韓信大點兵口訣（韓信點兵我敢說很多人不知道其中的數學道理）

2023-04-21 06:46:45

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來說：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數.

這樣的問題，也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」，這是由中國人首先提出的.

① 有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它們除以12的餘數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它們除以12的餘數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一個數除以12的餘數是唯一的.上面兩行餘數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的餘數是5.

如果我們把①的問題改變一下，不求被12除的餘數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它是 5＋12×整數，

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5後，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2，除以4餘1」兩個條件合併成「除以12餘5」一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合併成一個.然後再與第三個條件合併，就可找到答案.

②一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.

解：先列出除以3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合併成一個就是8＋15×整數，列出這一串數是8， 23， 38，…，再列出除以7餘2的數 2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23.