阿基米德為什麼不能撬動地球（致阿基米德給你一個支點）

2023-10-04 21:46:23 2

阿基米德說過一句名言：「給我一個支點，我能撬起地球。」

這是對槓桿原理的一句詩性化的描述，在絕對理想狀下才能實現的力矩平衡。

公式記作：Fa*La=Fb*Lb

Fa，重力加速度下地球質量重力，La，地球端的力臂長度，Fb，頂多是阿基米德體重重力，Lb，阿基米德端的力臂長度。

阿基米德是偉大的，但他的這句話肯定是誇大了。

估計很多人都diss過這句話。講力矩平衡沒毛病，但拿地球說事，這就玩大了。

其一，一個物體的重力，是它與地球之間的引力；而地球是懸浮在太陽系的，不存在我們所認識的那種「重力」。像上圖那樣，拿根大杆子杵地球上，會被地球向上吸引的。

其二，這根槓桿太長了，有好事者算出阿基米德一端的力臂需要3.822萬億億億公裡（下圖中數字），整個宇宙都裝不下它！

但是，這不是本文的重點。

寫這篇文章要對得起本人頭條號的名字「設計勞斯基」。好歹咱也曾做過工程師的，所以要從材料力學下手。

我們仍然給阿基米德兩個理想化的條件。一，地球有重力mg，且方向向下；二，他能到達他想要到達的任何地方，並且能得到一根他想要的杆子。

剩下的問題，就全在這根槓桿上了。它能不能存在？如果存在，它會是什麼樣的？

我們先來溫習一下什麼是力矩。簡單的講，力矩是作用力F與垂直作用距離L的乘積。

這一表述和彎矩是一樣的。不同的是，力矩是外力矩，彎矩是內力矩。但在分析一個杆件的受力狀態時，也沒有區分的必要。因為外內是內力的直接源頭，在一個平衡的系統裡，對一點的外力矩和內力矩是相等的。

這樣講太繞了，我們看圖說話。下面是阿基米德撬地球的簡圖：

因為整體系統是平衡的，支點處的支持力R與地球和阿基米德的重力，互為相反作用力。那麼，我們將簡圖上下反轉，視地球和阿基米德的重力分別為支撐力Ra和Rb、視支點的支撐力為向下的外力P，也是成立的。如下圖：

由於Ra Rb=P，且Rb遠遠小於Ra，可以近似得P=Ra。地球半逕取6000公裡，也就是La的最小可取長度。於是，有Ra*La=Rb*Lb，這樣我們可以丟掉力矩的概念，來對槓桿做內力（剪力和彎矩）分析。如下圖：

支點右端的剪力太小了，可以忽略掉

在上圖中，支點左端剪力Q=Ra，右端剪力Q約等於0，支點處最大彎矩M=6000Ra，彎矩和剪力的關係式：M=Q*x，x∈[0，6000]。

大多數人可能沒有剪力和彎矩的概念，沒關係。我們繼續看圖說話。我們都知道三個和尚吃水的故事，當兩個和尚抬水的時候，情形大概如下圖：

那麼重點來了。注意到圖中木棍的彎曲沒有？彎曲是由水桶的重力造成的，而木棍的彎曲程度和彎矩圖是對應的。我用一張誇張點的簡圖來得描繪一下木棍變形前後的形態。

我們來想像一下，如果木棍最終承受不了水桶的重量，放置水桶的位置的底部是不是會裂開？它的裂開，我們稱作「橫斷面受拉破壞」。所以，在受到豎向作用力P的同時，木棍內部在水平方向上產生了拉力，形成的受拉區在木棍的下半部分。根據相互作用力原理，木棍的上半部分，會產生壓力，形成一個受壓區。

如果把木棍沿水平向切成無數個橫斷面，那每一個橫斷面都有一組相等的拉力和壓力，但相鄰兩橫斷面是不同的。從上面的彎矩圖上看，每一個橫斷面都對應一個彎矩值，彎矩值大小與橫斷面的拉（壓）力大小成正比。

所以，彎矩並不是一種客觀存在，它是對客觀存在的、沿杆件法向、並朝向支點遞增的一對力流進行的宏觀狀態描述。

我再來看一下支點處的微觀受力狀態，如下圖：

在微觀視角下，在一個力矩平衡系統內，對於任何一個點，它所受的合力為零。這樣，我們可以階段性地把彎矩從內力分析中拿掉，用一對相互作用的力N和T來替換，如下圖：

還需要說明兩點。一，壓力N和拉力T的作用點位置也處在理想化的狀態，正確的位置應該在受壓區和受拉區的合力點上；二，這也是我們給鋼筋混凝土梁配筋的計算原理，不過比這考慮的問題要複雜一些。

我們取支點處進行研究，如下圖：

得到一個新的力矩平衡：Q*La=N*B，計算得，N=6000Ra/B。如果用一根抬水用的木棍作槓桿，取其直徑為5cm，那這個N有多大呢？

N=6000Ra/(0.05*10^-3）=1.2*10^8Ra，1200萬倍的地球重力！這麼大的力，多少根木棍能受得住！我們反過來算，如果用鋼筋混凝土做這根槓桿，底部配5根25的三級鋼（拉力約1000噸），那它的截面高度B=6000*6*10^23/1000=3.6*10^24，折算為360萬億億公裡！三根槓桿裝滿整個宇宙！

註：上述代入數據可能有誤，歡迎指正！

怎麼辦，只能再給個理想條件了，賦予這根槓桿無限強度和剛度！

那麼問題來了。地球縮成8mm可以變成黑洞，然後蒸發掉。那這根槓桿從1/3個宇宙大小，收縮成一根細棍，會發生什麼？如果阿基米德看到此處，給他一個支點，可能他也沒興趣去撬地球了。這個刀架脖子上仍然請求解完題再死的倔老頭，一定會轉向另一個問題：黑洞是什麼？

寫在最後的話：調侃歸調侃，阿基米德這句「給我一個支點，我能撬起地球」，仍然是給予力學初學者的最好的啟示！