四邊形面積公式大全（圓內接四邊形的面積）

2023-10-20 22:27:23 1

圓內接四邊形的面積

如果給定圓的內接四邊形的邊長分別為a, b, c, d，設s=(a b c d)/2, 即四邊形周長的一半 那麼有四邊形的面積為：

證明：延長CB與DA相交於E （若DA平行於CB，則找另一條對邊，如果兩條對邊都平行則是該定理的特例）， 設CE=x, DE=y,

我們用[X]表示圖形X的面積，利用三角形的求面積的海倫公式，（詳見本人主頁海倫公式的證明）

但三角形CDE與三角形ABE相似，隱含著：

由此可以推出：

根據相似性，有下列比例：

將上面的兩個式子相加：

將兩式相減：

由此求出海倫公式中的各項為：

將其帶入開頭的海倫公式裡：

最後得出四邊形ABCD的面積：

後記：上述公式是公元7世紀由一位印度數學家叫布拉馬古普塔(Brahmagupta)發現的，這個公式如果讓四邊形的一個邊消失，比如d=0，那麼四邊形就變成三角形，顯然就是海倫定理。同樣此處證明也利用了海倫定理。