數學圖形學習（圖形學系列數學基礎）

2023-10-29 12:47:01

什麼是向量

指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段；箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

#三維直角坐標系直角坐標系也叫笛卡爾坐標系原本的二維坐標系（x，y 軸），再增加一個垂直的 z 軸z 軸方向不同分成右手系和左手系

三維空間向量

#向量的表示二維

第一種是通常向量的表示，應該在數字的上方帶一個箭頭，用來區分向量，第二種是通過矩陣來表示，第三種是單位向量來表示。

三維

可以組合三維中任意向量

#向量乘以常數向量乘以常數：向量乘以常數可以看到向量被成倍延長了；負數倍數會返過來：

#向量的長度

#線性組合二維

前提是兩個向量不是平行的。

三維

可以組合三維中任意向量

#單位圓

#弧度和角度

#極坐標

由極點（pole）和射線（ray）組成的坐標系。用（角度，射線長度）描述一個點比如圖中的（3, 60°）表示射線長3，從 0L 轉動 60 度。

#極坐標系

由極點和射線構成極坐標系中點：

#三角函數的性質

#旋轉

三角函數運算

cos(a b) = cc - sssin(a b) = cs sc#向量的叉乘

向量積也叫叉積，外積，它也是向量與向量的乘積，不過需要注意的是，它的結果是個向量。它的幾何意義是所得的向量與被乘向量所在平面垂直，方向由右手定則規定，大小是兩個被乘向量張成的平行四邊形的面積。

向量積可以被定義為：

模長：（在這裡 θ 表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）

方向：a 向量與 b 向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。

也可以這樣定義（等效）：向量積 |c|=|a×b|=|a||b|sin 即 c 的長度在數值上等於以 a，b，夾角為 θ 組成的平行四邊形的面積。而 c 的方向垂直於 a 與 b 所決定的平面，c 的指向按右手定則從 a 轉向 b 來確定。

計算矢量叉積是與直線和線段相關算法的核心部分。設矢量 P = (x1, y1)，Q = (x2, y2)，則矢量叉積定義為由(0, 0)、P1、P2 和 P1P2 所組成的平行四邊形的帶符號的面積，即：P × Q = x1.y2 - y2.y1，其結果是一個標量，顯然有性質 P × Q = -(Q × P) 和 P × (-Q) = -(P × Q)

向量外積的幾何意義：

在三維幾何中，向量 P 和向量 Q 的外積結果是一個向量，有個更通俗易懂的叫法是法向量，該向量垂直於 P 和 Q 向量構成的平面。在 3D 圖像學中，外積的概念非常有用，可以通過兩個向量的外積，生成第三個垂直於 P，Q 的法向量，從而構建 X、Y、Z 坐標系。在二維空間中，外積還有另外一個幾何意義就是：|a×b| 在數值上等於由向量 P 和向量 Q 構成的平行四邊形的面積。#2d 叉乘符號的含義