數學家講述數學的魅力（以科普為鏡明數學之趣）

2023-04-15 02:17:36

作者 | 侯曉婷、李春蘭

來源 | 本文轉載自《和樂數學》，原載於《科普創作》2020年第2期。

數學家劉薰宇畢生致力於我國的教育事業，於1934年出版的《數學趣味》可謂是數學科普經典著作之一。該著作由11篇文章集結而成，其顯著的特點有：第一，題材來自生活或歷史經典問題，破除人們對數學的錯誤認識；第二，問題的講解善於用通俗的語言及「搭橋鋪路」的方法，引領讀者進入數學王國；第三，在無形中流露出思考問題的方法，潛移默化地引導讀者進行思考；第四，數學思想方法的滲透與德育思想並駕齊驅，體現全人教育。

近年來，數學科普讀物受到了人們廣泛的關注，人們希望讀到高水平、通俗易懂的科普作品, 這就要求科普作家要有深厚的科學素養和化繁為簡、深入淺出的表達功底。[1]我國現代數學家、數學教育家和出版家劉薰宇的科普論著可謂是典型代表。劉薰宇的《數學趣味》《馬先生談算學》《數學的園地》《因數與因式》等科普著作不僅對中國科學院院士楊振寧，數學家谷超豪、徐利治、齊民友等有深刻的影響，就連著名畫家豐子愷這樣沒怎麼接觸過數學的文人都對劉薰宇的文章贊善有加。[2]本文以《數學趣味》為例，在概述其主要內容的基礎上，闡述其特點，研究其在處理數學材料及思考數學問題方面獨到的見解，以期對我國當代中學生、數學教育工作者、數學科普讀物的撰寫者有所助益。

劉薰宇，貴州貴陽人，又名心如，中國民主同盟成員，中國共產黨黨員。1919年畢業於北京高等師範學校數理系，1928—1930年留學法國巴黎大學，受過法國數學教育的薰陶。曾任教（職）於河南省立第一師範學校、湖南常德第二師範學校、浙江上虞春暉中學、上海大學附屬中學、上海立達學園、暨南大學、大夏大學、同濟大學、國立西南聯合大學等。抗日戰爭時期任貴陽高中校長。貴州解放後，貴陽高中與貴陽中學、中山中學、貴陽師範學院附屬中學等合併為貴陽第一中學，劉薰宇為第一任校長。其還擔任過開明書店編輯，負責數理教材的編輯工作。與他人一起創辦了《中學生》《新少年》等青少年期刊。1950年調入人民教育出版社擔任副總編輯，負責全國中學數理科統編教材工作，審定了當時我國全部中小學使用的數學教材，並親自參加編寫。

劉薰宇畢生論著頗豐，以小品文、科普著作、數學教科書著稱。發表在《春暉》《一般》《教育雜誌》和《中學生》等雜誌上的文章有100多篇。他的論著用通俗的語言揭示深刻的道理，深得讀者喜愛。其科普著作和數學教科書主要在開明書店和人民教育出版社出版。

劉薰宇為我國數學教科書的編寫傾注了大量心血。民國時期，他與章克標、仲光然、周為群等合編的初級中學用的《開明算學教本》（7冊）成為當時全國最完善的數學教科書，持續暢銷，與《開明活頁文選》《開明英文讀本》並稱為「開明三大教本」，成了開明書店後來的「吃飯書」之一。劉薰宇在開明書店出版的數學教科書，也是中華人民共和國成立後我國中小學數學教科書內容的主要來源。中華人民共和國成立之初，教育部規定全國使用統一教材，中學數學教科書由劉薰宇等編寫，劉薰宇編寫（校訂）了全國通用的第一套和第二套中學數學教科書，在1951—1953年編寫出版了算術、代數、平面幾何、立體幾何和解析幾何等方面的教材。在短短的三年時間內，編寫出版了近20種中學數學教科書供全國中小學使用。

劉薰宇的數學科普著作更是令人喜聞樂見。他身為人師，在中學執教期間開始進行數學科普的研究。陸續出版了《數學趣味》《馬先生談算學》《數學的園地》《因數與因式》《實用微積分》等數學科普著作，這些著作不僅影響了那個時代的人，對當今讀者來說也是不容錯過的數學科普經典。可喜的是，2019年10月，團結出版社將《數學趣味》《馬先生談算學》《數學的園地》改編出版，命名為「給孩子的數學三書——原來數學可以這樣學」，使當今的讀者閱讀體味到「數學可以這樣有意思地去學」，以糾讀者固有的「數學是一門枯燥乏味的學科」的認識。

劉薰宇為我國文化教育事業鞠躬盡瘁，於1967年辭世。在臨終前也沒忘記自己是一位教科書的編著者。

劉薰宇先生逝世的前一兩年，正值「文化大革命」初期，他一邊在挨批判，一邊卻在病榻上撰寫了他最後一本數論著作《因式分解》。[3]

劉薰宇是一位有強烈愛國情感的人。一次醉倒被抬回家，事後經了解緣由，才知當日在龍崗飲酒，「劉薰宇大罵蔣介石不打日本人，卻大殺新四軍( 即皖南事變)，狂憤極了，痛飲發患」[4]。

（一） 內容來源

《數學趣味》初版於1934年9月出版，再版多次，該書是由11篇已發表在《中學生》《一般》《春暉》三種雜誌中的論文集結而成的單行本。表1中1、4、5、6、11五篇文章也被收錄在李斌主編的《三下五除二》（天地出版社，2012年6月）中。

（二）出版原因

《數學趣味》所選的文章主要集中在《中學生》「數學講話」欄目中，但這個欄目並非每期定期出現，這也是之後會集結出單行本《數學趣味》的客觀原因之一。在《中學生》雜誌及劉薰宇編寫的《開明算術講義》（1948年）的書後都印有「開明青年叢書」廣告，其中包括《數學趣味》的簡介：「《數學趣味》是劉先生數學講話的總結集。《數學趣味》中所收的是從日常生活中隨處拾來的數學文章。」另外，對於出單行本，劉薰宇在該書的「致讀者」中提道：「從發表過四五篇後，書店和我便常常接到一些愛讀青年的信，一是要我多寫一些，一是要我將他們集結起來出單行本。」[5]

《數學趣味》雖然是由已發表的文章集結而成的單行本，且每篇文章之間沒有什麼銜接關係，但這些文章有兩個共同的特徵：第一，打破了人們對數學的誤解，即認為數學是枯燥、繁難、令人頭疼、不實用的科學，從而對數學望而卻步；第二，提供了處理材料和思考問題的方法。數學學習並不是死記書本上的法則、公式、定理然後做練習題等。

劉薰宇強調數學學習應該結合生活中的實際問題，生活中鮮活的實際問題要比書本中豐富，掌握學習方法要比掌握知識更重要。

依據劉薰宇如何引出數學問題或關於數學的認識，可將該書的文章分為四類：歷史名題（2篇）、趣味故事（3篇）、數學遊戲（4篇）、數學的認識（2篇）。下面依此分類給出簡單的介紹，從中感受數學的趣味性。

（一）歷史名題為引

《從數學問題說到我們的思想》和《韓信點兵》分別以《孫子算經》中的「雞兔同籠」和「韓信點兵」問題為引，帶領讀者走進數學世界。

1.《從數學問題說到我們的思想》

該文通過對報刊中刊登的對「雞兔同籠」問題的一個巧妙解法與教科書中的解法比較，揭示數學抽象（一般性）在數學中的重要性。

報刊中給出的「雞兔同籠」問題的巧妙解法為：

一共十二個頭，三十隻腳，……究竟有幾個雞，幾個兔。那書上的算法很簡便，將一共的腳的數目三十折半，得十五，從這十五減去一共的頭的數目十二，剩的是三，這就是那籠子裡面的兔的個數；……剩下的九便是要求的雞的數目。[5]40

教科書中解法為：

頭數一十二用二去乘，得二十四。從三十頭減去他，得六。因為兔是四隻腳，雞是兩隻，所以，每隻兔比每隻雞多出來的腳的數目是四減去二，也就是二。用這二去除上面所得的六，恰好商三，這就是兔的只數。有了兔的只數，要求雞的，用總頭數減去兔子的只數就能得到。[5]41

報刊中的解法並未編排在教科書中，劉薰宇在此給出了原因，並舉了「百僧吃白饅頭」和「方桌與桌角」等問題，這些問題只能用教科書中的解法來解答，從而讓讀者感知教科書中的較繁複、較一般性解法的重要性。

為了闡述數學抽象（一般性）的重要性，他又列舉了關於勾股定理的不同描述所帶來的不同發展，即中國古代《周髀算經》中的「勾三股四弦五」和古希臘的「直角三角形的斜邊平方等於它兩邊的平方的和」。兩種描述看似本質相同，但所含的一般性卻不同。「勾三股四弦五」形式的定理很難確定鈍角三角形或銳角三角形的三邊存在怎樣的三個簡單數字關係。而「直角三角形的斜邊平方等於它兩邊的平方的和」，在幾何和數論方面都有發展：幾何中推廣到「鈍角三角形」「銳角三角形」三邊關係的定理；在數論中發展到「費馬大定理」。

根據劉薰宇用大量事實的闡述，讀者可以感知到「一般性方法」的獲得或對這樣方法追求的可貴，它適用的是一類問題，而不是一個問題。他強調人們要耐心地去搜尋材料，要靜下心去發現它們普遍的法則，依據的事實越多，去掉的特殊性就越多，共通性就越普遍，即可抽象出一般性法則。追求一般性法則是大勢所趨，越是應用廣泛的法則，越是受人崇拜。

文章中還表述了他自己在初學「雞兔同籠」時對數學抽象的困惑：

總是不明白為什麼可以用腳的個數除以腳的個數，其實不過是紙上談兵，並不真的將一雙腳去怎樣弄別的雙腳，所以變成整個的兔或雞都沒什麼關係；正和上面所說將兔子或雞劈成兩半一樣，並非真用刀去劈，不過心裡想想而已，所以劈了過後還活得轉來，一點不傷於畜道。[5]42

其實，劉薰宇關於劈「半個雞」的思路就是從「數學化」的角度看問題，將「雞兔同籠」不只是看作一個問題，而是一類問題；不只是一個具體問題，而是一個抽象的數學模型。所以，「雞兔同籠」問題也不限於指真實的雞和兔同籠, 自然就不會受限於是不是「半個」了。這種觀點應該也為不少讀者揭開了心中的迷霧。

2.《韓信點兵》

「韓信點兵」其實是一種算法，最早見於《孫子算經》，中國古代可謂「婦孺皆知」。文章通過簡要介紹「韓信點兵」問題的發展史及解法，表達了兩種觀點：第一，要多角度思考數學問題，如中外對於「韓信點兵」算法原理不同的解答；第二，「求一術通解」在此類問題中的應用及在中國數學史上的地位，積極發揚傳統算法。

劉薰宇在文中引出：「今有物不知數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」原書跟著題目就有下面一段「答曰二十三。」[5]205這個問題看似難算，但劉薰宇告訴讀者，我國古時候流傳著一種算法，名字很多，宋代周密稱其為「鬼谷算」「隔牆算」，楊輝稱其為「剪管術」，而「韓信點兵」這個名字流傳最廣。然後，他問讀者這個算法採用了何種原理，來引發讀者思考。

劉薰宇通過運用倍數定理、清代黃中憲「求一術通解」的知識將這類問題的解答總結為四步：求衍術、求乘率、求用數、求本數。並對楊輝「剪管術」的同類題「七數剩一，八數剩二，九數剩三，問本數幾何？」進行了求解。同時，他也用通俗的語言解說了該算法原理中每一步的正確性，例如：「我們先記起算術裡面關於倍數的兩個定理：①某數的倍數還是某數的倍數——這正如我的哥哥的哥哥還是我的哥哥一般。②某數的若干倍數的和，還是某數的倍數——這正如我的幾個哥哥坐在一淘①，他們仍然是我的哥哥一般。」[5]205

劉薰宇將抽象的問題與容易理解的生活常識結合起來，讀者不僅對這個問題有了清晰的認識，學到了多角度思考數學問題方法，而且從中感受到了數學問題是容易理解的。他指出韓信的點兵其實並不限於三三、五五、七七的數。另外，國外對該問題也有不同的解法，即「聯立方程式」。這種解法與中國傳統的方法相比並不能說哪種方法更好，因為數學問題的解答有時候也要關注他人的解法。並強調「求一術通解」這樣的方法在中國數學史上具有重要意義，我們要積極發揚。

（二）趣味故事為引

《王老頭子的湯糰》《數的啟示》和《假使我們有十二個手指》均是以趣味故事為引，讀者可以在故事情境中不知不覺走進數學世界。

1.《王老頭子的湯糰》

該文是由紀念一位賣湯糰的老人引發的對「積彈法」公式的證明。賣湯糰的老人每天賣一盤方方正正、尖峭峭的湯糰，正是數學中金字塔的形狀。故將金字塔拓展為四類堆積方法，如圖3至圖6所示。圖3各層都是正三角形，圖4各層都是正方形，圖5各層都是矩形，且這三類頂都是「尖」的，圖6各層都為矩形的頂是「平」的。用數學術語表達即為，第一個是正三角錐；第二個是正方錐；第三個側面是等腰三角形，正面是等腰梯形；第四個側面和正面都是等腰梯形。這類題目國內外都有解法，國外叫積彈、擬形數或擬形級數，國內叫垛積。

劉薰宇通過簡要介紹運用「積彈法」公式求解金字塔問題即湯糰的個數後，側重講解如何用歸納法證明四種堆積情況所用的不同的「積彈法」公式，以及怎樣證明歸納法中第一步所要假定的公式。文中對歸納法第一步所要假定的公式的證明中用到了法國大數家巴士卡爾的「差級數」。

劉薰宇指出，根據已有的積彈法計算公式，計算總數確實很簡單，但若不知道這些公式怎麼辦，他給出了求這些公式的方法——數學歸納法。該方法並非在文章開始進行論述，而是順著讀者的思路，拋出疑問，引領讀者一步步求解，最後得到答案，令人印象深刻。

2.《數的啟示》

該文是劉薰宇避開城市的喧囂回到鄉下老家居住時，回憶起童年時期與妹妹倚靠著母親數數的故事，有感而發。由數的本身、數的變化的多樣性引發關於人生的哲思。劉薰宇憶起童年時從未能數到100的恐懼到對1000是10個100的認識的興奮；從祖父教他「三字經」「一而十，十而百，百而千，千而萬……」使其數不清數而頭昏，到上了小學學習了加減乘除後將人不能把數完全數清的恐懼深埋掉。

通過對孩童時期的回憶，他意識到人頭腦中的數不過在10位左右，超過這個數，在人的感知裡是和無限大沒什麼差別的。有些數我們可以用各種方法研究它，但它的面目我們卻看不清，這令人感到特別奇特。例如，1906年，M.莫爾黑德（M. Morehead）發現不是質數， 可以被整除。究竟是一個什麼樣的數？原則上，利用乘法運算法肯定可以寫出這個具體的數。但實際上，人們是做不到的，因為這個數字的位數該有位，要比的位數還要多。假定對個寬1毫米的數排列，這個數排起來就有千米長，繞地球赤道會有圈；要把這個真實的數字寫出來，假定一秒鐘寫一個數字，每天寫10個小時，一年360天不間斷地寫，需要年，將此數分段由全世界個人同時來寫，也需要13萬年才能寫完。如此大的數，多麼令人驚異啊！

除了數本身令人驚異，劉薰宇指出數的變化同樣令人吃驚。這類的例子很多，13萬年也寫不完的。他舉了一個自己上學時同學們因吃飯選座位引發爭執，當時由這個爭執提出一個問題供大家討論：「八個人圍了一張八仙桌，調換著次序坐，究竟有多少法呢？」[5]大家各抒己見，但沒有敢說到100次以上的。可最後經過計算發現竟然是40320種。8人在該校4年，假定一年365天（考慮四年一閏）每天8人都在一起圍著八仙桌吃三餐，也只坐了其中的4383種，不及40320的1/9。

劉薰宇對此嘆言，相對於數本身及數的變化而言，我們是何等渺小和微弱！人們在爭、在選擇，究竟在爭選什麼呢？人們常常把「人是理性動物」掛在嘴邊，這個理性真的是數學上的理性嗎？8人圍坐八仙桌吃飯的例子已說明此理性非彼理性。劉薰宇感嘆道：「數是這樣啟示我，要支離破碎地去追逐它，對它是無法理解的，真要理解，另有一條路。在我們的生活上，好像也正有這樣的明朗的星光照耀著！」[5]

3.《假使我們有十二個手指》

該文是以「馬浪蕩改行」的故事為引，引發關於進位豐富而又奇特的思考。

文中劉薰宇回憶道：上海曾風行過一種書報，這書報上每期刊載一頁「馬浪蕩改行」。馬浪蕩是一個浪蕩子，幹過很多行當，但每個行當均以失敗告終。有一次這人當了拍賣行的夥計，他接待了一位每隻手都有六根手指頭的買客，伸手表示他為某件東西出十元錢，可馬浪蕩見著十二根手指頭，便以為他說的是十二元，高高興興地賣了，並記下帳來。到收錢的時候，那人只出十元，馬浪蕩的老闆照帳硬要十二元，爭執得不可開交。最後，馬浪蕩賠了兩元了事，他又一次失敗了。

藉此故事，劉薰宇不僅給出了二進位、三進位、十進位、十二進位、二十進位間轉化的例子，而且擴展到任一進位間轉化的一般性公式。劉薰宇帶著讀者走進了十二進位的數學世界，首先介紹了十二進位運算法則的不同，包括乘法運算中的「乘法口訣表」的不同，還給出了類似十進位「九九乘法表」的新乘法口訣表，起名為「依依乘法表」，還講解了「四則問題中數字計算的問題」及「整數的性質中倍數的性質」等問題。

（三）數學遊戲為引

《恨點不到頭》《堆羅漢》《八仙過海》和《棕欖謎》以遊戲為切入點，進而揭示遊戲背後使人取勝的數學原理。讀者從中可以感受數學的魅力，激發對數學的興趣。

1.《恨點不到頭》

該文以「擲狀元紅」遊戲為例，並運用類比推理、由特殊到一般及化歸的思想方法，揭秘「擲狀元紅」遊戲的奧秘，並警示人們在日常生活中不要被眼前的事實欺騙，而將真實掩蓋。也要注意「觀察和實驗」的重要性，不要只靠現成的理論演繹。

「擲狀元紅」遊戲規則：六顆骰子擲到碗裡，只要出現一個紅（指四），就得一個秀才籤，兩個紅可以得一個舉人，以此類推。有幾個特殊的：若出現五顆六和一顆五，這就叫「恨點不到頭」，可得一個狀元籤；若是「六顆骰子均為六」叫「全色」，比「恨點不到頭」贏得多；若出現「五顆紅一顆五」叫「火燒梅花」，可以拿走別人已經獲得的狀元籤。所以六比「恨點不到頭」好，紅又比六好。誰都希望紅多，希望全六，但它們很難出現。

針對遊戲中出現上述情形比較困難的情況，劉薰宇給出了原因解說——或然率（概率）的問題，通過計算，按照從特殊到一般的順序逐層深入地詳細解說「恨點不到頭」遊戲中每顆骰子出現任一數字的或然率是均等的，出現一顆紅的或然率是，並不比出現其他難；出現五顆六，或五顆紅的或然率也和出現其他的數字一樣均為；而全六或全紅的或然率極低，只有。從計算結果可以知道全色比五出現的概率小，所以遊戲中出現很難是很合理的。

至於人們認為這個客觀結論與主觀經驗似乎不大一致，劉薰宇解說道：那是因為我們將注意力集中到紅色，所以就覺得紅色的出現分外困難。倘若耐下心把遊戲過程中各個數出現的數目記下來，再進行統計，就會發現，這個經驗一定和平常得到的相去懸殊，而和計算的結果相近。對此，他警示道：我們在生活中不知不覺已養成容易動感情和不能排除偏見的習慣，若將這種習慣帶入到科學的領域是會失敗的。並又以和看神醫為例，說明偏見和感情好比一副有色眼鏡，使人無法看清楚外面的世界。踏進科學領域的第一步就是觀察和實驗。雖然這並不容易，畢竟觀察和實驗只在很窄的範圍內可行，但只要堅持去做，是比原理演繹得到的結果更有意義的，因為原理很有可能是一副「有色眼鏡」。

2.《八仙過海》

該文運用類比推理及由特殊到一般的思想方法破解「八仙過海」遊戲的奧秘——排列法中的一種形式，並將中國的傳統文化搬進了教科書，打破了當時教科書中全部引用外國教科書內容的局面。

「八仙過海」遊戲即一個人將八枚錢分上下兩排排在桌子上，叫另一個人記準其中一枚後將錢收起，重新排，仍是上下兩排，又叫這個人看定前次記準的那枚錢在哪一排後再將錢收起，再重新排成兩排，這回再叫這個人看，並且說出自己記準的那枚錢在這三次排法中的上下，比如說「上下下」，則會猜出這個人所記準的那枚錢是下一排的第二個。

劉薰宇採用由特殊到一般的方法解說了能猜中的原因，揭示其中所蘊含的數學原理——順列法（排列），並給出了「八仙過海」科學玩法的5個條件：①八枚錢；②分上下兩排擺；③前後共排三次；④收錢的順序是照直行由上而下，從第一行起；⑤擺錢的順序是照著橫排由左向右從下一排起。①隨②③變，④是可以調換順序的，也就是我們可以由下向上收，或從末一行起，⑤可以從右向左第一排起，不過這樣一來，形式會有一些變化。

當然，劉薰宇也指出了對於這個遊戲並不限於八枚錢、兩排、三列，依據「八仙過海」遊戲的原理，你想分排幾次，用（是錢數，是次數，是排數）心上一算就知道了。並通過舉例，由淺入深，詳細講解了順列法的兩個法則。

對此原理，劉薰宇風趣言道：即使是請幾位神仙下凡，而你依照前面所說過的條件④⑤那樣去操作，神仙有再高明的道法也無濟於事，因為孫悟空的筋鬥雲是逃脫不了如來佛那可伸縮的手心的。

3.《堆羅漢》

該文是以讀者熟悉的「堆羅漢」遊戲為引，運用數形結合及特殊到一般的思想方法，得出等差數列前n 項及其每項的平方和與立方和的公式：

①

②

③

並用數學歸納法進行了證明。同時，他也將數學歸納法與一般歸納法進行了比較，釐清了二者的區別，指出前者是後者的特例而已。

將「堆羅漢」遊戲中的每個人抽象成邊長為1的正方形，從最下面一排往上數，每排依次減少一個正方形，直到最頂上只有一個正方形。劉薰宇交代道，像這類依序相差同樣的數的一列數，數學中稱為等差數列。文章以其為模型，先分別求出公式①的前7項和，並輔以圖形驗證，接著分別求出公式②和③的前4項和，進而猜出並證明了這三個數列的前n項和公式。

劉薰宇也指出數學上常用的是演繹法，教科書中給出這類級數公式算術上的證明方法也是演繹法求出來的。他認為，一般情況下，演繹法不如歸納法可靠、穩妥，因為演繹法的基礎是建立在一些普遍法則上的，如果這些法則當中有一個或幾個出了問題，那整個問題就全盤動搖了。其實，在人們認識和改造世界的過程中，歸納法和演繹法是兩種基本的邏輯思維方法，二者是辯證統一的：歸納推理要以演繹推理為指導，否則就會失去目標；演繹推理要以歸納的結論為根據，否則就會失去前提。我們在學習過程中要正確看待這兩種方法，既不片面誇大，也不刻意否定。

劉薰宇也總結了自己證明這三個公式的步驟，並將其歸納為四個步驟。另外，他也強調，我們必須承認「科學只能診斷事實，不能否定事實」，並以中西醫為例來闡述這一觀點，指出科學精神最根本的是不武斷、不盲從，科學的態度是要虛心地使用科學的方法。

4.《棕欖謎》

該文以上海棕欖公司廣告中的遊戲抽獎廣告為引，將排列組合知識應用到抽獎遊戲中，並證實了這樣的抽獎是「騙局」。其中的抽獎遊戲規則為：如圖7中的56張牌是對雀牌牌面的替換，如「棕欖香皂」四字代替「東西南北」；「珂路搿」三字代替「中發白」；棕欖香皂、系帶牌牙膏及棕欖香珠之三種圓形則代替「筒索萬」。按照雀牌規則，由該公司總經理從圖7所示的56張牌中揀出14張，排定成和牌一副（方式正如填滿圖中的空位處），送至上海銀行封存租定第三四零一號保險柜中，至開獎時請公證人啟視以昭鄭重。參加遊戲者亦在56張雀牌中揀出14張排成一副。如與公司總經理排定和牌完全相同，則贈送新式無線電收音機一臺。

劉薰宇將此廣告抽象為排列組合問題。因為該問題比較複雜，不僅需要在56張中選出14張，而且所選的牌必須滿足「和牌」的要求，故他先計算從56張中任意選出14張牌所需排列的次數，再將和牌按照字的不同和花色的不同分類，接著又根據和牌成立的要求，分成四字組、三字組、二字組和一字組，再將可能出現的情況討論後，得出和牌有176230種可能。由此可見，按照規定，排出與該公司排定和牌完全相同的希望十分渺茫，所以，此抽獎可謂「騙局」。

文章中實例不勝枚舉，如「從若干件東西中揀取多少件的方法，應當怎樣計算呢？比如你約了九個朋友，一共十個人組成一個數學研究會，要推兩個人做幹事，這有多少種方法呢？」讀者不僅從中學習了「排列組合」的知識，而且可用其解決生活中的諸多問題。

（四）數學的認識

《數學是什麼》和《數學所能給與人們的》是關於數學認識的闡述，希望將數學變得普及化和哲理化。

1.《數學是什麼》

該文首先闡述了不同人給數學下的不同定義，探討數學究竟是什麼。例如，羅素認為：「數學是我們永遠不知道我們在說什麼，或我們說的是否是真實的學科。」古希臘的亞里斯多德認為：「數學是計量的科學。」

關於數學的定義有很多，而劉薰宇認為「數學是使用符號來研究『關係』的科學」，又可以說是「符號的遊戲」。因為「整數到分數，正數到負數，乘方到使用指數，我們都可以看到符號的創立和許多關係的產生。到一個定點距離相等的一個完全的曲線叫圓，這是一個定義，也只是『圓』這個符號的規定」[5]86等。劉薰宇解釋：符號使用得越多，所得的關係越不容易具體化來供人們使用。隨著數學的發展和對數學的深入學習，人們見到的符號和關係會越多，那些符號與關係有時都很難說得清楚，不失為一種符號的「遊戲」。歷史上，不同的數學家、哲學家都給數學下過定義，劉薰宇給數學下的這個定義，是數學發展史上諸多數學定義中的一種。它們都是對數學本質特徵的揭示，只是所站角度不同而已。

2.《數學所能給與人們的》

誰都不能否認數學所給予人們的「用處」。該文主要是對人們常說的數學到底有什麼用的解答，除闡述數學在天文學、哲學、建築和藝術等方面的功績外，劉薰宇重點指出了數學與人生有直接的關聯。

對於這個精神世界，劉薰宇給出了形象的闡釋：

活在直線世界的人有前後一條出路，活在平面世界的人則有前後左右兩條路，立體世界的人則有前後、左右、上下三條路。愚蠢的人爭尺寸地盤而患得患失，不知精神的生活可以不限於六合以內，不傷一人，不和任何人相角逐，在立體的世界以外，開拓了第四、第……條路來。不佔有而享受，精神界的領域很廣！這就是數學所給與人們的。[5]26-27

四、《數學趣味》的特點

數學科普並沒有固定的形式，用文學的形式普及數學是其形式之一。劉薰宇的科普著作《數學趣味》的一大特點是以趣味豐富、通俗易懂的語言寫枯燥的算理。具體來說，該書的特點可概述為以下四點：

第一，題材來自生活或歷史經典問題，破除了人們對數學的錯誤認識。

「在嬉皮笑臉中來談點嚴肅的數學法則」[6]是劉薰宇論著最顯著的特點。人們心中枯燥的數學在他筆下變得妙趣橫生。這歸功於他能夠站在讀者的角度，用大家熟知的、富有趣味性的生活題材、歷史經典問題及日常遊戲引發讀者對數學問題的思考，在不知不覺中把讀者帶進數學世界，激起他們的數學學習興趣。將數學視為一種符號遊戲進行解說，也不乏趣味性。著名作家、畫家豐子愷言道：「我一直沒有嘗過數學的興味，一直沒有遊覽過數學的世界，到底是損失！最近給我稍稍補償這損失的，便是這冊書中幾篇文章，我與薰宇相識後，他便做這些文章。他每次發表，我都讀，誘我讀的，是他們的富有趣味的題材。我常不知不覺地被誘進數學的世界裡去。」[5]1

第二，善於用通俗的語言及「搭橋鋪路」方法進行問題的講解，引領讀者進入數學王國。

劉薰宇以通俗的語言「搭橋鋪路」，由淺入深、由表及裡的舉例，激發讀者的學習興趣。通過思考，體味知識的發生、發展過程，真正發展數學思維，提高數學修養。對於難以理解的數學概念、性質、定理等內容，他常常用淺顯易懂、生動形象的日常例子進行引入、講解，這樣的例子往往令讀者久久回味，很難忘記。我國數學家徐利治先生曾說：「劉薰宇先生的《數學趣味》使我對數學產生了濃厚的興趣。此書是中華人民共和國成立前開明書店出版的，初中時，我讀了這本書，明白了數學歸納法是怎麼回事。」[7]

第三，在無形中流露出思考問題的方法，潛移默化地影響讀者思考。

葉至善曾說：「 不要把小讀者當作口袋。」[8] 這句話是告誡科普作者不能一味地向讀者灌輸知識，應當通過作品去引導讀者理解數學思想，應教授數學方法，使其能自行掌握。劉薰宇在該書中注重數學思想方法的滲透。他善於用通俗的語言對問題的每一步進行講解，最後對這樣表述的每一步進行通解化的數學表達。這種做法類似美籍匈牙利數學家波利亞（George Polya）的「怎樣解題表」中的方法，在對某一問題的解決過程中感受思考數學問題的方法。劉薰宇也曾說學習數學沒有秘訣，對於繁複的問題要耐住性子。著名物理學家、諾貝爾獎得主楊振寧在1983年2月19日對香港中學生的演講中說：「早在中學時代，由於偶然的機會我對數學發生了興趣，而且發現了自己的數學能力……有一位劉薰宇先生，他是位數學家，寫過許多通俗易懂和極其有趣的數學方面的文章。我記得，我讀了他寫的關於智力測驗的文章，才知道排列和奇偶排列這些極為重要的數學概念。」[9]

第四，數學思維方法的滲透與德育思想並駕齊驅，體現全人教育。

從該書中不難發現，劉薰宇將類比、數形結合、由特殊到一般等思想方法滲透到了問題解決中。同時，他在數學問題解決的闡述中不乏德育的內容。例如，數學所給予人們的精神世界、多角度思考問題、要有質疑精神、遊戲中久賭必輸的思想教育、數的本身及數的變化引發的人的理性選擇問題、戴有色眼鏡無法看清世界、繼承和發揚傳統算法等。這些思想的滲透和劉薰宇關於教育的觀念是分不開的，他的教育思想之一就是全人教育。東吳大學文學博士，民國歷史文化與文學研究中心主任的張堂琦曾評價劉薰宇《數學趣味》中《數學所能給與人們的》這篇文章道：「這篇很有學者散文的味道，將知識生活化、普及化、哲理化，是劉薰宇在春暉時期最富表現力的一篇佳作。」[10]

總之，《數學趣味》融知識性、趣味性、故事性和可讀性於一體。它雖沒有文學作品那跌宕起伏的情節和充滿詩情畫意的文字，但它給讀者帶來了「理性思維和推理」的樂趣，使讀者不再覺得數學枯燥乏味。

劉薰宇是中國數學科普著作的開創者之一，畢生著力於我國的數學教育事業。他以趣味豐富的文字書寫枯燥的算理贏得了廣大讀者的喜愛。豐子愷在《數學趣味》的序言中就提道「假如從前有這樣的數學書，也許我不會拋荒數學」。該書影響了那個時代的人們，相信新版的《數學趣味》定會使當今中學生、數學教育工作者及科普著作的編撰者陶熔鼓鑄。

註：① 一淘：一起。

基金項目：內蒙古自治區高等學校科學研究項目（教育廳人文社科重點項目）「民國時期數學課外讀物的教育價值研究」（NJSZ17028）；內蒙古自治區研究生教育創新計劃資助項目（S20191240Z）；內蒙古師範大學研究生科研創新基金資助項目（CXJJS19097）；內蒙古師範大學通識教育課程項目「數學文化」（291142）。

參考文獻

[1]徐可.三更有夢書當枕2[M].北京：作家出版社，2016：69.

[2]李春蘭.民國時期數學科普著作的教育意義——劉薰宇的貢獻與影響[J].數學通報，2014，53(11)：1-4.

[3]劉君衛，凌燕萍.懷念我家鄉獻身教科書事業的三位前輩[J].貴陽文史，2001(02)：44.

[4]中國人民政治協商會議貴陽市委員會文史資料委員會.貴陽文史資料選輯：第29-30輯[M].政協貴陽市委員會文史資料委員會，1990.

[5]劉薰宇.數學趣味[M].北京：開明書局，1934．

[6]劉薰宇.科學小品和我[J].小品文和漫畫，1935：88.

[7]徐利治.談談我青少年時代學習數學的一些經歷和感想[J].數學通報，2007(12)：1-2.

[8]李毓佩.數學科普學[M].武漢：湖北科學技術出版社，2019.

[9]楊振寧.關於怎樣學習科學的一些意見——對香港中學生的講話[M]//楊振寧.楊振寧文錄——一位科學大師看人與這個世界.海口：海南出版社，2002：317.

[10]張堂琦.白馬湖作家群論稿[M].上海：復旦大學出版社，2014：261.

「作者簡介」

侯曉婷，內蒙古師範大學數學科學學院碩士研究生。主要從事數學史與數學教育研究。

李春蘭，博士，內蒙古師範大學數學科學學院副教授、碩士研究生導師。主要從事數學史與數學教育研究。

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