正方形內部有折線求正方形面積（求正方形面積條件如圖所示A）

2023-10-10 01:33:38 2

題目：

求正方形面積，條件如圖所示，A，E，C不一定共線

知識點回顧：

共圓性質定理圓內接四邊形的對角和為180°,並且任何一個外角都等於它的內對角。四邊形ABCD內接於圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交於P，則有：∠A ∠C=180°，∠B ∠D=180°（即圖中∠DAB ∠DCB=180°, ∠ABC ∠ADC=180°）∠DBC=∠DAC（同弧所對的圓周角相等）。∠ADE=∠CBE（外角等於內對角，可通過（1）、（2）得到）△ABP∽△DCP（兩三角形三個內角對應相等，可由（2）得到）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）EB*EA=EC*ED（割線定理）EF²= EB*EA=EC*ED（切割線定理）AB*CD AD*CB=AC*BD（託勒密定理）正方形性質定理兩組對邊分別平行；四條邊都相等；鄰邊互相垂直。四個角都是90°，內角和為360°。對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角。既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質與特性。正方形是特殊的矩形，正方形是特殊的菱形。

粉絲解法1：

可以證明本問題中A、E、C三點恰好共線！簡解：連結DE,由於矩形內任一點到兩組對角頂點距離的平方和相等，∴AE² CE²=BE² DE², ∴2² （2√3）²=（2√2）² DE², ∴DE²=8, ∴DE=2√2. ∴BE=DE, 從而易得A、E、C三點共線， ∴AC=2 2√3 ∴正方形ABCD的面積=AC²/2=（2 2√3）²/2=8 4√3.

粉絲解法2：

管它共不共線。x² z²=4, y² z²=8, y² w²=12, x y=z w(y x)(y-x)=4, (w z)(w-z)=4, y-x=w-zy=w=√6, z=x=√2, S=(√2 √6)²=8 4√3

粉絲解法3：

粉絲解法4：

將△BCE順時針繞B旋轉到△AE『B，連EE『，則△BEE『是等腰Rt△，＜BEE『＝45，EE『＝√2X2√2＝4，在△AEE『中，2＾2＋（2√3）＾2＝16＝EE『＾2，△AEE『是Rt△，且AE/EE『＝2/4＝1/2，＜AEE『＝60，＜AEB＝105，sABCD＝AB＾2＝2＾2＋（2√2）＾2－2x2x2√2xcos105＝12＋8√2x（√6－√2）/4＝8＋4√3。

粉絲解法5：

把△ABE繞點B順時針旋轉90°，使AB與BC重合，E點旋轉到E'，由題意易知: △BEE'是等腰Rt△，EE'²＝8 8＝16＝CE² CE'², △CEE'是Rt△，∠CE'E＝60°∠CE'B＝105°, cos105°＝cos(60° 45°)＝(√2-√6)/2＝(BE'² CE'²-BC²)/2BE'·CE'解得BC²＝8＋4√3，即S正＝8＋4√3