用於對隨時間變化系統和非線性系統建模的方法和系統的製作方法
2023-06-01 15:12:11
專利名稱：用於對隨時間變化系統和非線性系統建模的方法和系統的製作方法
技術領域：
本發明在總體上涉及到對具有隨時間變化部件、非線性部件或這兩種類型的部件的系統進行建模，此外，本發明還涉及用於生成簡化階模型的方法和系統，所述模型能在模擬具有時隨時間變化部件、非線性部件或這兩種類型的部件的系統時使用。
背景技術：
無線通信電路的日益增加的規模、複雜性和集成度使得精確地模擬系統層的性能成為了問題。模擬電路領域中具有挑戰性的問題是模擬像開關濾波器、開關電源和相位鎖定環路之類的時鐘控制的模擬電路。這些電路如果用傳統的技術進行模擬的話，從計算的角度上說是昂貴的，因為，這些電路都是按照一種其周期比設計者感興趣的時間間隔小多個數量級的頻率來進行時鐘控制的。此外，射頻電路、混合信號電路以及類似的電路不僅需要對模擬電路建模，而且需要對作為系統的模擬和數字電路的交互、以及模擬與數字電路之間的交互建模。這些產品需要複雜的晶片上系統的結構和系統集成，並按消費者市場所固有的嚴格和毫無寬限的時間要求交貨。受消費推動的晶片設計和部署對設計者而言是有推動力的主要考慮。這些考慮包括(1)設計成本和時間可能支配系統設計者的決策過程；(2)必須在可能的最高層抽象下獲得設計；(3)下一代系統會需要比高複雜部件類型更多的中等複雜系統；以及，(4)很可能為平臺專門開發晶片，而不是用獨立開發的矽功能塊來組合成晶片。
模型簡化是指根據電路或系統的詳細說明自動生成系統宏模型。這種宏模型可用於對過於複雜而無法在詳細的組件層進行分析的工程設計進行快速的系統層模擬。簡化方法的優點在於，由於宏模型是根據系統組件的詳細物理描述生成的，故可在系統層上包括詳細物理效果的影響。因此，簡化方法的本質特徵是按簡化算法的正式分析對近似誤差的徹底控制和評估。從系統層的設計角度看，自動宏模型生成的問題是令人感興趣的，因為，如果可以抽取出系統組件塊的小型的精確的簡化階模型，則與必須在詳細層次上進行分析相比，可以模擬或檢驗一種設計或更複雜系統的更大的部分。根據對組件塊的詳細說明生成簡化的模型的前景是吸引人的，因為，可評估第二階設備效果或寄生組件對整個系統性能的影響。通過這種方式，可避免過於保守的設計規範。
就對模擬電互連而言，目前對抽取時間不變的集總(通常是被動的)組件的低階模型有顯著的興趣。但是，存在有多種這樣的系統，它們是非線性時間不變(LTI)的，但可以如線性隨時間變化(LTV)那樣精確地建模。例如，如果圍繞隨時間變化的大信號使非線性電路模型線性化，則最終獲得的模型是線性隨時間變化的。具體地說，許多RF組件(例如混頻器和濾波器)均設計成在信號通路中有準線性響應，但可以對諸如切換的電容器濾波器或混頻器的本地振蕩器的時鐘之類的其它激勵作強烈的非線性響應。具有基頻周期的RF電路還可分類成周期性隨時間變化的線性(PTVL)系統。這種組件是用於LTV模型簡化的主要候選組件。從以上的說明中可以看出，在現實世界中，可精確地建模成LTV的電路集合要遠大於可描述為LTI的電路集合。
當前大多數對LTI模型簡化的工作都隱含或明顯地基於以投射為基礎的構想。可通過將線性系統投射進低維子空間內而從完整的模型中獲得簡化模型。所選定的子空間決定了簡化模型的大致屬性。
目前普遍可接受的是在LTI系統中，將投射子空間選擇成為Krylov子空間是有效且高效率的。由於很容易計算Kryloy子空間，故會提高效率。通過指明投射進Krylov子空間對應於匹配拉普拉斯域變換函數的導數(力矩)，所述方法的有效性是積極的。以多點有理逼近為基礎的方法周知是特別有效的。但是，不幸的是，用於隨時間變化系統的模型簡化很少受到注意。業已提出了平衡的截斷方法，但是，如何有效地實現這些技術並不明確。
電路設計中的另一個問題包括對互連和寄生效果進行建模，所述效果在包括數字、模擬和混合信號設計在內的所有類型設計中是普遍的。因這些電路模型的規模和複雜性而導致的計算成本是檢驗這些設計中的主要瓶頸。所以，提供電路中這些互連和寄生效應的精確和小型宏模型的技術會提高整個設計的周期。
目前集成電路設計中兩個趨勢必已顯示出設計檢證中互連和寄生效果的重要性向亞微米結構演化和電信/RF電路結構的快速增長。這些設計中高頻和高組裝密度的組合已使得用於電路模擬和時序檢驗的電路模型的規模和複雜性快速增加。所以，需要一種通用的工具去對這些線性電路模型提供精確和小型的簡化階宏建模，以便顯著地改善電路模擬和時間檢驗的吐吞量，這就進而又會改善整個設計的周期。
最近，用於簡化大規模線性系統的算法是以投射為基礎的方法。諸如PVL、Arnoldi法和PRIMA之類的箅法可通過將描述LTI模型系統的線性等式投射進低維子空間而獲得簡化模型。所選定的子空間決定了簡化模型的近似性質。大多數流行的算法利用Krylov子空間與合理近似之間的聯繫去開發具有與系統的頻率域特徵有已知關係的算法，以便在複數平面的多個點處匹配傳遞函數與其某些導數。線性簡化算法對多種問題例如模擬RF系統中的電互連和噪聲分析是有用的，但在其它情況下是完全無用的。例如，相鄰信道功率比「ACPR」是以數字方式調製的RF傳輸系統的失真性質的品質因數，從而從定義上說需要使用非線性模型。微機電系統(「MEMS」)和電源系統也需要非線性宏建模方法。但是，就簡化非線性系統而言，有非常少的結果可用。
發明概要在一個實施例中，本發明涉及用於系統模型簡化的方法，所述系統具有隨時間變化的部件，這些部件可用隨時間變化的微分方程來描述。上述方法能對諸如混頻器和濾波器之類具有準線性信號通路但可具有很強的非線性響應的非線性RF塊進行自動的抽取簡化建模。
在另一個實施例中，本發明涉及用於系統模型簡化的方法，所述系統具有非線性且隨時間變化的部件，這些部件可用隨時間變化的微分方程來描述。
在又一個實施例中，本發明涉及用於系統模型簡化的方法，所述系統具有非線性且隨時間變化的部件，這些部件可用隨時間變化的非線性微分方程來描述。
附圖簡述
圖1是使用周知模型簡化技術的切換的電容濾波器對1KHz正弦曲線的響應圖；圖2是本發明的當前最佳實施例的隨時間變化系統模型的模型簡化的方法的流程圖；圖3示出了本發明的當前最佳實施例的對時間取樣的切換的電容的傳遞函數的振幅；圖4說明了利用本發明的當前最佳實施例的過程所獲得的接收機的宏模型；圖5說明了本發明的當前最佳實施例的對建模成具有隨時間變化的線性響應的混頻器的傳遞函數的響應圖；圖6是本發明的當前最佳實施例的當前非線性系統模型簡化方法的流程圖；圖7是本發明的RF混頻器在使用非線性系統模型簡化的優選方法情況下的實際的和建模後的響應；以及圖8是當前優選的計算系統的圖，所述系統能按本發明的當前優選實施例的模型簡化方法進行操作。
附圖詳細描述基於Krylov-子空間的投射方法一般按以下方式工作。考慮按微分代數形式寫出的線性不隨時間變化的多輸入多輸出(MIMO)線性系統。Gx=-Gx+Bu(t)]]>y(t)＝DTx其中，C，G∈Rnxn；x(t)∈Rn，BRnxni,DRnxn0,u(t)Rn0,y(t)Rn0]]>，n是系統的階，ni和n0分別是系統輸入和輸出數目。
為簡化起見，令C＝I，其中，I是單位矩陣。在進行了拉普拉斯變換以後，系統輸出是y(s)＝DT(sI+G)-1Bu(s)。傳遞函數DT(sI+G)-1B在s下是有理函數並且可用諸如pade逼近式之類的有理函數來逼近。pade逼近式與大多數其它用於模型簡化的逼近式相類似地具有將傳遞函數與其某些就s而言的導數相匹配的性質。
在一般情況下，可用下式獲得有理逼近式C^z(t)=-G^z+B^u(t)]]>y(t)=DT^z]]>其中，C^,G^Rrxt;z(t)Rr,B^Rrxn1,DRrxn0]]>並且，在簡化是有用的情況下rv＜＜n。可通過下式從投射矩陣L和T中獲得簡化的矩陣G^=LTGT,C^-LTCT,B^-LTB,D^=TTD----(1)]]>就C＝I(以下結果普遍化)而言，請注意，傳遞函數的第k個導數或矩由DTG(k+1)B給出。很明顯，要生成的逼近式與作用於B的矩陣G-1或作用於D的G-T的冪相關。將矩與投射矩陣L，T相關聯對模型簡化過程來說是關鍵。以下的定義和定理使這些思想形式化。
定義1(Krylov子空間) 矩陣A和矢量p生成的階為m的Krylov子空間Km(A，p)是矢量組(P，Ap，A2p，……Am-1p}所跨越的空間。
定理1(Krylov子空間逼近)如果L構成的列跨越了階m的Krylov子空間Km(G-T，D)，且T構成的列跨越了階n的Krylov子空間Km(G-T，B)，那麼，簡化的階變換函數 與未簡化的函數DT(sI+G)-1B的第一個m+n矩相匹配。
例如，在構成了Pade逼近從而因Lanczos算法與Pade逼近式之間的關係而與AWE技術等價的PVL算法中，L和T的選擇是LT＝WTG-1，T＝V，其中，W和V包含有雙正交Lanczos矢量，並且，在以Arnoldi方法為基礎的模型簡化的一種變化形式中，LT＝WTG-1，T＝V，其中，V是由Arnoldi法生成的規範正交矩陣。W構成的列跨越Km(G-T，D)，V構成的列跨越Km(G-1，B)。
已經周知直接根據Krylov基礎本身L＝T＝V來採取投射矩陣。由於是正交投射，故如果完全的模型具有預定的結構屬性(諸如穩定性和被動性)，則簡化的模型會繼承它們。應該注意，儘管在L＝T時有正交投射，但是，這種結果表示儘管從計算的觀點看將L和/或T構造成有規範正交的列是有用，但是L或T是正交的。
上述方法可擴展至多點逼近式，其中，傳遞函數及其某些導數在複數平面內的多個點處是相匹配的。在這種情況下，L和T必須包含在不同展開點處構造的Krylov子空間的併集。當展開點是複數的時，可利用以下事實來有效地獲得實際模型即如果u＝(I-sA)-1p在Krylov空間內，就實數矩陣A而言，則u*是有效的。1、對線性隨時間變化系統的說明線性隨時間變化的系統出現在多種情況下。就電子電路中，為了獲得線性隨時間變化電路的描述，首先寫出描述電路的微分方程。可用諸如改進的節點分析之類的周知技術來形成電路描述。這種類型的電路描述具有下列的一般形式f(v(T))+ddtq(v(T))=u(T)(t)----(2)]]>其中，u表示輸入源，v(T)描述了節點電壓，f是電壓與電流之間的關係，函數q使電壓與電荷(或通量)相關。b是這樣的矢量，它描述從輸入函數u到系統內部的映射。
方程2說明了帶有上標T的電壓v和輸入變量u，以表示它們是能被分成兩部分即大信號部分和小信號部分的整個量，以便獲得LTV模型，u(T)＝u(L)+u，v(T)＝v(L)+v， (3)通過圍繞著v(L)的線性化，可以獲得下列形式的線性隨時間變化的系統G(t)v+ddt(C(t)v)=bu(t)----(4)]]>其中， 是隨時間變化的傳導性， 是電容矩陣，可獲得小信號響應v。1.1.對線性隨時間變化的系統進行分析在以下的說明中，用手寫體字母(A)表示連續的操作符，用大寫字母(A)表示nxn複數矩陣的空間的成員Mn。下標表示在特定時間點或諧波頻率下的矢量或矩陣變量，無下標的小寫字母變量表示在時間或頻率下標上的變量。也就是說，對於用M(離散)時間自由度(時間點或傅立葉諧波)表示的有N種狀態的系統而言，A∈MNM，At∈MN，xt∈RN，x∈RMN。
被開發出用於描述隨時間變化的系統的Zadeh變量傳遞函數的形式化方法目前優選地被用於改進模型簡化過程。但是，儘管以下說明了Zadeh的變量傳遞函數，但可按任何頻率域傳遞函數來執行上述過程。在這種形式化方法中，可將響應v(t)寫成隨時間變化的傳遞函數和u(t)、u(w)的傅立葉變換的積的逆傅立葉變換。也就是說v(t)=-h(i,t)ueitd----(5)]]>為了獲得逐頻率的響應，將u設置成單一頻率輸入uω′＝uωδ(ω-ω′)，並由此可以看出v(t)＝h(iω，t)u(ω)eiωt(6)令s＝iω且將其替換進方程4，可獲得用於變換函數h(s，t)的方程G(t)h(s,t)+ddt(C(t)h(s,t))+sC(t)h(s,t)=b----(7)]]>定義K=G(t)+ddtC(t)C=C(t)----(8)]]>它可更緊湊地寫成[K+sC]h(s，t)＝b (9)還可在時間步長為零時在極限情況下從有限的差分方程中或者從多元部分差分方程形式獲得上述表達式。
方程9具有與LTI傳遞函數的頻率域表達式例如DT(sI+G)-1相類似的形式。但是，它涉及連續操作符而不是有限維的矩陣。一般地說，由於h(s，t)來自集總線性系統，故它是帶無限數量極點的有理函數。例如，在帶有基頻ω0的周期性隨時間變化的系統中，如果η是系統的極點(具體地說是Floquet乘數)，則η+kω0是h(s，t)的極點，k為整數。這是因為，在隨時間變化的描述信號可由諧波k從頻率η-kω0轉換至η處的極點。1.2系統概念1和1.1節中說明的形式化方法完全描述了響應任意外部輸入的內部系統。但是，所有的系統還均通過輸入和寄生效應與外部環境相交互。所以，需要使內部系統響應的詳細差分方程描述與外部系統相關聯。在LTI的情況下，D和B矩陣起這種作用。
隨時間變化的系統也不同於LTI系統，因為，就可能的輸入-輸出映射函數的選擇以及傳遞函數本身的選擇而言，存在有顯著的靈活性。在LTI的情況下，通常事先固定模型埠，這就會導致固定的輸入-輸出映射函數。恆定的矩陣對(D，B)的規範足以說明輸入-輸出映射。在隨時間變化的情況下，這一點不再是足夠的了。所以，為了描述輸入-輸出映射，應指定D和B矩陣或類似功能的矩陣。
但是，由於系統是LIV系統，故允許這些矩陣隨時間變化是有用的。為了能看到這一點，請考慮切換的電容濾波器。模擬一個包含有71MOSFET的五極低通切換的電容濾波器，並計算對1kHz正弦波的非時間變化的線性響應。圖1中示出了結果。鋸齒狀波形是濾波器的強非線性相對於時鐘的結果。包容這種效果是建立隨時間變化的模型的目標。作為對輸入的響應，LTI系統會產生有相移的且按比例縮放的平滑正弦波。但是，濾波器的輸出通常後面是跟隨某一類函數(例如A/D轉換器的樣本/延遲)，這種函數廢棄了某些小樣本時間窗口之外的濾波器輸出。為了在較高層次上對這種系統建模，希望有這樣的簡化階模型，該模型能使連續的正弦輸入與輸出窗口相關聯，所述電路將該輸出窗口與它的輸出(例如樣本)相連並加以保持。
一般地說，在PTVL的情況下，最好在基本周期上指定D(t)和B(t)函數。儘管這似乎允許在選擇D(t)和B(t)函數時有大的自由，但是，並不象它開始時表現出來的那樣自由。在電路問題中，由於輸出埠是固定的，故對某些周期性標量函數di(t)、bi(t)來說，D(t)和B(t)可以寫作D(t)＝D[d1(t)，…，dni(t)]＝B[b1(t)，…，bn0(t)]。對TVL系統的當前最佳選擇，特別是對於大多數諧波平衡碼，d(t)、b(t)是單音頻正弦波。在某些情況下，例如在混頻器的情況下，這是一種自然的選擇，但是，在一般情況下，d(t)、b(t)的選擇並不那麼簡單。如果在輸入或輸出映射中多種諧波是感興趣的，則純音頻選擇是一種不好的選擇。就切換的電容濾波器而言，可通過選擇按調整之後的狹窄間隔對輸出取樣的d(t)而獲得的自然的傳遞函數。2.對LTV系統的模型簡化2.1獲得離散的有理函數由於對集總的隨時間變化的系統而言隨時間變化的函數是有理函數，故認為可從同類業已用於簡化LTI系統的有理近似路徑中獲得簡化模型是合理的。所以，要尋找對於有限維矩陣而言的傳遞函數的表示法。
為了獲得離散的有理矩陣函數，使操作數K和C離散化。儘管通常不是正交的，這一步驟也是一種通過投射操作的模型簡化，因為，大多數代碼均使用了某種配位形式(BDF或偽頻譜離散化)。一般地說，如第3節中說明的模型簡化可直接從操作數的任何有限維表達式著手進行。
在RF應用中出現的PTVL系統中，在將輸入-輸出如何映射的說明包括進模型簡化過程時，可引入與系統的時間變化有關的若干明確的假設。為了進一步簡化實例，將SISO用作一般的情況。
在後向的歐拉離散化的實例中(K+sC)h(s)＝b(10)其中 並且h(s)＝[h1(s)h2(s)…bM]T(13)b＝[b1b2…bM]T(14)其中，Gj＝G(tj)，Cj＝(tj)，bj＝b(tj)，hj(s)-h(s，tj)。從理論上說，在這一點上，如果能適當地解釋結果，則為簡化集總LTI系統所研發的任何算法均可應用於方程11-14中所限定的矩陣和矢量。請注意，由於輸入函數或基本矢量vk表示時間波形，則簡化的輸入和輸出函數b和d表示隨時間變化的輸入和輸出映射。2.2保持系統結構最近，已對研發用於被動LTI系統的能保持系統被動性的模型簡化方法方面有顯著的興趣。與集總RLC的情況不同，本發明所考慮的隨時間變化的模型不一定是被動的或者甚至是穩定的，因為，這些模型可從非線性系統的線性化中獲得。的確，小信號增益可以是模型的需要的性質。但是，即使在隨時間變化的系統中因其被動性或缺乏被動性而不能建立先驗條件，當前優選的是在模型簡化過程中不會破壞基礎系統至少在特定穩定性或被動性方面恰巧具有能改進計算效率的結構性質。在利用如第3節所述的規範正交矩陣進行正交投射時，可根據簡化模型中繼承諸如被動性之類屬性的操作數的值域用自變量來表示該正交投射。3.逼近Krylov空間可通過對有限差分方程求解來獲得從小信號正弦波輸入到輸出的諧波下的正弦波的傳遞函數 其中，α(s)≡esT且T是基本周期。傳遞函數h(s，t)由h(s，t)＝e-sTv(t)給出。
將K分解成下三角形和上三角形是方便的。利用L和R的表達式，方程式(15)變為(L+(s)R)v~=b~(s)----(16)]]>如果將小信號調製操作數定義為Ω(s)，其中，Ω(s)是 則可作出以下標識h(s)=H(s)v~(s)----(18)]]>還有K+sC≌Ω(s)[L+α(s)R]ΩH(s)(19)方程19的左邊和右邊在處理小信號方面是不同的。左邊表示頻譜離散化，右邊表示有限差分離散化。
為了針對某些右邊的 求解方程16，首先考慮用矩陣L進行預處理。由於L是下三角形的並有小的塊帶寬，故在計算對矢量的逆作用時塊高斯消除是很有效的。在這一過程中，一旦M對角線塊進行了分解(這是必須精確執行一次的操作)，則逆反的每一次應用均是M個步驟的過程，在每個步驟中，需要用分解的對角線矩陣和乘以偏離對角線的塊的乘法來進行反求。對於簡單的向後歐拉離散化，每行中都有一個偏離對角線的塊。經預處理的系統可寫作(I+(s)L-1R)v~=L-1b~(s)----(20)]]>假定用諸如GMRES之類的以krylov子空間為基礎的迭代法來求解方程20。GMRES中使用的krylov子空間最好是與用於模型簡化的子空間不相同的Krylov子空間。這是因為，矩陣A的當前優選的krylov子空間對形式A→βI的變換是不變的，同樣的Krylov子空間可用於在多個頻點求解方程20。通過利用L-1R的特定結構性質可以使這種「再循環的Krylov子空間」算法更有效，因為L-1R的頻譜與LTV系統的Flquet乘數相關。Krylov空間的再循環也會加快用不同的右邊矢量的求解。但是，對直接的模型簡化來說，有限差分公式化並不是優選的。
相反，對模型簡化來說經得起檢驗的頻譜離散形式不太便於處理(對比方程10和方程16)。即使使用三對角線預處理器，必須在各個不同的頻點處重新構造預處理器(即必須重新分解對角線塊)，不利用頻率s下的變換保持最終的Krylov子空間。
為了解決以上問題，考慮在作為(K+sC)-1的Krylov子空間的基礎的、不是用於投射的矩陣V而是鄰近矩陣的情況下會出現發生什麼樣的事情。由於有形成簡化模型的方法，僅會將小誤差引入最終的模型。只要不在極點附近評價模型，引入模型的額外誤差總是小的。
這就暗示可用有限差分方程來獲得模型簡化過程中投射器的基礎。由於所述基礎會非常好地逼近頻譜操作數的Krylov子空間，故仍可以獲得良好的簡化模型。此外，由於有再循環的Krylov方案，故從關於多個頻點的展開式中獲得投射器基本上不比單頻點展開式昂貴。這就會導致所提出的模型簡化算法即算法1。可以考慮採用Arnoldi算法，其中，用近似的線性求解器代替精確的求解器。
如果右邊的序列具有彼此「鄰近」的Krylov空間，則再循環的Krylov子空間迭代求解器以及塊求解器一般比非塊求解器更有效。為了說明為什麼再循環對模型簡化問題是非常有效的，考慮這樣的簡單情況其中，C＝I且展開點在原點。在這種精確的情況下，將第k個階投射器Vk構造成VkKk(K-1，b)≡{b，K-1b，K-2b，...，K-(k-1)b}(21)使用上式的算法如下所示算法I(近似的多點Krylov子空間模型簡化)set k＝1for i＝1，...，nq{if j＝1 thenw＝belsew＝Cvk-1u＝ΩH(si)[L+α(si)R]-1Ω(si)wfor l＝1，...，k-1{u＝u-vtTu}vk＝u/||u||k＝k+1}}K^=VTKV]]>C^=VTCV]]>D^=VTD]]>B^=VTB]]>以上所使用的預處理過程的另一種形式允許通過用矩陣k的內部Krylov迭代來獲得模型簡化過程中的各個矢量。然後，由於從用於某個m的Krylov空間(K，p，m)中抽取模型簡化過程中各個新的右邊ui，故Ki(K-1，b)空間中的下一項與Km(K，b)相關，由此可獲得某種效率。事實上，可根據用於構造K-1b的幾乎相同的Krylov序列{b，Kb，…Kmb}(m＞g)來獲得矢量K-qb。因此，可以合理地認為可根據空間{b，Kb，…Kmb}來構造整個Vk，其中，m僅略微超過k。
對於當前優選的模型簡化實現形式，GMRES算法的再循環的版本用作「塊箱」，以便求解方式L+α(si)vi＝pi。由此，可在不必執行預處理、變換等的情況下自動地利用Krylov空間的性質。
參照圖2說明一般TLV模型簡化過程。首先，用差分方程例如方程2中的形式來說明電路或系統的隨時間變化的部件，步驟100。針對差分方程的大信號分量對差分方程線性化，步驟110。通過應用傳遞函數來確定線性化的差分方程的頻率域表達式，步驟120。確定線性化的差分方程的頻率域表達式的有限維表達式，步驟130。最好通過使矩陣的操作數離散化而獲得有限維的表達式，上述矩陣的操作數表示差分方程的操作數。用krylov子空間投射來簡化表示有限維表達式的矩陣，步驟140。當前優選的是，用於krylov子空間的投射用的基礎不是用於表示有限維表達式的矩陣的矩陣的基礎，而是一個鄰近矩陣的基礎，所述鄰近矩陣是上述矩陣的一種預處理版本。對近似的矩陣求解，以獲得簡化的模型，步驟150。4、隨時間變化的線性系統的模型簡化的實例為了檢驗上述模型簡化過程，在時間域RF電路模似器中實現了所提出的算法。用打靶法計算大信號周期穩定性狀態。用可變的時間步第二階向後差分公式來使隨時間變化的線性系統離散化。
所考慮的第一個實例是前述切換的電容濾波器，它按25kHz的時鐘頻率運行。該例在電路模擬器中產生58個方程，並且，需要453個時間步來描述穩定狀態的波形。使用解決周期性穩定狀態問題時產生的同樣時間步去使隨時間變化的線性操作數離散化。對於模型簡化過程而言，輸入函數b(t)(見方程10)是恆定的，對應於濾波器輸入處出現的連續正弦波輸入。為了規定輸出函數，使用了樣本函數，該函數在循環開始的時鐘脈衝前沿之前1μs的一個200ns時間段上是恆定的。最終的模型基本上是實際的LTI系統，它表示連續的模擬輸入與取樣的數字輸出之間的傳遞函數。圖3示出了簡化模型的傳遞函數的振幅，它是是輸入頻率的函數。
圖3示出了兩個九狀態模型。通過匹配原點處的九個實數矩而生成用虛線示出的模型。根據匹配原點處的三個實數矩和虛軸上200kHz、400kHz和800kHz的一個矩而生成實際等同於實際傳遞函數的點劃線。由於這些展開點偏離實軸，故Krylov空間中的各複數矩會產生最終實際模型中的兩種狀態，它們對應於krylov矢量及其複數共軛值。可以看出，多點逼近是一種較好的匹配。
第二個實例是複數鏡像抑制接收器。這種接收器是一種複雜的電路，帶有若干個功能組件塊(低噪放大器、分相網絡、兩個雙平衡混頻器以及兩個寬帶Hilbert變換輸出濾波器)。整個電路具有167個雙極性電晶體並能在電路模擬器中產生986個方程。對於時間域分析而言，需要兩百個時間步，因此，矩陣K具有約200000的秩。
生成第十五階實數值隨時間變化的模型，以便表示從RF到輸出的接收器轉換路徑。由於希望有從多個邊帶到混頻器輸出的模型，故用相鄰的矩陣KT去進行模型簡化。在這種情況下，隨時間變化的部件在最終模型內出現在LTI濾波器之前，如圖4概略所示。如果隨時間變化的部件放置在LTI組件之後，則使模型簡化以k為基礎是較便利的。混頻部件使輸入相對RF頻率頻移780MHz即混頻器的LO頻率。在這些部件之後是多輸入LTI濾波器，圖5示出了該濾波器的響應曲線。上述混頻器的低邊帶抑制特徵在模型中是明顯的。如果在抑制載波DSP模擬器中使用上述模型，可簡單地略去混頻部件。
表1示出了用於簡化模型抽取和評價的計算成本的統計值。應該注意，在濾波器實例中考慮了兩百個頻點，在混頻器實例中考慮了五十個頻點。在兩個實例中，簡化模型比單個頻率掃描花費更少的抽取時間，並且，該評估更有效(事實上，代碼中的總開銷是足夠的，因為，難以精確地確定在實際模型評估時消耗多少時間)。請注意特別是切換的電容實例的簡化效率。隨時間變化的模型具有為26274的秩，而且，在僅為7個CPU秒中生成簡化模型。
再循環的krylov算法的效率是顯著的。在濾波器的情況下，就九階實數模型而言，在獲得矩的再循項環GMRES過程中僅需要L-1的18項應用。需要其餘的矩陣矢量乘(或反求)來執行投射或用於初始的預處理步驟。在GMRES更難以收斂的混頻器實例中，為簡化而需要124次反求，每個模型階約為8次，這樣仍然是良好的。
表1提供了隨時間變化模型簡化過程與逐點頻率掃描的比較。可通過再循環GMRES算法來加速頻率掃描。MVP是指利用矩陣L的等價實數-實數矩陣矢量求解。「簡化」是按秒或分的模型簡化時間，「求解」是獲得頻率響應所需的CPU時間。
以上在1-3節中說明了根據非線性隨時間變化的電晶體級電路描述來抽取簡單和小型宏模型的方法和系統。由於切換的電容和接收器實例作了證明，故這些模型能表示非常複雜的基本動態特性。可表示為線性隨時間變化的一類系統是非常廣泛的，所以，這裡所提出的方法是一種潛在的有力分析和抽象工具。使用以多點Krylov子空間為基礎的有理逼近以及內部近似再循環GMRES求解器似乎是一種特別的有協同作用的組合併且主要是對所述方法的效率負責。
實事上，多點逼近的優點是當與再循環的GMRES求解器相關聯時，它們在能使用非常低精度的逼近式解方面看起來更強有力。在來自再循環GMRES求解器的所請求的求解容差設置得很鬆時，會很快停止，以生成供模型簡化投射空間使用的新矢量。移至另一個頻率展開點會將新信息引入再循環求解器，並為模型簡化投射產生新方向。
在這裡描述了若干種LTV模型簡化方法和系統的中間展開式。所述形式化方法和算法可以被擴展到準周期的小信號分析的情況。類型地，這裡描述的方法可以直接加以應用，從而得到循環固定噪聲傳輸函數。
參照本發明最佳實施例的用於生成非線性系統的簡化階模型的方法。
5.非線性系統以下考慮具有非線性狀態演化功能的系統dxdt=f(x)+Bu;y=Cx----(22)]]>其中，描述了非線性fRn→Rn。正式的投射方案可應用於這種方程的系統，以獲得「簡化的」模型E^dzdt=VTf(Vz)+B^u;y^=C^x^----(23)]]>其中，EA∈Rnxn；x(t)∈Rn是內部狀態，B∈Rnxq，u(t)∈Rq是輸入，y(t)∈Rq是輸出，N是系統的階，p和q分別是系統輸入和輸出的數目。
這種方法的第一個問題是如何選擇空間V是不明顯的。基於對線性化模型進行分析的方法不包括與非線性屬性有關的信息，所以不能直接加以利用。可以使用以狀態空間x(t)的統計代表性抽樣的奇異值分解為基礎的試探法，但試探計算是大規模的並且不能控制模型精度。在理論上存在有基於平衡的過程，但不清楚它們是如計算的。
更重要的是，通常不能從項VTf(Vz)中抽取出簡化的宏模型。總是能通過明確地構造出 而評價VTf(Vz)，從而評價非線性並通過與VT的相乘而最終明確地投射到簡化空間上。但是，除在特殊環境(例如大型線性子網)以外，如果在詳細電路描述中有N個自由度，則評價全部模型需要0(N)次操作，並且，由於f是非線性函數且V通常可能不經過括號，故對簡化模型的評價也需要0(N)次操作。對簡化模型而言，最佳的是，需要「0(q)」次操作(q是模型的階)以獲得模型。也就是說，模型評價的成本僅與系統輸入-輸出關係的複雜性相關而不與基本系統的大小相關。例如，如果可用第四階有理函數逼近LTI系統傳遞函數，則PVL算法通常可在與基本詳細描述的規模無關的情況下獲得一個其狀態數不會大大超過四的簡化模型。
這樣，為了獲得非線性系統的簡化描述，通常需要簡化非線性函數的複雜性。這一點可通過用較簡單形式的函數去逼近非線性函數f(x)來加以實現。6.非線性系統的簡化6.1多項式逼近法考慮方程(22)的系統，該系統對說明分析(電路方程可以總是在可能奇異的E的情況寫成Edx/dt=f(x)+Bu，並且，可直接擴展至這種情況)的基本方面是足夠概括的。在許多情況下，可以在多維多項式的級數(諸如但不一定是多維泰勒級數)中展開f(x)f(x)=k=1k(x,x)----(24)]]>其中，φk是K-多線性形式。也就是說，φ1(x)在參數x的情況下是線性的並且可以寫作矩陣φ1(x)=Alx，φ2(x，x)表示二次項，等等．可用投影形式來形成簡化模型，以便構造簡化的 ，因此^(z,z)=VT(Vz,,Vz)----(25)]]>可用Kronocker形式來獲得k的具體表達式。具體地說，限定x(1)≡x (26)x(2)≡xx (27)x(2)≡xxx(28)等等，f(x)的展開式是f(x)=A1x(1)+A2x(2)+A3x(3)+…(29)因此dxdt=A1x(1)+A2x(2)+A3x(3)++Bu----(30)]]>其中， 矩陣Ak表示按多維級數展開f(x)所需的K維張量。這些張量通常是非常稀疏的，並且，在這種情況下，如果N是矢量x(1)的維數，則在O(N)次操作中可計算出Ak之一與矢量x(k)的積。
利用多線性形式的這種實現形式，簡化的多線性形式 可氖示為矩陣A^k=VTAk(VVV)----(31)]]>由於有Kronecker積恆等式，故方程31可寫為Ak(VzVz…Vz)=Ak(VV…V)(zz…z)(32)6.2 變分分析為了了解上述模型簡化過程是多麼容易地應用於利用多項式展開式描述的非線性系統，採用通常用於計算Volterra核心的變分過程。假定α被引入為變分參數，且將系統的響應 計算為α的函數。用α按冪級數展開上述響應x(t)＝αx1(t)+α2x2(t)+… (33)很清楚x(2)(t)＝α2x1(2)+α3[x1x2+x2x1]+… (34)x(3)(t)＝α3x1(3)+… (35)因此，x1(t)+2x2(t)+=A1x1+2[A1x2+A2(x1x1)]+----(36)]]>通過比較變分參數α的項，可以獲得一組描述每一個xk的時間演進的差分方程，每個方程都是N維的x1=A1x1+Bu----(37)]]>x2=A1x2+A2(x1x1)----(38)]]>x.3=A1x3+A2[x1x2+x2x1]+A3[x1x1x1]----(39)]]>等等。6.3模型簡化回顧方程37-39，可以看出，描述第一階響應的系統是標準的狀態空間系統。為了獲得該系統的模型，可計算出帶有起始矢量的Krylov子空間，該空間是由B的列空間給出的。描述第二階響應的系統也是一個帶有同樣的系統矩陣A的標準狀態空間系統，該系統僅有不同的輸入。為了獲得與上述響應的第二階分量的頻率響應相匹配的簡化模型，必須跨越向第二階系統的輸入的krylov空間。向第二階系統的輸入是「平方的」第一階響應的A2倍。目前的關鍵點是，如果用從投射器矩陣V1獲得的簡化模型來適當地描述第一階系統，則向第二階系統的輸入必須位於A1(V1V1)的列空間內。從而，為了獲得能提供第二階響應的模型的空間V2，計算出其列是Kq((s0E-A)-1E、(s0E-A)-1B)的基礎的V1。用於非線性展開式的較高階的過程與其相類似。
上述描述還給出了某種理解，以嚴格線性信息為基礎的簡化模型是有用的。如果一個可能是根據krylov K(A1-1，B)而生成的空間V具有在多線性形式之一的範圍上的小投影Ak(VjVj…Vj)，則最終的簡化模型不可能是對第k階響應的良好逼近。保證精確的非線性表示的唯一途徑是在上述簡化過程中明確包括與較高階非線性項有關的信息。相反，如果Ak(VjVj…Vj)的跨距已包含在V的跨距內，則最好通過執行[V1V2…]的奇異值分解並用最終的單個V來「緊縮」在較高的階獲得的空間Vk，以便進行投射。在匹配較高階非線性的頻率域響應時，緊縮對獲得合理大小的模型來說特別重要，因為，嚴格地說，所需項的數量會隨多項式的展開式的階而以指數方式增長(就如同Volterra核心的自由度的數量增長那樣)。
最後，值得注意的是，上述分析可用於普通的操作點。具體說，通過採用根據獲得隨時間變化的系統的簡化階模型所描述的過程，可獲得隨時間變化的弱線性模型簡化過程。這種方法基本上與隨時間變化的Volterra核心的「矩」相匹配。因此，該模型可用於預測周期或半周期性操作的RF電路中的交叉調製變形和其它非線性效應。
參照圖6，利用非線性差分方程描述了非線性系統或電路，步驟200。然後將差分方程展開成一系列多維差分方程，這每個方程均表示非線性系統或電路的獨立諧波響應，步驟210。用Krylov子空間投射法對最低階差分方程生成模型，步驟220。用Krylov子空間投射法把在步驟220生成的簡化階模型用作為下一個最低階模型的模型簡化的輸入。對各階差分方程組順序地重複上述過程，步驟240。7.非線性系統的模型簡化的實例作為一個實例，在圖7中使用了RF混頻器的模型簡化的演示。RF混頻器的第一、第二和第三階響應是信號輸入頻率的函數。完整系統的響應被顯示為實(o)曲線，簡化模型被顯示為虛(+)曲線。計算出主要的上變換響應以及因失真所產生的頭兩項(上述形式中的第二和第三階響應)。請注意，通過測定頻率域中的失真(本質上是非線性現象)，可以分離出線性和非線性分量的貢獻，以便提供電路響應。圖7示出了原始系統與在頻率域數列展開式中匹配第一和第二階非線性直至第四和第二階的頻率響應所需的38維簡化模型的比較。諧波平衡用於計算原始和簡化系統的響應。生成簡化模型需要約四倍於生成初始操作點的計算時間並且比在同一組頻率點處對詳細電路進行的線性隨時間變化(即第一階小信號)分析少的計算時間。對第一和第二階的項觀察到良好的一致性，令人感興趣地是，還非常好地捕獲到第三階響應。即便對這種較小的電路而言，與諸如多頻諧波平衡(或以包封為基礎的模擬)之類的捕獲在有周期性本地振蕩器情況下由單頻導致的畸變所需的詳細模擬方法相比，上述模型簡化過程在計算複雜性方面會導致更多階數的簡化。
上述帶有隨時間變化的操作點的非線性電路的模型簡化的方法與計算操作點本身的成本相比具有適度的計算要求，並且是以基於熟悉的Krylov子空間的投射過程為基礎的。
參照圖8，計算機系統300包括系統總線310、處理器315、存儲器設備320、固定盤接口330、固定盤340、顯示器接口350、顯示器360、總線接口370、輸入380和390以及網絡通信接口400。
存儲器設備320存儲數據和程序。在與固定盤接口330一道操作的情況下，固定盤340也存儲數據和程序。但是，存儲器設備340具有比固定盤330更快的存取速度，而固定盤340通常有比存儲器設備320更高的容量。
在本發明中，用於執行圖5和圖7所示的步驟的指令以及上述方法及其變化形式可存儲在存儲器設備320或硬碟340內。通過處理器315可執行上述程序。通過這種方式，可將計算設備編程成能執行本申請中所述的模型簡化的步驟和功能。
儘管業已說明了本發明的實施例、應用和優點，但是，在不偏離本文所述的發明概念的精神的情況下，可以有更多的實施例、應用和優點。應僅根據後附的權利要求的精神來限制本發明，而不是由最佳實施例、說明書或附圖來限制本發明。
權利要求
1.一種生成具有隨時間變化組件的系統的簡化階模型的方法，該方法包括生成多個差分方程，它們描述系統的隨時間變化的組件；通過執行上述多個差分方程的傅立葉變換而獲得前述描述系統的隨時間變化的組件的多個差分方程的頻率域表達式；使描述系統響應的前述多個差分方程的頻率域表達式離散化；以及確定前述多個差分方程的頻率域表達式的離散化的近似值，其中，通過將從上述多個差分方程的頻率域表達式中獲得的矩陣投射到Krylov子空間上而生成上述近似值。
2.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述矩陣包括系統的隨時間變化的方程的頻譜離散化。
3.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述確定近似值的步驟包括下列步驟生成與上述矩陣基本上相等價的矩陣，上述近似值是通過將上述基本上等價的矩陣投射到Krylov子空間上而生成的。
4.如權利要求3的方法，其特徵在於，所述基本上等價的矩陣包括前述多個差分方程的頻率域表達式的有限維離散化。
5.如權利要求3的方法，其特徵在於，所述確定近似值的步驟包括下列步驟將前述多個差分方程的頻率域表達式的離散化分解成分量矩陣；用調製操作數矩陣來乘以分量矩陣，以便獲得有限的差分離散矩陣；以及投射上述有限的差分離散矩陣，以便獲得上述近似值。
6.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述使前述多個差分方程的頻率域表達式離散化的步驟包括形成上述多個差分方程的頻率域表達式的有限差分離散化，並且，上述生成近似值的步驟包括通過將表示頻率域表達式的有限差分離散化的矩陣投射到Krylov子空間上而確定該近似值。
7.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述通過將從上述多個差分方程的頻率域表達式中獲得的矩陣投射到Krylov子空間上而確定近似值表達式的步驟包括下列步驟利用再循環的GMRES求解器去確定矩陣在Krylov子空間上的投影。
8.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述方法還包括下列步驟在第一頻率確定近似值的響應，並在第二頻率確定近似值的響應。
9.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述多個差分方程包括大信號分量和小信號分量，所述方法包括在大信號分量周圍使小信號分量線性化這樣的步驟，所述生成上述多個差分方程的頻率域表達式的步驟包括獲得線性化了的小信號分量的頻率域表達式，並且所述確定上述頻率表達式的近似值的步驟包括確定線性化了的小信號分量的頻率域表達式的近似值。
10.如權利要求1的方法，其特徵在於，所述系統建模成具有非線性響應。
11.如權利要求10的方法，其特徵在於，所述生成多個差分方程的步驟還包括確定上述多個差分方程的多項式展開式並確定多個與上述多個差分方程的多項式展開式相對應的帶階差分方程，所述確定上述多個差分方程的頻率域表達式的步驟包括確定多個傳遞函數表達式，其中每個表達式均對應於多個帶階差分方程，而這些方程則與上述多個差分方程的多項式展開式相對應，並且，確定上述近似值的步驟包括順序地對於上述多個頻率域表達式中的每一個確定簡化階模型，每個簡化階模型均是通過將下一個較高階的差分方程的結果作為輸入提供給差分方程的各個階而確定的。
12.一種生成具有隨時間變化組件的系統的簡化階模型的方法，該方法包括生成多個差分方程，它們描述具有隨時間變化的輸出的系統，所過所個差分方程包括大信號分量和小信號分量；在大信號分量周圍使差分方程的小信號分量線性化，以便獲得線性化了的小信號差分方程；通過對線性化了的小信號差分方程進行傅立葉變換而確定小響應方程的頻率域表達式；以及如線性化的小信號差分方程的頻率域表達式所確定的那樣，通過確定與電子電路的頻率響應相對應的隨時間變化的矩陣的近似值而確定線性化的小信號差分方程的頻率域表達式的近似值。
13.如權利要求12的方法，其特徵在於，所述確定近似值的步驟包括生成隨時間變化的矩陣的Krylov子空間投影。
14.如權利要求12的方法，其特徵在於，如線性化的小信號差分方程的頻率域表達式所確定的那樣，所述隨時間變化的矩陣對應於一個近似的隨時間變化的矩陣，該矩陣與系統的頻率響應相對應，並且，所述確定近似值的步驟包括生成上述隨時間變化的矩陣的的近似值的Krylov子空間投影。
15.如權利要求13的方法，其特徵在於，所述基本上等價的矩陣包括前述多個差分方程的頻率域表達式的有限維離散化。
16.如權利要求15的方法，其特徵在於，所述確定近似值的步驟包括下列步驟將前述多個差分方程的頻率域表達式的離散化分解成分量矩陣；用調製操作數矩陣來乘以分量矩陣；以及投射調製操作數矩陣乘以上述分量矩陣的結果，以便獲得上述近似值。
17.如權利要求13的方法，其特徵在於，所述使前述頻率域表達式離散化的步驟包括形成上述頻率域表達式的有限差分離散化，並且，上述生成近似值的步驟包括通過將表示頻率域表達式的有限差分離散化的矩陣投射到Krylov子空間上而確定該近似值。
18.如權利要求12的方法，其特徵在於，所述通過將從上述頻率域表達式中獲得的矩陣投射到Krylov子空間上而確定近似值表達式的步驟包括下列步驟利用再循環的GMRES求解器去確定矩陣在Krylov子空間上的投影。
19.用於生成具有非線性組件的系統的簡化階模型的方法，該方法包括接收電路描述，該描述對應於具有非線性響應的電路的組件級淨列表；獲得非線性穩定狀態差分方程，它們對應於具有非線性響應的電路的響應；獲得上述非線性穩定狀態差分方程的傳遞函數表達式；生成上述傳遞函數表達式的多項式展開式，該多項式展開式包括多個帶階的差分方程；以及通過確定用於上述多個帶階差分方程中的每一個方程的簡化階模型而確定多項式展開式的近似值，其中，用於上述多個帶階差分方程中的每一個帶階差分方程的簡化階模型是從下一個較低階差分方程中獲得的簡化階模型，並且，所述有限維表達式包括計算出的較低階差分方程的簡化階模型。
20.如權利要求19的方法，其特徵在於，所述確定近似值的步驟包括下列步驟生成與從頻率域表答式中獲得的矩陣基本上相等價的矩陣，上述近似值是通過將上述基本上等價的矩陣投射到Krylov子空間上而生成的。
21.如權利要求20的方法，其特徵在於，所述基本上等價的矩陣包括前述多個差分方程的頻率域表達式的有限維離散化。
22.如權利要求20的方法，其特徵在於，所述確定近似值的步驟包括下列步驟將前述多個差分方程的頻率域表達式的離散化分解成分量矩陣；用調製操作數矩陣來乘以分量矩陣；以及投射調製操作數矩陣乘以上述分量矩陣的結果，以便獲得上述近似值。
23.如權利要求19的方法，其特徵在於，所述使前述多個差分方程的頻率域表達式離散化的步驟包括形成上述多個差分方程的頻率域表達式的向後歐拉離散化；並且，所述生成近似值的步驟包括將表示頻率域表達式的向後歐拉離散化的矩陣投射到Krylov子空間而確定該近似值。
24.如權利要求19的方法，其特徵在於，該方法還包括下列步驟在第一頻率確定近似值的響應，並在第二頻率確定近似值的響應。
全文摘要
提供了用於生成具有隨時間變化的部件、非線性部件或這兩者的系統的簡化模型的方法和系統。用差分方程來描述要加以建模的系統(100)。然後使系統的差分方程線性化(110),並且,獲得線性化了的差分方程的頻率域表達式(120)。生成頻率域表達式的有限維表達式(130)並且通過krylov子空間投射來簡化該表達式(140)。對簡化的有限維差分方程求解(150),以便獲得系統的簡化模型。
文檔編號G06F17/50GK1360712SQ00808600
公開日2002年7月24日 申請日期2000年4月7日 優先權日1999年4月7日
發明者J·菲利普斯 申請人:凱登絲設計系統公司