五次以上的方程不能用根式求解（5次及5次以上方程沒有根式解的證明）

2023-04-21 12:28:59 2

偉崗在讀中學的時候比較痴迷數學，其中最著迷的就是那些在中學階段認為很高深的數學內容。比如微積分和極限，歐幾裡得的第五公設等等。而5次方程沒有根式解是困擾偉崗最長時間的難題。多虧了網際網路和資訊時代，使得偉崗有機會發現很多關於數學知識的視頻，綜合世界上很多大師的詳細分析，偉崗對5次方程沒有根式解有了很深刻的理解。

當然由於伽羅華理論的深奧，偉崗到現在也不能算完全明白了5次及5次以上方程沒有根式解證明的數學邏輯，不過基本思路還是有了。數學學習給偉崗帶來了很多快樂，也引發了偉崗很多思考，快樂和思考應該是人生比較重要的部分。

也許是因為當時物資匱乏，也沒有什麼娛樂，所以偉崗才會迷上數學，如果在今天手機橫行天下，遊戲戰勝一切的環境要想迷戀數學，難度就非常大了。這給我們現代人提出了一個非常嚴肅的問題：如果讓現在的小孩愛上學數學？問題在於，如果數學成績不好，小孩的前途會受到很大的影響。畢竟我們生活的社會有許多考試的門檻要過，其中數學是考試中的重中之重。

其實作為家長心裡是非常矛盾的，一方面在自己的生活工作中，似乎數學知識沒有什麼太大的用處，另一方面又必須跟小孩強調學數學的重要性，如何突破這個心理障礙，還真沒有好的辦法。唯一能夠有效的方法也許是家長多讀一點跟現代數學有關的有趣文章，耳濡目染，慢慢培養一些對數學的愛好，這樣要求小孩好好學數學應該底氣足很多。

這些都是題外話，現在還是回到伽羅華理論上。我們前面解釋了什麼叫沒有根式解以及因為數的原因決定5次及5次以上方程沒有根式解。今天來探討一下伽羅華證明的一些秘密。對於伽羅華定理證明上的內容，目前市面上還沒有看到深入探討的科普書。有一部《阿貝爾的證明》算是內容比較深的著作。這部著作末尾附錄還列出了阿貝爾證明5次方程沒有根式解的詳細內容，算是程度比較深的科普書。不過阿貝爾的證明還是太過複雜，一般人估計不會去讀那部書的附錄。

偉崗在這裡來聊伽羅華理論比較詳細的內容，可以說是一個比較大膽的嘗試，但願能做到拋磚引玉，後續有更多科普作家獻給大家有深度的科普大作。

我們還先來看看教科書上是怎麼描述伽羅華定理的，教科書上是這樣寫的：域F上不可約多項式f(x)=0有根式解的充分必要條件是f(x)的分裂域對F的伽羅華群G=Gal(E/F)是可解群。

就這麼簡單的一句話，卻是天才數學家上千年努力得來的結果！而自從伽羅華得到證明又過了200多年，即使有大學程度的我們還是理解不了這個證明，可見數學進步之難。

我們遇到的第一個問題就是域F。這個域很多書也就直接把它定義為有理數域（數學上一般用大寫的Q表示，這個很奇怪，Q這個字母似乎跟有理數沒有關係，不知道什麼來歷）。這一點也要發揮一點想像力。一般多項式的係數肯定是有理數，所以多項式係數肯定在有理數域Q內。關鍵在於你怎麼區別一個多項式跟其它多項式呢？這時就要有分裂域出現了。

事實上，多項式域F可以包括任意多項式，但是由於多項式方程的根不同（如果根相同，就是同一個多項式了），所以分裂域也不同，這樣就可以區別不同多項式了。這樣，回答第一個問題域F是什麼，我們暫且認為它就是有理數域Q。

不可約多項式，我們前面講過，就是無法在有理數域裡面進行因式分解。這個要稍微思考一下也好理解，如果一個多項式是可約的，我們就可以先做因式分解，然後研究不可約部分就可以了。換句話說，任意多項式都可以用研究不可約多項式的方法進行研究，這樣做的目的當然是為了研究的簡化。

而之所以只研究不可約多項式，是因為後續證明只對不可約多項式成立。如果是可約多項式，由於可能會有有理數會添加到分裂域中，也就是說破壞了分裂域是有理數擴域的定義，至少多了很多特殊情況。

下面要理解的就是什麼叫伽羅華群了。這個我們前面講了一些內容，不過還沒有觸及到問題的難點。為了好理解，我們這樣來敘述伽羅華群的定義：域Q上多項式分裂域（也就是在Q域上添加多項式的根，形成一個擴域）上，做這樣一些自同構，這些自同構把Q上的值（也就是所有有理數）還是映射到本身。這些自同構就組成分裂域E上的伽羅華群。

這裡就比較考驗思考能力了。也是理解伽羅華理論的一大難點。首先自同構是個什麼東西？從定義上理解是映射，也就是使Q上的值（也就是所有有理數值）映射到自己本身。這樣的映射存在嗎？理論上應該存在，有很多等式可以使所有的有理數在等號兩邊都相等（也就是說，構造一個方程，使得這個方程兩邊當未知數為有理數時，方程兩邊可以相等平衡）。要說找到具體的例子，偉崗想了半天也沒有想出來。關鍵是除了有理數，其它類別的數還不能使這樣的方程兩邊相等。

這裡思維還要排除另外一個誤區，那就是認為自同構是一個虛無縹緲的東西。一定要注意到我們是在數學範圍內討論問題，所以就算自同構是抽象的映射，它們也是數學上的概念。簡單地講，就是自同構是數學上的一些變換，至於具體是什麼變換，由於群論不研究具體的計算，所以數學家也沒有把具體的表達式列出來，他們認為沒有必要，你只要承認這些變換存在就可以了。

到了這個階段，你肯定會有更大的疑惑，那就是就算承認自同構的存在，那這樣的自同構不是有無窮多個？也就是說，你怎麼去求這些抽象的變換呢？

伽羅華還確實是個天才，是他構想出了求得所有組成伽羅華群自同構的算法！（是不是後續數學家在伽羅華思想的基礎上求得伽羅華群裡自同構的就不得而知，不過即使是後續數學家做到這一點的，肯定也是受到伽羅華論文的啟發，所以數學史書和教科書大多都把功勞歸於伽羅華）。

注意到伽羅華群是在分裂域，也就是有理數域中添加多項式方程根組成的域中求自同構，伽羅華通過兩點確定了所有的自同構（我們還不能說伽羅華完全求出了全部的自同構。抽象代數就是這樣訓練我們思維的，要跟上伽羅華的思路，你必須拋棄在初等數學中形成的很多固定的套路）:第一，組成伽羅華群的自同構把有理數映射到自己身上（這是伽羅華群自同構的定義）；第二，這些自同構把多項式方程的根映射到其它根上。

第一點貌似是明顯的，不用提。實際上正是這一點暗藏殺機，決定了確定所有自同構的關鍵。第二點的證明可以看教科書上，也是有點費腦筋。證明的關鍵在於，那些方程根的自同構映射帶入到多項式方程，可以轉換成方程值的映射。由於根是使方程值為零的數值，所以自同構就是零的映射，這又反過來證明這些自同構經過映射後，使得方程為零。也就是說，組成伽羅華群的映射都把多項式的根映射到其它根上。這些內容有些繞，這也是學抽象代數的特點，抽象地推理需要思考和想像。

確定了組成伽羅華群的自同構是多項式方程根映射到其它根上，這時根的對稱性就要出面了。這也許也是群論的一個精華，不過很難體會到。

細心的同學朋友可能還記得，多項式方程的根從某種意義講具有對稱性。我們注意到，複數根都是共軛的。也就是說，根的實部相等，虛部前加號減號都是根。這在複平面上表示兩個跟在一個圓上且對稱與實軸。就是簡單的方程x的平方減去2等於零，也有一個對稱的正負根號2。

根的對稱性決定了伽羅華群中自同構的一個根映射到另一個根就是一個旋轉變換。正是從這樣的結果中，數學家得出伽羅華群實際上同構於置換群！或者說伽羅華群同構於對稱類簡單的群。對稱性是5次及5次方程沒有根式解的主要原因，其含義原來隱藏在伽羅華群跟對稱群同構這個命題中！

要真正求出某個具體伽羅華群同構的確定對稱群，還有一些難度。不過基本思想我們可以簡單描述了一下。求的過程，當然還需要自同構定義給出的條件，否則屬於伽羅華群元素的自同構映射可能是一個根映射到於它不對稱的根上面了，這時就求不出伽羅華群同構的群了。

一般一個對稱群對應一些旋轉和位置變換，求伽羅華群同構的對稱群就是求跟這些旋轉和位置變換一致的變換。教科書上都講得非常簡單，只有非常仔細和有耐心的人才能理解那些推導過程，一般的讀者也就是知道結果就行了。

抽象代數對抽象的對象進行精確的分析和計算，這給我們提出了很多值得深思的題材。同時我們要拋棄一切具體計算的思維方式，用新的套路研究數學，這也不是所有人都做得到的。

如果你能求出很多多項式的伽羅華群（或者準確地說是求出伽羅華群同構的對稱群），可以說對伽羅華理論的理解就進了一大步。不過要搞懂伽羅華的證明，還有更多深奧的數學知識，最最難理解的就是可解群，什麼樣的群才叫可解呢？

群的可解又跟群的子群和群的正規性聯繫在一起。粗略地講，一個方程之所以沒有根式解，是因為如果方程的分裂域添加帶根式的數，這些數必然會使得伽羅華群存在子群，而且這些子群還必須滿足正規性等條件，如果滿足不了這些條件，帶根式的數就不存在了。但是要記住，多項式方程的根肯定是存在的（這個叫代數基本定理），我們又無法添加到帶根式的數作為方程的解到分裂域中，所以方程沒有根式解。