黎曼猜想怎麼來的（除了黎曼猜想山寨版）

2023-09-16 20:36:41 1

本節我們來介紹「豪華版」的黎曼猜想。所謂「豪華版」，顧名思義，就是要比「普通版」更高一籌，後者有的前者都得有，而且還得有新東西。對於數學命題來說，這意味著得比原命題更強、更普遍，將原命題包含為自己的特例。那樣的命題如果成立，原命題就自動成立，但反過來則不然 (否則兩者就等價了，對不住「豪華版」這一光榮稱號)。

（圖片來自網絡）

「豪華版」黎曼猜想與上節介紹的「山寨版」黎曼猜想雖分屬不同類別，有一點卻是共同的，那就是都得從對黎曼 ζ 函數的變通入手，因為黎曼猜想所關注的無非就是黎曼 ζ 函數非平凡零點那些事兒，對它的各種變通，歸根到底也就是對黎曼 ζ 函數的變通。只不過「山寨版」黎曼猜想中的黎曼 ζ 函數只需與普通黎曼 ζ 函數有抽象的對應即可，而「豪華版」黎曼猜想中的黎曼 ζ 函數卻必須將後者包含為自己的特例，以保證猜想的「豪華」性。黎曼猜想的「豪華版」有不止一款，我們將著重介紹其中有代表性的兩款。

我們首先介紹一款較淺顯的，叫做廣義黎曼猜想 (generalized Riemann hypothesis)。當然，這裡所謂的「淺顯」，絕不是指容易證明 (掛有「黎曼猜想」這一招牌的東西哪會有容易證明的？)，而是指相對來說比較容易介紹。這一「豪華版」黎曼猜想所採用的變通後的黎曼 ζ 函數叫做狄利克雷 L 函數 (Dirichlet L-function)，它是一個級數的解析延拓，那個級數叫做狄利克雷 L 級數 (Dirichlet L-series)，通常記為 L(s, χk)，其定義是 (k、 n 為正整數)：

L(s, χk) = Σn χk(n) n-s (Re(s) > 1)

讀者們想必還記得，普通黎曼 ζ 函數也是一個級數，即 (n 為正整數)

ζ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)

的解析延拓。這個級數有一個不太常用的名稱，叫做 p 級數 (p-series)。這個名稱之所以不常用，是因為它一般只表示 s 為實數的情形，比上述黎曼 ζ 函數的級數表達式的定義域小得多。不過為行文便利起見，我們在本節中將用它來稱呼上述級數。

（狄利克雷。圖片來自網絡）

對比這兩個級數，不需要很厲害的眼力就可以看出兩者的相似性，以及狄利克雷 L 級數是 p 級數的推廣這一表觀特點——因為後者無非就是前者中各項係數 χk(n) 全都等於 1 的特例。不過，要想確認這一表觀特點，必須得知道 χk(n) 的定義，尤其是得知道 χk(n) 是否真的能全都等於 1，因為 χk(n) 並不是任意的係數，而是一組被稱為狄利克雷特徵 (狄利克雷 character) 的東西，它們能否全都等於 1 不是可以隨意假定的，而必須是由定義來決定。那麼， χk(n) 的定義是什麼呢？是由以下三個條件共同構成的 (k 為正整數， m、 n 為整數)：

1. 對一切 n， χk(n) = χk(n k)，

2. 對一切 m 和 n， χk(m)χk(n) = χk(mn)，

3. 對一切 n，若 k 和 n 互素，則 χk(n) ≠ 0，否則 χk(n) = 0。

由上述定義不難證明，對一切 n， χ1(n) = 1。因此 χk(n) 全都等於 1 的確是 χk(n) 的一組可能的取值 (即 k=1 的特殊情形)。這表明狄利克雷 L 級數確實是 p 級數的推廣。當然，這也意味著作為相應級數解析延拓的狄利克雷 L 函數是黎曼 ζ 函數的推廣。

與 p 級數在 Re(s)>1 的區域內可以寫成連乘積表達式 (即歐拉乘積公式) 相類似，狄利克雷 L 函數在 Re(s)>1 的區域內也可以寫成連乘積表達式：

L(s, χk) = Πp[1-χk(p)p-s]-1

其中右邊的連乘積針對所有的素數進行。與黎曼 ζ 函數及歐拉乘積公式包含了素數分布的信息相類似，狄利克雷 L 函數及上述連乘積表達式可以用來研究算術級數 (arithmetic progression) 中的素數分布。 1837 年，德國數學家約翰·狄利克雷 (1805-1859) 進行了那樣的研究，得到了所謂的狄利克雷算術級數定理 (Dirichlet 's theorem on arithmetic progressions)。他那項研究在數論歷史上有著重要地位，被視為是解析數論 (analytic number theory) 這一分支領域的開山之作。正是為了紀念狄利克雷的重大貢獻，人們以他的名字命名了狄利克雷 L 級數、狄利克雷 L 函數、以及狄利克雷特徵等術語。

（圖片來自網絡）

可以證明，狄利克雷 L 函數作為狄利克雷 L 級數的解析延拓，與黎曼 ζ 函數一樣，是複平面上的亞純函數。狄利克雷 L 函數與黎曼 ζ 函數的相似性是相當廣泛的，比如它也滿足類似於黎曼 ζ 函數所滿足的那種函數方程。此外，狄利克雷 L 函數的零點也有平凡與非平凡之分，非平凡零點也全都位於 0<Re(s) 1)

粗看起來，這個定義並不複雜，與普通黎曼 ζ 函數的 p 級數表達式相比，只不過是在左側的函數名稱上添了一個下標 K，把右側級數中的 n 換成 N(I)，再把對 n 的求和換成了對 I 的求和而已。不過，這種簡單性純粹是數學符號的簡潔性帶來的幌人耳目的表面現象。事實上，這裡的每一處看似細小的差別，即 K、 I 和 N(I) 的背後都大有文章。我們先把它們的名稱寫下來，讓大家感覺一下它們一個比一個遞進的陌生性。它們的名稱是什麼呢？

§ K 是數域；

§ I 是數域 K 的整數環的非零理想；

§ N(I) 是數域 K 的整數環的非零理想 I 的絕對範數。

如果你不是很熟悉代數學的話，上面這些名稱看了估計就跟沒看一樣——如果不是更犯暈的話。數學是一個高度抽象的領域，試圖了解一個陌生數學分支中的概念，有時就像初學英語者拿著英-英詞典 (English-English dictionary) 查找單詞一樣，往往在查找到的解釋之中又夾雜著新的陌生詞彙，大有發生「鏈式反應」 (chain reaction) 之勢。上面的努力就是一個例子，我們想知道什麼是戴德金 ζ 函數，於是查找到它的級數表達式，但在級數的定義中卻冒出了諸如「數域」 (number field)、「整數環」 (ring of integer)、「理想」 (ideal)、「絕對範數」 (absolute norm) 之類的陌生名稱。而為了解釋這些陌生名稱，天知道會不會遇到其它陌生名稱。但既然我們已決定要介紹「豪華版」的黎曼猜想，就只好硬著頭皮一個一個啃下去了。

（圖片來自網絡）

先說說「數域」這個概念。這是一個相對簡單的概念，對多數讀者來說，可能是上述諸名稱中唯一一個眼熟的概念，尤其是我們在第三十二節中還剛剛介紹過什麼是「域」。但簡單歸簡單，它卻也沒有簡單到可以望文生義成「數字組成的域」 (否則它跟「域」基本就是一回事了)。那麼，究竟什麼是數域呢？它是有理數域 (field of rational numbers) 的有限次代數擴張域 (finite algebraic extension field)。

果然，不解釋還好，一解釋「鏈式反應」就又來了：什麼是有理數域的「代數擴張域」？什麼又是「有限次」代數擴張域呢？所謂有理數域的代數擴張域，指的是那樣一個域，其中所有元素都是係數為有理數的代數方程的解。那樣的元素 (即數域中的「數」) 被稱為代數數 (algebraic number)，而數域本身則因此也被稱為代數數域 (algebraic number field)。數域的一個很簡單的例子是所有形如 a b√2 (a, b 為有理數) 的數構成的域 (請讀者自行證明這樣的數構成一個域，並且每個這樣的數都是一個係數為有理數的代數方程的解)。 a b√2 這一形式讓人聯想起向量空間 (vector space) 中用一組基 (basis) 表示向量的做法——其中 1 和 √2 扮演基的作用， a 和 b 則是任意向量在該組基下的分量。這種從向量空間角度看待代數擴張域的做法有一定的普適性，相應的向量空間的維數 (對 a b√2 這一例子來說是 2) 稱為代數擴張域的度數 (degree)。度數有限的代數擴張域就稱為有限次代數擴張域。這樣我們就解釋了什麼是有理數域的有限次代數擴張域，即數域了。

接下來說說數域的「整數環」這一概念。要說整數環，首先得說說「整數」，因為這裡所謂的整數並不僅僅是大家在小學課上學過的那些整數，而是所謂的代數整數 (algebraic integer)。我們上面說過，數域中的元素都是代數數，即係數為有理數的代數方程的解。如果那代數方程的係數不僅為有理數，而且是整數，並且首係數 (即冪次最高項的係數) 為 1，那麼它的解就是所謂的代數整數。粗看起來，這種數跟整數似乎沒什麼共同點，它們為什麼被稱為代數整數呢？原因有好幾條：

§ 首先，所有普通整數都是代數整數。

§ 其次，所有代數數都可以表示為代數整數的商，就如同所有有理數都可以表示為普通整數的商。

§ 最後，代數整數與普通整數一樣，對加法、減法和乘法封閉，但對除法不封閉 (即兩個代數整數的商未必仍是代數整數)。

可以證明，一個數域中的所有代數整數構成一種特殊的代數結構，叫做環 (ring)。環這一概念是戴德金提出的 (名稱則是希爾伯特引進的)，它是一種其定義比域更簡單的結構，相當於在域的定義中去除了乘法交換律，及每個非零元素存在乘法逆元素這兩個要求。由一個數域 K 中的所有代數整數構成的環就叫做該數域的整數環。作為一個例子，如果數域是有理數域，則可以證明代數整數正好就是普通整數 (事實上，對任意數域，一個代數整數如果是有理數，它就必定是一個普通整數)，而整數環則恰好就是全體整數的集合，即整數集。

（希爾伯特。圖片來自網絡）

說完了整數環，再說說整數環的「理想」。這「理想」當然絕不是中國大陸讀者們從小耳熟能詳的「無產階級革命理想」之類的東西，而是一個不折不扣的數學概念。這個概念也是戴德金提出的，是環的一種子集，是對德國數學家恩斯特·庫摩爾 (Ernst Kummer，1810-1893) 早些時候提出的一個叫做「理想數」 (ideal number) 的概念的推廣 (其名稱也由此而來)。

對於我們所討論的情形來說，理想是整數環的一個子集，對加法、減法和乘法封閉，包含零元素，並且它的任意元素與整數環的任意元素的乘積仍在該子集內。從某種意義上講，理想這個概念跟「0」這個概念有一定的相似性，因為 0 乘以任何數仍然是 0，與理想所滿足的「它的任意元素與整數環的任意元素的乘積仍在該子集內」相似。事實上，以 0 為唯一元素的子集確實是任何環的理想，稱為零理想 (zero ideal)，而理想這個概念與 0 之間的相似性，則可以用來對環中的元素進行約化，即通過把理想視為廣義的 0，把通常建立在兩個元素之差等於 0 基礎上的元素相等概念中的 0 換成理想，而對環中的元素進行分類 (大家很快就會看到一個例子)。

一個環的理想是不唯一的 (否則戴德金 ζ 函數的級數表達式中對理想 I 的求和就沒什麼意義了)，比如對於整數集 (即有理數域的整數環) 這一特例來說，所有形如 {... -2n, -n, 0, n, 2n, ...} (n 為非負整數) 的集合都是理想 (請讀者們依據理想的定義予以驗證)，這種集合通常被記為 nZ (Z 是表示整數集的符號)，整數集的所有理想都具有這種形式。

最後要介紹的是理想的「絕對範數」。我們剛才說過，從某種意義上講，理想這個概念跟「0」這個概念有一定的相似性。這一點，連同整數集的理想是 nZ (n 為非負整數) 這一結果，使我們聯想起第三十二節中介紹過的模算術，因為一個以 n 為模的模算術的基本特點就是 n 具有 0 的算術性質——比如在以 12 為模的模算術 (即刻度數目為 12 的高斯時鐘這一特例) 中， 12 具有 0 的算術性質。事實上，不僅 n，所有等於 n 整數倍的數，即形如 ... -2n, -n, 0, n, 2n, ... 的數 (也就是理想 nZ 中的所有元素)，在以 n 為模的模算術中都具有 0 的算術性質，而任意兩個其差等於這種數 (也就是屬於理想 nZ) 的數則被視為相等，這正是我們上面所說的用理想來對環中的元素進行約化的一個例子。

一般地講，用理想對一個環中的元素進行約化類似於模算術的推廣，即將兩個數的相等定義為其差屬於該理想。那麼什麼是一個理想的絕對範數呢？它就是用該理想對環中的元素進行約化後不同元素的數目。對於整數集的理想 nZ 這一特例來說，約化後的不同元素只有 n 個，即 0, 1, ..., n-1 (這也正是相應的高斯時鐘的刻度數目)，因此該理想的絕對範數是 n。

（圖片來自網絡）

這樣，我們就走馬觀花般地完成了對戴德金 ζ 函數的級數表達式的介紹。不僅如此，在介紹的過程中——不知讀者們有沒有意識到——我們其實已完成了對 K 為有理數域這一特例下戴德金 ζ 函數的計算！計算的結果是什麼呢？讓我們來挑明一下：

§ 首先，在介紹整數環時我們說過，有理數域 K 的整數環恰好就是整數集；

§ 其次，在介紹理想時我們說過，整數集的理想 I 全都是形如 nZ 的集合；

§ 最後，在介紹絕對範數時我們說過，理想 nZ 的絕對範數是 n。

把這些結果合併起來，我們可以看到，對於 K 為有理數域這一特例， Dedekind ζ 函數中對非零理想 I 的求和實際上是對正整數 n 的求和 (因為 n=0 所對應的是零理想，從而被排除)，而相應的絕對範數 N(I)=n，因此 Dedekind ζ 函數的級數表達式可以寫成 (其中數域 K 的符號被換成了有理數域的符號 Q)：

ζQ(s) = Σn n-s (Re(s) > 1)

這個表達式大家一定認出來了，它就是普通黎曼 ζ 函數的級數表達式 p 級數。因此， ζQ(s)=ζ(s)，這表明黎曼 ζ 函數是戴德金 ζ 函數的特例，而戴德金 ζ 函數與狄利克雷 L 函數一樣，是黎曼 ζ 函數的推廣。與後兩者一樣，戴德金 ζ 函數也可以寫成類似 Euler 乘積公式的連乘積表達式：

ζK(s) = ΠP[1-N(P)-s]-1

其中連乘積所針對的是所謂的「素理想」 (prime ideal)，通常表示為 P。這裡我們不幸再次遇到了「鏈式反應」，即「素理想」這一概念。什麼是素理想呢？對於我們所討論的情形來說，它是這樣一種理想，如果整數環中的兩個數的乘積在該理想之中，那麼兩個數中至少有一個數本身就在該理想中。對於有理數域的整數環——即整數集——來說，一個理想 nZ 為素理想若且唯若 n 為素數。顯然，在這種情況下，上述連乘積公式完全等同於歐拉乘積公式 (因為對素理想 P 的求積就是對素數 p 的求積)。

當然，以上介紹的還只是戴德金 ζ 函數在 Re(s)>1 上的級數表達式。不過與狄利克雷 L 函數一樣，它也可以被解析延拓為整個複平面上的亞純函數，而且也滿足類似於黎曼 ζ 函數所滿足的函數方程。這些結果是德國數學家 (又是德國數學家，本節幾乎從頭至尾都在介紹德國數學家的成果) 埃裡克·赫克(Erich Hecke,1887-1947) 所證明的。不僅如此，戴德金 ζ 函數的零點也同樣有平凡與非平凡之分，非平凡零點全都位於 0<Re(s)<1 的帶狀區域 (即臨界帶) 內。有了這些結果，擴展黎曼猜想的表述也就一目了然了，那就是：

（埃裡克·赫克。圖片來自網絡）

擴展黎曼猜想： Dedekind ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。

由於戴德金ζ 函數是黎曼 ζ 函數的推廣，因此擴展黎曼猜想也顯然是黎曼猜想的推廣，從而是「豪華版」的。

從上面的介紹中我們看到，廣義黎曼猜想與擴展黎曼猜想作為普通黎曼猜想的推廣，是建立在對黎曼 ζ 函數的兩種不同推廣之上的，前者是狄利克雷 L 函數，後者則是戴德金 ζ 函數。我們還看到，無論狄利克雷 L 函數還是戴德金 ζ 函數，都與普通黎曼 ζ 函數有著極大的相似性。這種令人矚目的相似性也許會啟示讀者問這樣一個問題，那就是這些彼此相似的函數是否可以被統一起來，納入一個更宏大的框架中，成為一類更廣泛的函數的特例呢？這是一個好問題，它的答案是肯定的。事實上，狄利克雷 L 函數與戴德金 ζ 函數都是一類被稱為自守 L 函數 (automorphic L-function) 的涵蓋面更廣泛的函數的特例。

大家也許還會進一步問：自守 L 函數是否也有相應的「豪華版」黎曼猜想呢？這也是一個好問題，它的答案也是肯定的。這種涵蓋面更廣泛的函數也有一個「豪華版」的黎曼猜想，堪稱是「史上最豪華」的黎曼猜想，它的名字很氣派，叫做「大黎曼猜想」 (grand Riemann hypothesis)。不過，自守 L 函數這一概念所牽涉的「鏈式反應」十分劇烈，而建立在這一概念之上的大黎曼猜想的應用卻極少 (這種應用的多寡主要體現在有多少數學命題以假定其成立為前提)，我們就不詳加介紹了。在這裡，我們只把大黎曼猜想的內容敘述一下 (其實不敘述大家應該也已不難猜到)，那就是：

大黎曼猜想：自守 L 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。

當然，這裡的「非平凡零點」仍是指位於 0<Re(s)<1 (即臨界帶) 內的零點。大黎曼猜想包含了普通黎曼猜想、廣義黎曼猜想、擴展黎曼猜想、以及若干有名字或沒名字的其它「豪華版」黎曼猜想為其特例，它若能被證明，則黎曼猜想這一研究領域幾乎就被一鍋端了。不過從目前的情況來看，我們距離這一天還差得很遠。事實上，別說是大黎曼猜想，有關自守 L 函數的許多簡單得多的性質，比如它的解析延拓及函數方程等，也都還是未被普遍證明的東西。