證明數列收斂就是證明什麼（證明數列收斂並求該數列的極限）

2023-09-20 06:47:13

數列：指的是以正整數集為定義域的函數，是一列有序的數。

極限：某一個函數中的某一個變量，這個變量在變大或者變小的過程中，逐漸向一個確定的數值不斷靠近，但是又永遠達不到這個數值，那這個數值就會被稱作極限值。

而數列恰好是函數，數列極限就是要求出這個數列在變大或者變小的過程中，逐漸靠近的一個確定數值是什麼，我們在求數列極限的時候，要轉化成函數極限來做。

圖一

如圖所示，我給出這樣一道例題，設定一個數列xn，然後相關的條件，證明它收斂，以及這個數列的極限。（證明數列收斂，有時候也只要證明它是一個單調有界的數列，即可直接證明它是一個收斂數列）

拿到題目的時候不要急著做，先對題目進行一個分析。

它說要收斂，也就是證明該數列為收斂數列，想一想對於收斂數列來說，收斂的定義是什麼，對於數列而言，如果說存在一個數列{Xn}，而且有一個固定的實數C，如果給出任意的y>0，存在一個正整數N，使得n>N，有Xn-C的絕對值恆小於y，就稱作該數列為收斂數列，注意，這裡數列的極限就是C，各個點的概念不能夠忘記，一定要特別清楚，不清楚的話，即便知道收斂數列的定義也很難做出這道題目了。

圖二

我們先根據題目，可以得到哪些信息，千萬不要著急。

正如我圖中所寫的這樣，當x>0的時候，我們是不是能夠知道e的x次方恆大於1，因為e的零次方剛剛等於零，但是e的x次方是單調遞增的。

然後再慢慢一步步進行推導，得到數列{xn}下有界，這裡只是證明了它的有界性，那麼我們後面的操作就是要證明該數列的單調性，進而證明該數列是單調有界的。

圖三

最後給出一個解答方案，由圖可知，我們已經證明了該數列的有界性，現在我們要證明它的單調性即可，根據題目給出的條件我們很容易想到用對數的方法來解決，要證明單調性，就是要證明形如xn 1-xn這樣的式子恆大於零或者恆小於零，當然，在這道題目中這個式子恆小於零，那麼就能夠證明該數列是單調遞減的，再根據單調有界準則，我們就可以知道該數列收斂，之後再進行求極限就得到a=0。

注意，為什麼這個方程兩邊可以求導，我們可以這樣理解，你對方程兩邊求導，就是對兩百年同時除以一個dx，只要dx不等於零，那麼方程兩邊求導後也是相等的，這個一定要注意，因為有很多小夥伴沒弄清楚定義域就對方程兩邊求導，就很容易導致題目做錯。

最後做個總結，證明數列是否收斂，以及求該數列的極限的題目的時候，我們要認真分析，用好單調有界準則，用好基本極限的求法，求導也要用好，那麼這類題目的難度就不會特別大。