偶函數和奇函數的知識點（你知道怎麼把fx）

2023-10-10 19:15:36

把f(x)=e^x拆成一個偶函數和一個奇函數的差，是高中數學的一個常規操作，如果不懂，就會在解決一些問題造成困難，因此必須要掌握。接下來這道題目，就會運用到這個知識，我們在題目的分析過程中來解決這個問題。

設f(x)=e^x, f(x)=g(x)-h(x), 且g(x)為偶函數, h(x)為奇函數, 若存在實數m, 當x∈[-1,1]時, 不等式mg(x) h(x)≥0成立, 求m的最小值.

分析：第一步我們要知道g(x)和h(x)的解析式分別是什麼，否則就解決不了。我們可以利用g(x)和h(x)的奇偶性，求f(-x)關於g和h的表達式，得到g(x) h(x)=e^(-x), 這就與f(x)=g(x)-h(x)=e^x形成了一個關於g和h的類似二元一次方程。把g(x),和h(x)看作兩個未知數，而e^(-x)和e^x看作兩個參數。

解這個類二元一次方程，可以將兩個類方程相加，得到2g(x)=e^(-x) e^x，將兩個類方程相減，得到2h(x)=e^(-x) e^x，從而得到g(x)和h(x)的解析式。這就實現了把f(x)=e^x拆成一個偶函數g(x)和一個奇函數h(x)的差。當然，也可以說是一個偶函數(x)和一個奇函數-h(x)的和。

再把g(x)和h(x)的解析式代入不等式mg(x) h(x)≥0，通過變形，可以得到m≥-h(x)/g(x)，因此問題就轉化成了要求-h(x)/g(x)的最大值。當參數m大於等於一個變量或函數時，要求m的最小值，其實就是要求這個變量或函數的最大值。

接下來組織解題過程：

解：依題意, f(-x)=g(-x)-h(-x)=g(x) h(x)=e^(-x), 又f(x)=g(x)-h(x)=e^x，

∴g(x)=(e^(-x) e^x)/2>0, h(x)=(e^(-x)-e^x)/2,

m≥-h(x)/g(x)=(e^x-e^(-x))/(e^x e^(-x))=(e^(2x)-1)/(e^(2x) 1)=1-2/(e^(2x) 1),

∵y=1-2/(e^(2x) 1)是增函數，

∴當x∈[-1,1]時, y=(e^2-1)/(e^2 1)最大.

∴m=(e^2-1)/(e^2 1)最小.

希望你能喜歡這道題！

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