矩陣的運算基本知識（一篇文章搞定矩陣）

2023-10-27 19:12:13

一篇文章搞定矩陣

——第三篇 矩陣題型總結和解題方法

矩陣這一章節較為重要，因此題型也較多，下面先按照形式分成幾大類，大類中按照知識點的不同再細分為小類。

一，代數運算型

標題看似簡單，實則暗藏玄機。單純的從題目的大致長相上這一類題都很相似（都給出了矩陣的數值），但實際上可以考察很多不同的知識點，欲知後事如何，且看下文：

（一），矩陣的乘法

（這一塊不細講，只是作為簡單的分類）作為一個比較基本的運算，其往往是作為一個題目的部分而出現，比如作為利用逆矩陣運算的最後一步，如X=AB-1而且AB均已知。與行列式結合也是一個不錯的選擇，就像我要考你一個爪型行列式的運算，但是這個行列式，需要用矩陣的乘法算出來。總而言之，還是比較基礎的。

（二），矩陣的秩和等價標準型

給出矩陣求矩陣的秩，或者求其等價標準型也是比較基礎，主要是考察運算思路，這裡稍微介紹一下等價標準型的求法：

首先將矩陣化為階梯型後，利用行變換從下往上消，直至不能再消去，然後用列變換操作繼續消去，最後調整順序把剩下的數按主對角線排布即可。空口無憑，舉例如下：

一看第三行只有一個8，毫不猶豫的直接把2和7抹去。看見兩個1在一起，用第一行減去第二行，消去！而後採用列變換，用二三列的1消去前兩行剩下所有的數字，最後-8可以直接看成1，調整順序就得到左上角三個1其餘全是0的矩陣。

（三），求逆矩陣

這裡的求逆矩陣一般都是AX=B，然後AB已知求X之類的形式，主要有兩種兩種解法，先說笨的：那就是先求出A-1，然後用A-1乘以B得到X。顯然並不容易，兩步都很繁瑣，如果我們非得在這笨拙的方法中找出一點技巧的話，那就是二階矩陣的逆矩陣可以直接憑藉公式寫出，公式如下：

這裡不做證明，因為重頭戲在後面，第二種簡單的方法就是把AB的矩陣寫在一起，利用行變換把左側化成E，右邊得到的就是X。符號語言如下圖；

我們舉個例子具體說明一下：

那這種方法為什麼對呢？原理何在呢？我們先想一下為什麼要把兩個矩陣並排寫，而且只用行變換？答案是為了讓AB都能夠得到相同的變換。好的，現在對其證明如下：

表示箭頭對A做的n次有限行變換為p1p2...pnA=E，因為AX=B，所以代換得，p1p2...pnBX-1=E。剛剛說到，把兩個矩陣並排寫而且只用行變換就是為了讓AB擁有相同的變換，所以說經過變換的B變成Q的過程也可以表示為p1p2...pnB=Q，對比上述二式，不難發現Q=EX=X吧。而且當我們令B=E的時候，就得到了前一篇文章中所講的求逆矩陣的方法了。

（四），求A的n次方

這是一種類型題，大致分為以下兩種情況；

1. 旋轉矩陣，這種矩陣的 特點就是矩陣中的元素必須為同角的三角函數值。其公式如下圖：

2.上下三角等對角線型

這一種就是利用二項式定律展開來計算，這樣的矩陣望名便可解意，首先必須是上下三角形矩陣，而後對角線上的元素必須數值相同，方便化成單位陣。其解題方法用一個例子來說明：

首先拆分矩陣A為5E D,D為A去掉主對角線上的元素所剩下的矩陣。而後得到

(因為D的 行列式等於零，所以D的n次方（n＞1）均為零)

（五），行列代數變換型

因為每一次行變換或者列變換都可以看作在左邊或者右邊乘以一個矩陣P，現在我們把這個P真正的找出來，這就構成了這一類題型。首先我們先來看一下，行變換與列變換的標準表示法，如下圖：

這種類型主要是給出變換前A的矩陣和變換後B的矩陣，讓求中間的過程並用P表示，而P是E的變式。其變換規律如下：

1. 在A左邊乘以P代表行變換，右邊乘代表列變換

2. （如果說進行的是行變換）在上圖第i行第j列加上一個數字k代表將第j行的k倍加到第i行上去。

3. 如果是主對角線上某一個數字變為了k，那麼就是將A中對應的那一行變成原來的k倍。

二，抽象矩陣型

在這一個類型中，很少出現給出矩陣所有元素的情況，矩陣僅僅被一個大寫字母代表從而進行運算。主要分為以下幾類：

（一），公式計算型

最常見的就是給出A的行列式的值，求其他表達式的值，只要上一篇中的公式記得熟，這個類型就沒有問題。為了方便沒有看過小醬上一篇的老闆，這裡在把兩張性質表給出一下：

如果遇到了公式中沒有出現過的新組合，我們同樣是有應對的策略的，

因為我們有規律，有理解。規律是什麼呢？

1. 行列式的乘法，矩陣的加法都是十分符號常數的運算規律的。

2. 矩陣的轉置，求逆，求伴隨沒有先後之分，既是右上角如果有多個運算時，可以自由的調整這三個運算間的順序。

3. 整體思想的應用，如果我不知道上一條性質，然後求（A-1）*，我們知道A-1也是一個矩陣，那就把它看作一個整體，直接代入到A*=A-1（A的行列式）這個公式中，就可以得到原式=（A-1）-1（A-1的行列式）=A/（A的行列式）。我們心裡應該時刻清楚，哪一個整體還是個矩陣，哪一塊是一個常數

4. 對於特殊的題型，我們也可以採用分析的方法，即先用公式做初步的轉換，之後根據實際意義分析，舉例如下：

我們對原式取行列式就可以分析得到A的行列式的平方=1，結合小於0的條件得出A=-E,所以最終結果是0.

（二），抽象逆矩陣型

這一種乍一看似乎可以用公式解決，但實際上不可以，因為它恰恰屬於公式中的「不一定」，類型比較單一，同時也成就了其特殊性，如下圖：

（三），行列抽象變換型

這個是上述（五）的抽象版，但是我們不要被其迷惑住，仍然按照剛剛說過的思路來寫。舉例如下（a1,a2,a3,均為列向量）

很顯然，P=(111 123 149)

，而且要注意的是，因為A是列向量，所以要把A放左邊。

（四），分塊矩陣的行列式型

這裡主要是注意不要把分塊矩陣當成一個普通的元素了，這裡只強調一個算法，就是把左下角消成0，舉例如下：

三，文字辨析題

這裡主要是給出四個選項讓判斷正誤，只要掌握了我們前面兩篇裡所講的定義與性質，這一題基本上問題不大。說白了，這題就是考我們是否「見多識廣」，如果真的遇到了不熟悉的敘述，我們同樣可以採用特殊值的方法排除。前面講性質的時候不小心漏了幾條，現在在這裡補上，

四，矩陣的秩

不得不說，這是一個很靈活的題型，在上一篇文章裡我們已經介紹了矩陣的秩的公式。一般來說，這一塊內容的考察基本上都是以AB為基本背景。下面介紹幾個基本情形：

（一），AB均為非零矩陣，AB=0推出R(A) R(B)<=n,R(A)<n,R(B)<n

（二）,AB=E,推出A行滿秩，B列滿秩。如果A為m×n,B為n×m,則R(A)=R(B)=m

（三）可逆矩陣，在左邊的列滿秩矩陣，在右邊的行滿秩矩陣都不影響矩陣的秩。

（四）

。

矩陣的題型總結就到這了，總共四個大類，十幾種小類。總之不可能把所有的題型囊括其中，只能力求盡善盡美，一口氣寫了四五個小時，如有紕漏之處，還請多多指正。原創不易，還請多多鼓勵。接下來會更新空間解析幾何的知識。大家一定不要錯過哦。