線性代數的向量知識點總結（趣味線性代數六）

2023-05-18 15:57:12

即使你對線性代數一無所知，從向量空間開始學起也是沒有問題的，向量及向量空間才是線性代數最基礎的知識。

先看一下向量空間的定義：

設為維向量的集合，如果集合非空，且集合對於加法及乘法兩種運算封閉，那麼就稱集合為向量空間。

所謂封閉，是指在集合中可以進行加法及乘法兩種運算，具體地說，就是若，，則；若，，則。

解釋不如舉例，我們舉幾個例子，來探討一下什麼是向量空間。

從簡單的開始。給出二維向量組和，它們能生成什麼樣的向量空間呢？

向量組構成矩陣

那麼有

很顯然，向量，向量與向量線性相關。那麼向量組的最大無關組就是，問，向量組生成的向量空間是幾維的呢?

對應平面圖形，如下圖

可以看出向量與直線共線，那麼直線就是向量組的向量空間，應該算一維向量空間吧。

這個例子正好用來說明什麼是「對於加法及乘法兩種運算封閉」。對於向量，它自己加自己或乘以任意實數都跑不出這條直線。那麼用乘方呢，比如2次方，向量變成向量，一併繪入下圖：

從圖上看，向量不在直線上，也就不在向量空間裡。「對於加法及乘法兩種運算封閉」也可以理解為，只用加法和乘法兩種運算才能把與向量組線性相關的所有向量封閉在向量空間裡。

再看一個二維向量不共線的例子。給出二維向量組和。向量組構成矩陣

那麼有

向量線性無關，且是向量組B的最大無關組，那麼向量就生成一個二組向量空間（二維空間）。其圖形，如下圖：

由於兩線共面，向量和生成的向量空間就是二維空間的一個子集。

向量組又叫向量空間的基，這裡的「基」可以理解為基石的意思，以為基石，通過線性變換，撐起整個向量空間。

取向量，與矩陣相乘（由於當前矩陣為方陣，可不區分行向量與列向量），有

以（5，5）為向量，則向量與向量線性相關。將向量合成矩陣

第3列-第2列-2X第1列：

可見向量組與向量組是等價的。以向量為基，可以構建無窮多個等價向量組，而這些向量組都在二維向量空間裡面。當然，並不是二維向量空間唯一的基。，那麼，（1，3）和（2，-4）也是向量空間的基。

既然向量空間是個集合，那麼可以用集合的形式寫出來，例如：

其實我們可以從字面上去理解它，把看作空間維度，每一組代表一個維度，說它是維度軸線上的個坐標值也行。

假設當前空間是四維的，以命名各個維度。那麼給出一個向量組： ，卻只能構造三條向量線段：，因為是原點嘛。

那問題來了，向量空間是幾維的？

從集合形式看，它應該是三維的，因為0是固定值的，第一個維度無法呈現。

從向量組構建的向量線段數量看，向量空間也是三維的，兩線共面，三線一體嘛。

向量組是線性相關的，可以用線性表達，即。向量空間V的最大無關組是，也說明它是三維的。

反過來，集合未必是向量空間，比如下面的集合：

從集合的形式看，1是固定值，第一個維度無法呈現，它的維度是維的，但卻能構造條向量線段，兩者是衝突的。由此，可以判定這裡的不是向量空間。