一個不規則的5邊形有幾個角（正五邊形中的五個有趣的問題）

2023-05-24 01:10:33

本文作者劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！

正五邊形是一種非常重要、也非常美觀的圖形，本文就談談有關正五邊形的五個問題，文章中沒有把每一點都完全說透，很多只是給出提示，希望大家有興趣進行研究。文中還列出了多本著作，也希望大家儘可能找到這些書來讀。

一、正五邊形中和黃金比例

正五邊形最為人所熟知的性質，是其中有很多黃金比例：

這可能是人類發現的第一個無理數，比 √2 都早，這麼說的理由是據說畢達哥拉斯學派非常喜歡正五邊形（五角星），將其作為自己學派的標誌，當然會深入研究正五邊形的性質。但是，古希臘人證明兩個量是否可公度——用現在的話說是證明一個數是無理數——的方法是，用大量連續減去小量，得到一個比小量還小的量，然後再從原來的小量中連續減去上一步新得到的小量，得到新的小量……如果這個步驟一直進行下去而不能終止，則兩個量不可公度。那麼，具體到正五邊形中的這個比例怎麼證明呢？請閱讀項武義、張海潮、姚珩合著的《千古之謎與幾何天文物理兩千年》（高等教育出版社2010年版）。

二、正五邊形與正六邊形、正十邊形的關係

進一步的研究表明，正五邊形、正六邊形、正十邊形有著十分密切的聯繫。比如這三個多邊形的邊長可以構成直角三角形的三條邊（結論一），再有則是正五邊形內接圓直徑是正六邊形、正十邊形的邊長和（結論二）。這在現代數學中只要計算不出問題即不難驗證，但是早在古希臘人們就用傳統的綜合法發現並證明了其中的部分內容，真了不起。大家可以參見十五卷本的《幾何原本》（上海古籍出版社2002年版《續修四庫全書 1300 子部·西學譯著類》），看看書裡還提到了正五邊形的哪些性質。如果只看結論一，也可以看近年出版的十三卷本的《幾何原本》，我推薦蘭紀正、朱恩寬或者張卜天的譯本。

下面簡述一下結論一的證明方法，請大家領略一下《幾何原本》的證明藝術：

圖中 F 是圓心，AB 是內接正五邊形邊長，AK 是內接正十邊形邊長。書裡先證明兩個三角形 BFN 和 BAF 相似，得到 BF²=AB×BN，再證明了 AKN 和 ABK 相似，得到 AK²=AB×AN，二者相加即得到 BF² AK²=AB(BN AN)=AB²，其中 BF 既是圓的半徑，也是該圓內接正六邊形的邊長。這裡的關鍵是點 N 的取法：左圖中的 NF 和右圖中的 AK 垂直。

下面是結論二的圖示，根據正五邊形、正十邊形各角關係，見圖即明：

三、正五邊形的做法

在尺規作圖方面，正五邊形算是比較複雜的了。我最近特意從網絡上找到了人民教育出版社1981年版的全日制十年制初中幾何課本，只有做法而無證明（下左圖），大概是這個證明需要用到36度的三角函數，超出了初中範圍，不知道讀者中有沒有人能夠用初中知識證明的。而《幾何原本》中是這樣作的：先作一等腰三角形，腰和底邊之比為黃金比例，可以證明這個此等腰三角形的頂角是36度（下右圖），繼而在此基礎上可以作出正五邊形。而在《圓之吻——有趣的尺規作圖》（莫海亮著，電子工業出版社2016年版）一書中，作者給出了正五邊形的二十四個尺規作圖方法，後面還有若干單規、單尺作圖法。不過雖然作圖方法多種多樣，具體實現起來還是很複雜，我現在還記得初中時數學老師為了給我們演示正五邊形作圖方法而不得不拼湊調整的糗事，這大概是因為粉筆筆畫較粗難以精確而圓規的頭部又比較鬆散的緣故吧。

正因為精確的正五邊形難畫，所以才有了下面的近似做法，可以記做「五九頂九五，八五分兩邊」：

這兩年摺紙很火，如果你在網絡上搜索正五邊形的摺疊方法，也可以找出一大堆，但是其中大部分是近似折法，大家自行判斷吧。特別說一句，其中比較有趣的是用打結的方法製作正五邊形，而且這個製作是精確的。

四、正五邊形和正方形的相互轉化。

在數學上，可以把任意一個多邊形經過分割、重組變成等面積的另外一個，這在數學上被稱為「華勒斯·波埃伊·格維也納定理」，而其中尤為大家重視的是各種複雜的多邊形向正方形的轉化。正五邊形當然也可以變成等面積的正方形，下左圖見於《奇妙的正方形》（【蘇】科爾傑姆斯基、魯薩列夫著，曾一平譯，中國青年出版社1955年版），右圖見於《圓之吻——有趣的尺規作圖》：

至於具體作圖方法，這裡就不「劇透」，煩請大家自行研究。如果你已經會了這個問題，那麼不妨考慮其逆問題——把一個正方形分割重組為等面積的正五邊形，看看哪個作圖過程敘述起來比較方便。如果你有其它分割方法，也歡迎發表出來。

五、正十二面體和正二十面體

接下來我們要跳出平面的範圍，來看看立體幾何。在五種正多面體中，和正五邊形關係最密切的是正十二面體和正二十面體。

這兩個正多面體有什麼關係嗎？我覺得其中最驚人的是，如果二者的外接球半徑相同，則二者每個面的外接圓半徑相等。你能證明這個結論嗎？另外，如何在給定的球體內作出內接正十二面體和正二十面體，作這兩個多面體還有什麼簡單方法，請參閱《幾何原本》（部分內容見於十五卷本）和《數學的魅力》（沈康身著，上海辭書出版社2006年版）。

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