微積分知識點基本概念（AP微積分中那些容易搞混的概念）

2023-10-13 03:53:32

生活大爆炸第一集中，Sheldon在high-IQ sperm bank擔心自己犯了基因欺詐罪，問Leonard道:

What if she winds up with a toddler who doesn’t know if he should use an integral or differential to solve the area under a curve?

如果她最後發現那小不點連曲線下面積該用積分算還是微分算都不知道，該怎麼辦？

接觸過微積分的同學都會對這個問題一笑置之，用積分求曲線下面積還真不是難事。但是微積分中也確實存在一些容易混淆的知識點。很多同學在學習過程中都曾對極限存在、連續和可導的概念感到困惑，甚至有些同學直到AP微積分考完都沒有理清臨界點、極值點、駐點、拐點和函數圖像的關係。本文將對這兩組易混淆概念進行區分。

（1）判定條件：

● 可導：該點連續，左導數等於右導數。

● 連續：左極限等於右極限等於函數值。

● 極限存在：左極限等於右極限。

（2）關係：

解析：根據題幹，f(x)在x=a點極限存在，由於極限存在的點可能沒有定義，該點不一定連續或可導。所以這題選E.

例2：

解析：

在x=3，f(x)的左極限為9，右極限為9，函數值為9，滿足左極限等於右極限等於函數值，該點連續。

又因為左導數為6，右導數也為6，左導數等於右導數，該點可導。所以這題選E。

（1）判定條件：

● 臨界點（critical point）：導數為零或者不存在的點。

● 駐點（stationary point）：導數為零的點。

● 極值點（relative extrema）:局部最大值或者最小值。該點前後一階導符號發生變化。一階導由大於零變為小於零，為極大值；由小於零變為大於零，為極小值。

● 拐點（inflection point）：函數凸凹性變化的點。該點前後二階導符號發生變化。

（2）關係：

● 臨界點包括駐點和導數不存在的點。

● 極值點要在臨界點裡找，臨界點不一定為極值點。比如y=x^3，x=0處為臨界點，但不是極值點。

● 判斷臨界點是否為極值點的唯一原則——在該點前後函數一階導符號（即函數單調性）是否發生變化。

● 臨界點、駐點和極值點與函數的一階導有關，拐點與函數的二階導有關，拐點前後二階導符號發生變化。

下面結合真題來鞏固一下:

例1：

解析：

（a）第一步：找critical point。極值點要到臨界點裡找，臨界點是一階導為零或者不存在的點。上圖為一階導圖像，x=--3,1,4時一階導為零，為臨界點。

第二步：在critical point裡選出該點前後一階導由大於零變為小於零的點。圖中為x=-3和x=4。

所以該問答案為x=-3和x=4，f' changes from positive to negative at -3 and 4。

補充說明：由於極值點不能在區間端點產生（極值點是該點鄰域內最大或最小點，區間端點只有半個鄰域，無法判定該點是否是鄰域內最大或最小），所以不考慮x=-5處。

（b）找二階導符號發生變化的點。二階導為一階導的導數。當一階導遞增時，二階導大於零；當一階導遞減時，二階導小於零。f'在-4，-1，2單調性發生變化，這三點為拐點。

所以該問答案為：f' changes from increasing to decreasing, or vice versa, at x=-4，-1 and 2. Thus the graph of f has inflection point at x=-4，-1 and 2。

（c）increasing對應一階導大於零，concave up對應二階導大於零（一階導遞增）。圖中大於零且遞增的部分為-5<x<-4 and 1<x<2。

所以該問答案為：the graph of f is concave up with positive slope where f' is increasing and positive :-5<x<-4 and 1<x<2。

以上就是對兩組AP微積分易混淆概念的區分，你掌握了嗎？

朱老師

廣州沃邦國際教育理科教師，本科畢業於中國科學技術大學應用數學系，後取得金融碩士學位。主要負責SAT2和AP理科課程的教學工作，對短期提高理科應試能力有深入研究和獨到見解。

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