對應三種空間形狀的三種幾何
2023-04-01 02:26:32 1
我們能看到的空的範圍似乎向四面八方延伸，這讓人不禁要問:宇宙的形狀是什麼？
目前，有三個關於宇宙形狀的主要假設:
宇宙是平的，像紙一樣。宇宙的曲率是正的，就像一個球體。宇宙的曲率是負的，就像一個馬鞍。
因此，為了探索宇宙的形狀，我們必須了解這三種不同的幾何形狀。
平面幾何
關於平面幾何的故事，我們需要回到很久以前，那時歐幾裡德第一次闡明了我們生活的世界的幾何原理。他在《幾何原本》一書中提出了五個幾何假設:
任何兩點都可以通過直線連接；任何線段都可以延伸成一條直線；任何線段都可以有一個端點作為圓心，線段作為圓的半徑。所有直角都是相等的。如果一條直線與兩條直線相交，使得同一側的兩個角度之和小於兩個直角，那麼兩條直線如果無限延伸，肯定會相交。
在19世紀，勒讓德證明了第五公設等同於「三角形內角之和等於兩個直角。」這個假設的幾何也被稱為「歐幾裡德幾何」或「平面幾何」。在這個幾何圖形中，兩條平行線從不相交，三角形內角的總和總是180度。對應於這個幾何圖形的是一個曲率為0的平面宇宙。
與前四項公共條款相比，第五項公共條款更為複雜。歐幾裡德自己也隱約覺得第五公設不如其他公設完美。直到19世紀，數學家們才最終發現了一個幾何學的例子，使得第五公設站不住腳，證明了這個公設確實是不完美的，這個公設被認為是正確的，已經有2000多年了。
這一發現也直接導致了非歐幾裡德幾何的誕生。然而，這一發現也意外地帶來了廣義相對論的誕生，並徹底顛覆了我們的世界觀。在非歐幾裡得幾何空中，無論宇宙是正彎曲還是負彎曲，事物開始變得奇怪。
球體幾何
當宇宙的曲率為正時，兩條平行曲線將向一個點傾斜，對應於歐幾裡德第五公設失敗的球面幾何。
在這個幾何圖形中，平面幾何圖形中的「直線」變成了一個大圓，也就是說，通過球體中心的平面與球體相交形成的圓。球體上三角形內角的總和不再等於180度，而是略大於180度。
也許對於球體上那些非常小的三角形，我們很難察覺到這一點。這是因為從一個非常小的三角形來看，球體幾乎是平的。這也是為什麼我們花了這麼長時間才從平面幾何思維轉變為球面幾何，因為我們生活在像地球這樣的球面上。顯然，當討論球體上的一個大三角形時，人們可以清楚地看到它的內角大於180度。
雙曲線幾何
當宇宙的曲率為負時，這意味著兩條平行的直線將總是發散，對應於雙曲幾何。在雙曲幾何中，歐幾裡德第五公設失敗了，因為它類似於球面幾何，但完全相反，但前四個公設在雙曲幾何中仍然有效。
與球面幾何相比，雙曲幾何更難可視化。與球形幾何的向內閉合不同，雙曲線幾何向外打開。一種可以用來顯示雙曲幾何的方法叫做龐加萊半平面模型。這個模型和「真實」雙曲線空之間的關係有點類似於平面地圖和球形世界之間的關係。例如，如果你直接從北京飛往倫敦，在平面地圖上畫的路線不是直線，而是曲線。
在歐幾裡德幾何中，圓的周長與其半徑成正比。然而，在雙曲幾何中，圓的周長與半徑成指數關係。如果你放大雙曲線圓盤的邊界，你會看到大量的三角形堆積在那裡。在雙曲幾何中，三角形的內角小於180度。以龐加萊圓盤中的三角形為例，它的內角之和是165度。
宇宙的形狀
理解不同幾何的本質對於思考宇宙的大尺度形狀至關重要。為了理解宇宙的形狀，研究人員需要測量宇宙中物質的密度。因為根據愛因斯坦的廣義相對論，空本身可以被質量彎曲。因此，通過比較宇宙的臨界密度和實際密度，計算宇宙的曲率空之間，從而推斷宇宙是「開放的」、「封閉的」還是「平坦的」。
如果宇宙的實際密度大於臨界密度，它包含的質量足以最終阻止膨脹，那麼這就是一個球形的封閉宇宙。如果宇宙的實際密度小於臨界密度，這意味著宇宙中沒有足夠的物質來阻止宇宙的膨脹，宇宙將永遠膨脹下去。這就是所謂的開放宇宙，它的形狀會像馬鞍的表面一樣彎曲。但是如果宇宙僅僅包含足夠的質量來阻止膨脹，它的實際密度將等於臨界密度，在這種情況下，宇宙被認為是平的。
這些問題的答案「銘刻」在天空空中，隱藏在從四面八方向我們襲來的宇宙微波背景輻射中。根據當前的CMB證據，平面幾何最有可能是正確的:研究人員測量到宇宙的曲率是0，這意味著哈勃體積基本上是平滑和均勻的，也就是說，在空之間的局部結構在每個點和每個方向看起來都是相同的。
例如，雖然在更大的尺度上，宇宙可能仍然是彎曲的，但它超出了我們的感知範圍。就像站在一個大平臺上，我們可能認為地球是平的。我們現在知道的是，可觀測的宇宙幾乎是平的。
研究宇宙的形狀實際上為研究宇宙的起源提供了線索。這也是我們推測宇宙最終命運的關鍵信息。它與宇宙中物質的形狀和密度以及暗能量的強度密切相關，暗能量的強度最終將決定宇宙是會在大擠壓中收縮回來，還是會在高溫和孤獨中消散和死亡。
參考來源:
http://www . quantamagazine . org/what-shape-is-the-universe-closed-or-flat-20191104/
https://www.nature.com/articles/425566a
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https://plus . mathematic . org/content/mathematic-奧秘-奇怪-幾何
http://www . quantamagazine . org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316/
