚鵡螺館大概就是他天然的大型實驗室了吧。怪不得他搬來這裡的那段時間正是公司起勢的時候。」阿龍一拍大腿，這下和他來之前調研的資料對上了。
「如果從作案動機上來看，我們也不能排除其他人見財起意的可能。因為書房裡的一件珍貴的黃金製品不見了。另外，我們找遍了整幢房子，房子周圍以及嫌疑人的身上也沒有找到和死者傷口吻合的兇器。」
「能帶我們去現場看一下嗎？」阿龍又開始提這種無禮的要求了，這次土撥鼠也微微皺起了眉頭。
「這恐怕不行，不過我們拍了現場的照片，可以拿給你參考。」說著，土撥鼠從灰背熊那裡要來了相片的副本，供阿龍翻閱。
「原來如此，這就是那位尼摩先生啊。」阿龍所指的照片上是一位伏倒在桌面上鬢髮花白的中年男子，如果忽略頭髮只看健碩的身板，絲毫看不出來有六十歲的樣子。正如警官所說，他似乎被兇手從身後襲擊，後腦上被鑿開了兩根手指粗細的圓洞，仿佛被兇手從中抽出了靈魂，讓原本神採奕奕的軀殼失去了生機。
「書桌的抽屜是打開的，看來兇手襲擊尼摩先生的時候他正在找些什麼，又或者是兇手在襲擊後希望找到些什麼。「阿龍擺出一副正兒八經的樣子，小聲地說著各種他想到的可能性。
「聽兩位管家說，書房的抽屜裡並不會放什麼公司的機密文件，因為尼摩先生似乎不喜歡在住所辦公。裡面放的大多數是尼摩先生的私人作品——他業餘時間似乎很喜歡寫一些詩歌或者小說。「
「如果找不到兇器，那麼動機呢？有沒有可能是那位尼摩先生的養子康塞不滿他養父的遺產分配之類的而動了殺心呢？」
「雖然有這種可能，但老實說我們很難相信他會因為遺產分配而起歹意。正如我剛剛所說，他將成為公司的繼承者在幾年前就是公司內部人盡皆知的事了，而這幾乎就是可以讓他衣食無憂的遺產了。事實上，康塞從小就被尼摩先生培養成為他的繼任者，無論是送他上大學學習專業知識還是進公司鍛鍊經商頭腦，康塞做得都讓尼摩先生很滿意。尼摩先生的直系親屬只有一個從小對經商完全不感興趣的女兒，幾年前去歐洲留學後就留在當地從事時裝設計的工作了。出國後很少回家與尼摩先生來往，似乎關係也不是很融洽的樣子。丁婭是之前在鸚鵡螺館工作到退休的老管家的女兒，雖然沒有上過大學，但打理館內事務是一把好手。老管家的老婆還是尼摩先生託人介紹的，他們的家庭關係也很和睦。丁婭目前算是在尼摩先生這裡工作，薪水對她這個學歷而言是很高的了，幾乎不用擔心失業，雙休日還可以回自己家有私人生活，應該很滿意才對。」
「那還真是難辦啊，這樣看上去兩人的動機都不強，如果說是一時起意也太牽強了。」一直沒顧得上打斷阿龍和土撥鼠直接對話的我自言自語道。
「有時候，反而看上去最沒有動機的人才是真正的兇手啊。「阿龍拍了拍我的肩膀，露出一臉的怪笑。我不去理會那個推理狂人，把目光轉向他手裡的那張尼摩先生的照片。透過後腦上那令人毛骨悚然的漆黑的洞，似乎那位叫尼摩的船長的幽靈正試圖通過這個洞口將我們也帶往另一個世界。
03 黃金鸚鵡螺號
「再給我們看看其它照片吧。對了，之前提到的哪個珍藏的黃金製品是什麼樣子的？」阿龍問道。
「喏，就是這個，是用黃金製成的一艘模型船，叫鸚鵡螺號。」土撥鼠從灰背熊那裡找出兩張照片，分別拍的是失竊前後書房門口的陳設。
「據說這個模型是按照《海底兩萬裡》小說裡長寬高分別縮小100倍做成的，內部構造幾乎完美還原了小說裡的樣子。唯一多出來的是船底有三個手指粗細約2釐米長的突起，用來固定到書房的木製底座上的三處凹槽裡。」
「那麼，它就是最寬處約8釐米寬，70釐米長，體積約1500立方釐米，重約3.7千克咯。」阿龍一邊按著手機一邊說。
「你知道的還真仔細啊。」我不禁稱讚道。
「這沒什麼，長寬和體積的數據都能從網上找到資料，重量簡單拿黃金和鋼鐵的密度換算一下就好了。」
「如果這樣看的話，無論男人還是女人，都可以握住它在尼摩先生沒有防備的時候將其殺害了。」阿龍突然得出了這樣的結論，讓我吃了一驚——失竊的黃金可能正是兇手藏匿的兇器！而警官們似乎已經料想到這樣的可能性而顯得很平靜。
「畢竟在凡爾納的小說裡，鸚鵡螺號可是用它那圓錐形的衝角擊沉了戰艦的。即使材料換成了黃金，硬度不如鋼鐵，如果我是尼摩先生，我也一定會希望通過製作衝角部分時用摻雜之類的手段復現出小說中的威力。」
「很合理的推測，阿龍先生。關於這一點，我們也想到兇器可能就是這艘失蹤的黃金鸚鵡螺號，這也是我們搜尋的重點。但奇怪的是我們找遍了別墅和周圍也沒有發現它。」
「說不定這艘尼摩船長的船被死去的他的幽靈駕駛著駛往湖心去了呢。」我半開玩笑地說。
「這是不可能的，這隻模型船沒有配備真正的動力裝置，並且……」
「並且它甚至不能浮在水面上，對吧？」阿龍搶先一步打斷了土撥鼠一本正經的回答，「如果完美復原，體積成比例縮小但替換後材料的密度變大，必然是會沉下去的。這裡1500立方釐米的模型受到的浮力大約等於1500立方釐米水的重量，也就是1.5千克，比3.7千克的船重實在小太多了。」
土撥鼠點點頭表示認可：「雖然看湖水的流向是從岸邊往湖心流去的，但密度差這麼多根本漂不了多遠就會沉底了。」
「但是，如果在模型底部的凸起上綁上充了氣的氣球呢？最近是尼摩先生的生日，家裡會有裝飾的氣球可能也不是什麼奇怪的事情……」阿龍提出了這個大膽的猜測。
「氣球？這確實是個有趣的想法，我們會讓人再去更遠處的湖面找找……」此時，剛剛在另一輛車裡給丁婭做筆錄的女警官過來跟土撥鼠耳語了幾句，我們這位業餘偵探的破案遊戲便被迫終止了。
「總之謝謝你們提供了很有幫助的建議，下面的事情由我們來處理就好了。那麼二位如果沒什麼事的話就可以回去了。」
阿龍雖然意猶未盡，但聽到土撥鼠突然斬釘截鐵的語氣，自知糾纏下去也不會有結果，只好跟土撥鼠要了聯繫方式，希望事件有了能夠公開的進展後可以第一時間聯繫我們，而我則對警官們提供的信息表示了感激。從警車上離開時，灰背熊那緊縮的眉頭終於舒展開來，對著阿龍露出了得意的微笑，而阿龍則趁土撥鼠不注意偷偷地還以一個鬼臉。
沒吃到豪華晚宴的我們失望而歸，淅淅瀝瀝的小雨漸漸地停了，但鸚鵡螺館的上空依然被陰沉的烏雲所籠罩，一如原本在此棲居二十年久久不願散去的尼摩先生的亡魂。此時康塞似乎已經回到了館裡，天空中一架噴氣式的無人機在雲層中穿行——或許那就是尼摩先生引以為傲的探測器吧。
回去的路上，阿龍開著車，話很少，似乎在讓自己乾燥的口舌得到休息，又似乎在思索著什麼。天空漸漸陰暗下來，太陽落在了遠處山的另一頭，餘暉照亮了烏雲的邊緣，也照亮了泛著湧向湖心方向的波紋的湖面。一路上，我努力地檢查著湖面，希望能找到阿龍推測的那幾隻漂浮的氣球，結果當然一無所獲。阿龍卻認真開著車，幾乎沒有把目光從路面上移開過。
「真是遺憾，沒能和尼摩先生聊上天。我大概會和他很聊得來吧。」汽車翻過山凹，阿龍朝別墅方向瞥了最後一眼突然說道。
這個案件因為兇手很快自首而告破，後來警官們確實在靠近湖心的湖底找到了綁了氣球的黃金鸚鵡螺號，而那些氣球完全沒有漏氣。至此，關於我們所知曉的案件信息已悉數呈現給讀者。我鬥膽向讀者們發起挑戰：兇手是如何在眾目睽睽之下將黃金鸚鵡螺號駛入湖底的呢？
04 蒙特卡洛方法和符號邊界理論
「那個案子結了，因為兇手很快自首了，」阿龍對躺在客廳沙發上看著報紙，欣賞剛剛刊登出自己寫的報導的我說，「據說兇手就是最後見到尼摩先生的那個名叫丁婭的女管家，動機似乎是對尼摩先生平日裡吹毛求疵的要求累積了怨氣，最後終於在他對丁婭布置晚宴的方案百般挑剔的情況下爆發了。」
此時離案發已經過去了兩周，當然我正得意洋洋地看著的報導與此案無關。
「哦？所以兇器找到了嗎？是不是那個綁了氣球的黃金鸚鵡螺號？」
「似乎是的，警官們在湖中找到了這艘模型船，確認了上面的血跡和指紋分別屬於尼摩先生和丁婭小姐。發現時它確實綁了氣球，是他們在我們走後第三天在靠近湖心的湖底找到的。氣球和船身之間用防水膠固定得很好，以至於氣球完全沒有漏氣。」讓我不解的是，阿龍說出這些話的時候，沒有猜中謎底般的興奮和炫耀，反而有些沉重。
「這不是正中了你的猜測嘛，阿龍偵探又大顯神威了呀。」
「問題就在這裡，氣球沒有漏氣，被發現的時候卻沉在了水底，這說明兇手對充氣量的把握要恰到好處才行。既不能充氣過多使其一直漂浮在水面上被人一眼發現，也不能過少使其很快下沉到水底讓警官們在岸邊就能找到，而是需要控制好它的整體密度在將來的一段時間內都要與湖水相當才能像真正的潛艇一樣懸浮在水中。我很難相信一直被訓練成為管家沒有上過大學的丁婭會具備這樣的知識……並且如果她真的訓練有素，她會因尼摩先生平日的嚴苛而積怨動殺心的說法也有些牽強……」
「哈哈，我看你就是多慮了。密度的事說不定就是巧合呢，還是說上過大學的你就有辦法把整個湖區未來的降水對湖水密度的改變算出來了？」
「問題就是，理論上似乎還真存在這樣的方法，雖然我不確定這會不會就是尼摩先生發展的利用無人機探測降水方法的一環……」阿龍拿起一支筆，搶過我的報紙，在我報導文章旁邊的空白處比劃著對我做著說明。
「當然，理論上最直接的方式是把所有位置降水的密度乘以降水量，加起來得到降水的總質量，降水量加起來得到總體積，然後就可以計算降水的平均密度了。但這種方法因為需要知道湖區所有位置的降水情況，實際上是幾乎做不到的。但如果認為不同地區之間降水的情況是連續變化的話，可以用一種叫做蒙特卡洛的方法，把不同位置降水量當作權重，對採樣位置處的雨水密度做加權平均來實現降雨平均密度的測量。按照這個方法，用可以實時觀測的無人機沿著一條馬爾科夫鏈對應的細緻平衡的路徑飛行做採樣測量，就能計算出降水的平均密度了。從直觀上理解，就是降水量多的地方，雨水的密度對平均密度的影響更大，需要採樣更多，沒有降水的地方對平均密度沒有貢獻，自然就不需要採樣。這就是蒙特卡洛方法的精髓——重要性抽樣。」
他接著在一旁畫出一條曲線：「正如土撥鼠警官告訴我們的，鸚鵡螺館周圍雨水的密度和湖水很不一樣，降雨後就能改變湖水的密度。顯然犯人如果計算出將來幾天的雨水密度與湖水密度相當或者略小於湖水的密度，就能保證黃金鸚鵡螺號在不被人發現的情況下懸浮在水中駛向湖心了。」
我努力地回憶著已經還給老師的大學裡概率論的知識，不得不承認這似乎是一個理論上可行的辦法。突然，我較真似地想到，在沒有降水的地方還有太陽啊，難道不需要考慮湖水的蒸發嗎？如果把湖水的蒸發看成是密度等於純水密度的逆降水，對應位置的降水量看成是負的體積，那這裡把降水量看成權重進行採樣的方法就行不通了啊。意識到這一點，我立馬把問題拋回給了阿龍，卻未料想阿龍似乎早有準備。
「對放晴的地方，權重確實為負，但仍然還是可以用重加權的辦法去做。具體就是把負的權重取絕對值看成是重新定義良好的權重，同時把負號放進採樣位置的密度那裡。當然重加權之後這個定義良好的分布函數和之前不一樣了，需要得到新分布下的結果後再除以陰、晴採樣點對應正、負符號對新分布函數的加權平均值。需要我把公式給你寫出來嗎？」
「唔……雖然我估計把公式寫進我的報導裡會讓我失去一大半的讀者……你寫吧，我也想搞清楚這要怎麼算……」
阿龍飛快地寫下：
「左邊表示我們希望得到的位置i處降水量Vi做權重的降水密度ρ，按照總質量除以總體積的定義可以得到第一個等號的右邊。這裡因為Vi對於不同的位置有正有負，不能很好地看成權重，所以分子分母同時除以∑i|Vi|然後把Vi中的符號提出來與原來的觀測量合併得到新的觀測量，此時前面的權重|Vi|即為重加權。這樣分子分母可以分別看成按照重加權的分布對±ρi和±1測量的結果。按重加權的分布用無人機測量就可以分別得到最右邊分子和分母的值，從而計算出最左邊的表達式了。」
在阿龍苦口婆心地給我解釋了半天之後，我才大概明白了這裡的邏輯，不知我這笨拙的筆法能否讓讀者也可以讀懂這其中的奧妙。在聽完他的講解後，我以掙扎的鹹魚的姿態，不服輸似的向阿龍發出最後的挑戰。
「唔……這樣做雖然形式上解決了所有的問題，但如果降水量和蒸發量相當的話，你最後公式的分母要趨向於0吧，這樣如果還要保證算出最左邊的平均降水密度是一個有限值，那最後的分子也必然趨向於0。對於一個均值趨向於0的觀測量，有限採樣的相對誤差不會太大了嗎？這樣還要怎麼把平均降水密度定準呢？」
阿龍自信地一笑，開始調侃我起來：「哈哈，你太糾結於這裡數學形式的特例了。確實，你說的這種情況是很難測準的，但你看看這個分母的樣子，它明明在告訴你，只要降雨量足夠大，或者放晴的地方足夠少，它就會是很接近於1的一個數字了，然後這種方法就可以奏效。犯人需要做的只是像你一樣躺在沙發上，看一眼天氣預報，挑個合適的日子就行了。」原來如此，我太過糾結於要求這種方法能將每種可能的情況都算準，卻忽視了犯人其實只要找到他能給出準確結果的那一天就行了！
「你所擔心的情況其實就是蒙特卡洛方法裡著名的符號問題。完全避免符號問題顯然是一個過強的條件了，如果能事先估計出符號的下邊界是足夠大的，那麼這種方法仍然是可行的。最近有一篇Phys. Rev. B的文章，叫《Fermion sign bounds theory in quantum Monte Carlo simulation》，大概就是在尋找這種方法可行的『真實情況』的，雖然那裡說的是量子統計相關的問題。」阿龍最後補充道，「那裡他們稱這種有『真實情況』對應的重加權得到的分母為『sign bounds（符號邊界）』。」
05 尾聲
我們把阿龍的推理告訴了警官們，那種精確的密度控制即使不是用阿龍提出的方法，也很難想像是丁婭一個人能夠做得到的，康塞應該也有重大的嫌疑。但自那之後我們再也沒有收到這個案件的新消息了。據說後來康塞也辭去了公司繼承人的位置，去了歐洲生活。尼摩先生一手建立的科技帝國由於內部群龍無首也日漸衰落。
「尼摩先生那麼優秀的一個人，究竟是哪一步走錯了呢？」半年後的晚上，我吃過晚飯，讀著尼摩先生的公司被別家收購的消息跟阿龍閒聊。
「大概是從他一意孤行地培養康塞成為繼承人開始吧。他大概是那種控制欲很強，希望所有事情完全按照自己的想法發展進行的人。」阿龍嘆了口氣，「說不定還有阻撓康塞對他女兒的感情的事。我後來發現那個領帶是尼摩先生的女兒設計的，康塞大概以為六十歲大壽的日子他女兒會回來，所以特地帶了那個和他很不搭的領帶。」
「尼摩先生阻撓康塞和他女兒的感情又何以見得呢？」
「老實說，我沒有任何證據。如果硬要說，只能說是偵探的直覺吧。尼摩先生的親生女兒不想繼承家業，選擇了自己夢想的道路。尼摩先生應該是支持的，或者選擇了用自己的方式妥協——收養了康塞作為自己的繼承者。他把康塞視為自己意志的一種延續來精心培養，直到發現康塞似乎對自己的女兒抱有感情。他無法容忍自己事業上的意志擁有了自己的感情，何況還是對他的女兒。於是他安排了女兒出國留學生活，甚至讓和康塞年紀相仿的丁婭來鸚鵡螺館可能也是為了撮合她和康塞，至少希望康塞斷了對自己女兒的念頭。」
「呵，你這偵探的直覺可真夠發散的。如果丁婭和康塞只是被尼摩先生撮合，那丁婭完全沒有必要為了掩護康塞而背這麼大一口黑鍋啊。」
「誰知道丁婭對康塞又有多少感情在呢？她可能也從康塞身上看不到他放棄尼摩女兒的希望吧。而康塞也自知如果成為公司的繼承者，在尼摩先生死前將永遠只是他事業上意志的分身，於是那冷酷的機器人便下定了決心……」
「好傢夥，你這段狗血的三角戀再添油加醋地補上點細節都能拿去拍電影了，虧你想得出來。警官們都結了的案子我們也不要再沒有根據地胡亂推理了。這起事件現在看來當然也不適合寫成一則報導了，乾脆把我們的這段故事寫成小說好了。你覺得如何，阿龍？」
黑夜裡，窗外漆黑一片，這座城市死一樣的沉寂著。我獨自坐在窗邊的椅子上，對著窗戶上自己的影子神經兮兮地說。
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