圓上某一點到切線的最短距離（圓上任意一點到圓外某直線的距離最值公式加快解題速度）

2023-09-18 04:10:29 1

定理31：圓上任意一點到圓外直線l的距離，最大為d r，最小為,d-r，d為圓心到直線的距離，r為半徑

通過這一簡單的結論，在一些習題中遇到有關的題目，可以為我們提供解題的關鍵思路；只需要背下這個公式，即可做到秒殺該類型的題目，大大縮短了做題時間。

我們先證明一下這個公式：

證明圓上的任意一點到圓外直線l的距離，最大為d r

畫一圖，過圓心O作一直線垂直於右邊的圓外直線l，交圓於Po和N點，垂足為M2，可知Po到直線l的距離為d r（d為圓心O到直線l距離即OM2長）

再任取圓上一點P（除Po外）做直線l的垂線垂足為M1，P到直線l距離為PM1長

連接PPo和PN，構成圓內直角三角形，可∠PoPN為直角，∠PoPM1為鈍角；

過P做PoM2的垂線垂足為M，（由於∠PPoM2為銳角所以點M在線段PM2上）可知PMM2M1為矩形，PM1=MM2MM2=PoM2

即PoM2=d-r為圓上任意一點到圓外直線l的距離最小值

接下來，我們用一道例題來展示一下這個公式的簡便性與實用性。

（2013春•金安區校級月考）

【直接記住結論解題】

首先運用數學三招的第一招翻譯，

再利用直線的斜截式方程得出切線的方程是y 1＝﹣（x 1），

化簡得切線的方程是x y 2＝0

最後通過我們的盯住目標，目標是求圓上任意一點到直線l距離的最小值，立馬聯想到我們的定理31：圓上的任意一點到圓外直線l的距離，最小為d-r

但我們要先判斷直線是否在圓外，我們需要算一下圓心（3，2）到直線l的距離

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