轉動慣量如何用周期計算（什麼是轉動慣量）

2023-04-21 03:01:59

轉動慣量是一個物理量，它描述了物體繞給定軸旋轉的容易程度。它是質量的旋轉模擬，描述了物體對平動的阻力。慣性是物質抵抗運動狀態變化的特性。慣性是一種力的度量，它使靜止的物體保持靜止，或使運動的物體以當前速度運動。慣性越大，在給定時間內使其速度發生變化所需要的力就越大。假設一個重型卡車和一盞燈的車都處於靜止, 然後直覺上我們知道將需要更多的力量推動卡車一定的速度在一個給定的時間比需要推動汽車, 在相同的時間相同的速度。

類似地，慣性矩(轉動慣量)是物質在旋轉運動狀態下抵抗變化的特性。轉動慣量越大，在給定時間內使其角速度發生相同變化所需要的轉矩就越大。這裡，力矩和角速度是力和速度的類比，與轉動慣量有關，就像力和速度與質量的關係一樣。

不像慣量，轉動慣量不僅取決於質量還取決於繞軸的質量分布。物體在不同的軸上可以有不同的轉動慣量。也就是說，要使一個物體以相等的角加速度繞不同的軸旋轉，就需要不同的力矩。在整個機制中，這一概念是相關且非常必要的。雖然如果沒有旋轉，生活會很簡單，但實際上我們需要有一種方法來處理平移和旋轉(通常是同時進行)。這是分析更複雜運動的必要部分。

轉動慣量不僅基於物體的物理形狀和質量分布，還基於物體旋轉的方式。所以同一個物體以不同的方式旋轉會有不同的轉動慣量。

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求轉動慣量的一般公式。

一般公式代表了對轉動慣量最基本的概念理解。基本上，對於任何旋轉的物體，轉動慣量可以通過取每個粒子到旋轉軸的距離(方程中為r)，平方這個值(即r2項)，再乘以粒子的質量來計算。對所有組成旋轉物體的粒子都這樣做，然後把這些值加起來，就得到了轉動慣量。

這個公式的結果是同一個物體得到不同的轉動慣量值，這取決於它的旋轉方式。即使物體的物理形狀保持不變，新的旋轉軸也會得到一個不同的公式。

這個公式是計算慣性矩的最「強力」的方法。所提供的其他公式通常更有用，代表了物理學家遇到的最常見的情況。

02

一般公式是有用的，如果對象可以被視為一個離散點的集合，可以加起來。然而，對於一個更複雜的物體，可能需要應用微積分對整個體積進行積分。變量 r 是點到轉軸的半徑向量:

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一個實心球體，其質量為M，半徑為R，沿穿過球體中心的軸旋轉，其轉動慣量由以下公式決定:

04

一個空心球體，它有一層可以忽略的薄壁，繞著穿過球體中心的軸旋轉，質量為M，半徑為R，其轉動慣量由以下公式決定:

05

一個固體柱體，在一個穿過柱體中心的軸上轉動，質量為M，半徑為R，其轉動慣量由公式決定:

I = (1/2)MR^2

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一個空心圓柱體，其壁很薄，可以忽略不計，沿穿過圓柱體中心的軸旋轉，質量為M，半徑為R，其轉動慣量由公式決定:

I = MR^2

07

一個空心圓柱體，其質量為M，內半徑為R1，外半徑為R2，在穿過圓柱體中心的軸上旋轉，其轉動慣量由公式決定:

注:利用此公式，將R1 = R2 = R(或者更恰當地，取R1和R2接近公共半徑R時的數學極限)，就可以得到空心薄壁圓柱的轉動慣量公式。

08

一個矩形薄板，質量為M，邊長為A和b，沿垂直於板心的軸旋轉，其轉動慣量由下面的公式決定:

I = (1/12)M(a^2 b^2)

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一個薄的矩形板，沿板的一個邊沿軸線旋轉，質量為M，邊長為A和b，其中A是垂直於旋轉軸的距離，其轉動慣量由下列公式決定:

I = (1/3)Ma^2

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一根細杆，其質量為M，長度為L，繞著穿過杆心(垂直於杆長)的軸旋轉，其轉動慣量由公式決定:

I = (1/12)ML^2

11

一根細杆，其質量為M，長度為L，繞穿過杆端(垂直於杆長)的軸旋轉，其慣性矩由公式決定:

I = (1/3)ML^2