與圓有關的最值問題解題步驟（與圓相關的綜合題）

2023-10-14 06:41:42 2

各位朋友，大家好！「數學視窗」繼續與大家分享與圓有關的綜合解答題，這道題目有3個小問，第1小題是證明題，難度並不大，屬於學生應該掌握的常規題，第2小題是求點的運動路徑的長，第3小題雖然難度不是很大，但是要正確判斷出何時面積最大，考慮問題要全面。

當然，只有學生熟練掌握了相關知識點，才能順利做出此題。這道題考查了全等三角形的判定和性質，切線的判定和性質，弧長的計算等。下面，我們就一起來看這道例題吧！

例題：（初中數學綜合題）如圖，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，以點O為圓心、2為半徑畫圓，過點A作⊙O的切線，切點為P，連接OP．將OP繞點O按逆時針方向旋轉到OH時，連接AH，BH．設旋轉角為α（0°＜α＜360°）．

（1）當α=90°時，求證：BH是⊙O的切線；

（2）當BH與⊙O相切時，求旋轉角α和點H運動路徑的長；

（3）當△AHB面積最大時，請直接寫出此時點H到AB的距離．

分析：大家想要正確解答一道數學題，必須先將思路大致弄清楚。下面就簡單分析一下此題的思路：

（1）根據已知條件易證△AOP≌△BOH，得到∠OPA=∠OHB，進一步可以得出∠OPA=90°，進而即可證明BH是⊙O的切線；

（2）過點B可以作兩條⊙O的切線BC，BD，然後分情況討論，當點H與點C或點D重合時，即可分別計算得出答案；

（3）當H運動到與AB的距離最大時，△AHB面積就最大，根據此信息進而可以求得結果．

解答：（以下的過程僅供參考，部分過程進行了精簡，並且可能還有其他不同的解題方法）

（1）證明：∵α=90°，∠AOB=90°，

∴∠POH-∠AOH=∠AOB-∠AOH，

即∠AOP=∠BOH，

在△AOP和△BOH中，

OA＝OB，

∠AOP＝∠BOH，

OP＝OH，

∴△AOP≌△BOH（SAS），

∴∠OPA=∠OHB，

∵AP是⊙O的切線，

∴∠OPA=90°，（切線的性質）

∴∠OHB=90°，即OH⊥BH，

∴BH是⊙O的切線；（切線的判定）

（2）如圖，過點B作⊙O的切線BC，BD，切點分別為C，D，

連接OC，OD，則有OC⊥BC，OD⊥BD，

∵OC=2，OB=4，

∴cos∠BOC＝OC/OB

＝2/4＝1/2，（利用三角函數求出角度）

∴∠BOC=60°，

同理∠BOD=60°，

由（1）知：點H與點C重合，

當點H與點C重合時，α=90°，

∴弧PH的長為（直接運用弧長公式即可）

90π×2/180＝π；

當點H與點D重合時，

α=∠POC ∠BOC ∠BOD=90° 2×60°=210°，

∴弧PH的長為

210π×2/180＝7π/3，

∴當BH與⊙O相切時，旋轉角α=90°或210°，

點H運動路徑的長為π或7π/3；

（3）S△AHB=1/2?AB?h，

h表示AB邊上的高，即點H到直線AB的距離，

作ON⊥AB於點N，

由題意可知，在Rt△ONB中，∠OBN=45°，OB=4，

∴ON=OBcos45°=4cos45°=2√2，

∵點H在圓O上運動，

∴h最大=ON OH=2√2 2，

∴當△AHB面積最大時，點H到AB的距離為2√2 2.

（完畢）

這道題具有一定的綜合性，熟練掌握切線的判定和性質是解題的關鍵。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家給「數學視窗」留言或者參與討論。