孿生素數的最新成果（170歲高齡了）

2023-05-08 06:23:33 2

2019-10-24 08:46

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孿生素數被認為是數論史上的經典難題，也是諸多著名數學猜想之一。在1900年的國際數學家大會上，數學家希爾伯特提出了23個有待解決的重要數學難題和猜想，他把黎曼猜想、孿生素數猜想與哥德巴赫猜想等一起列入了這23個數學問題中的第八問題。

近日，美國哥倫比亞大學的數學家威爾⋅薩文（Will Sawin）和威斯康星大學麥迪遜分校的馬克⋅舒斯特曼（Mark Shusterma）在預印本平臺arXiv上發布了一個證明，如果該證明被確認無誤，將為孿生素數猜想的研究提供一種新的有益借鑑。該證明是在一個被稱為有限域的框架上來探討孿生素數猜想的相似版本。有限域上的函數域被認為擁有許多與數域類似的算術性質。

什麼是孿生素數猜想？數論學家們都有哪些不同的驗證思路？有人說解決孿生素數問題，就會給攻克哥德巴赫猜想帶來很大的希望，這是為什麼？

數論史上的經典難題

素數是指只能被自身和1整除的正整數。在古希臘時期，人們就開始關注素數這類自然數中最基本而又神秘的「元素」。

歐幾裡德論證的素數無窮命題可謂人們對素數分布的最初認識。而素數之神秘，根本上在於它們局部分布的不規律。對素數在自然數中分布的研究，便成了十分重要而又極具挑戰性的課題。

兩個相差為2的素數即「孿生素數對」，例如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。100以內有8對孿生素數，501到600間只有兩對。素數對的間距為4，則兩個素數被稱為堂表素數對， 間距為6的兩個素數被稱為性感素數對，而中間沒有其他素數的兩個素數則稱為相鄰素數對。

隨著數的變大，可以觀察到的孿生素數越來越稀疏，會不會有一天再也找不到新的孿生素數對呢？有數學家猜想，存在無窮多個素數p，使得p與p 2同為素數。這就是孿生素數猜想。

孿生素數被認為是數論史上的經典難題，也是諸多著名數學猜想之一。來自中科院的數論研究員對科技日報記者表示：「孿生素數猜想是一個很漂亮的猜想。」在1900年的國際數學家大會上，數學家希爾伯特提出了23個有待解決的重要數學難題和猜想，他把黎曼猜想、孿生素數猜想與哥德巴赫猜想等一起列入了這23個數學問題中的第八問題。

「弱形式」是否成立還不知道

證明孿生素數猜想有多難呢？人們甚至不知道它的「弱形式」是否成立。

自1849年法國數學家波林那克提出孿生素數猜想後，在接下來的160多年裡，數學家在這一方面幾乎沒能取得突破性進展。直到2013年，此前籍籍無名的數學講師張益唐打開了一扇通往孿生素數的窗。

他的解決方案或許可以稱為「退而求其次」。既然證明有無窮多個差值為2的素數如此困難，那麼是否可以證明差值為7000萬的素數有無窮多個？

張益唐證明了這一點——存在無窮多個素數之差小於7000萬的素數對。這是數學家首次證明了弱版本的孿生素數猜想。張益唐在不依賴未經證明的結論的前提下，得出這一結果，使得孿生素數猜想研究前進了一大步。憑藉這項研究，張益唐斬獲了2014年美國數學學會柯爾數論獎，並獲得2014年麥克阿瑟天才獎。

「張益唐把大海撈針的力氣活縮短到在水塘裡撈針，而他給出的方法還可以把水塘撈針輕鬆變為遊泳池裡撈針。也許最後變成在碗裡撈針還需要一些再創新的工作，但給出了這一偉大框架已經是讓全世界數學家瞠目結舌的壯舉了。」中國科學院院士湯濤說。

有人打了一個比方，張益唐所做的工作，相當於1920年挪威的布朗證明了「9 9」，由此開啟了數學界對證明哥德巴赫猜想的追尋。接下來，科學家們陸續證明了「7 7」「6 6」，直到46年後，陳景潤證明了「1＋2」。有學者表示，證明「1 2」離證明「1 1」還有很遠的距離，想把素數對之差為7000萬縮小到2，似乎更是遙不可及。

一石激起千層浪。儘管從2到7000萬還存在一段很大距離，張益唐的研究依然被視作一個「重要的裡程碑」。在2013年接下來的幾年裡，包括數學天才陶哲軒在內的數學家一直致力於縮減這個素數差值，目前的最好結果是246。

是否有從246縮減到2的那一天？無人知曉，但數學家們仍在不斷接近孿生素數猜想的最終版本。

與哥德巴赫猜想面臨同樣瓶頸

關於孿生素數猜想，數論學家們還有哪些不同的驗證思路？

據悉，除了張益唐等人給出的有界間距素數對這樣的結果以外，目前對於孿生素數猜想的（1，2）版本證明方法有兩種。第一種是把陳景潤的方法平行照搬過來；第二種是解析數論專家亨裡克⋅伊萬涅茨 (Henryk Iwaniec)通過Rosser-Iwaniec篩法途徑導出的證明。郭勝表示，該證明的關鍵是通過波動形式的譜理論能夠給出一類克盧斯特曼和（Kloosterman sum）的好的上界，由此可以較好地處理由Rosser-Iwaniec篩法產生的形式極為靈活的餘項，解決了這一困難就相應能夠擴大篩法的水平。

長期以來，在篩法中有一個難以克服的障礙，名為「奇偶原則」或「奇偶障礙」。菲爾茲獎、沃爾夫獎得主，已故數論大師阿特勒⋅塞爾伯格教授在他的「篩法講義」中闡述了他提出「奇偶原則」的緣由及他在這方面的一些思考。而在兩位解析數論大家約翰⋅弗裡德蘭德和亨裡克⋅伊萬涅茨的巨著《篩法》一書中亦對「奇偶原則」進行了一些解讀。

本文開頭提到的那兩位美國數學家在他們於arxiv平臺上發布的論文中宣稱，他們證明了孿生素數猜想的函數域版本即Chowla猜想。他們希冀通過證明這一猜想來繞過「奇偶障礙」。然而一般認為，這一猜想本身難度與對應版本的孿生素數問題相當。截止到本文發布日期，主流數論學界暫未對該結果產生大的漣漪。證明的準確性還有待證實，有學者表示對此抱以審慎的態度。

有人說解決孿生素數問題，就會攻克哥德巴赫猜想。事實上，數論界有一個共識，無論從問題的形式、方法以及已有的一些結果來看，孿生素數猜想和哥德巴赫猜想所需要的技術以及面臨的困難都有很強的相似性。也即是說，解決其中一個問題的方法或許有助於形成解決另一個問題的思路。

「目前，哥德巴赫猜想和孿生素數猜想的最終解決都遇到很大瓶頸。」有學者表示，「孿生素數已有的最好結果是證明到246。如果沒有新的創新，無法將差值縮小到孿生素數猜想所需要的極致：2。而哥德巴赫猜想目前最好的結果也就是陳氏定理，距離『1 1』還有較遠的距離。」

值得一提的是，不同於應用數學，純數學研究不需要預先持有任何特定的實用目的。張益唐認為他的結果沒有實用價值。這不禁讓人想起1940年時數學家哈代寫道的：數學是最質樸和最冷峻的藝術和科學。他堅信數學要有精確的審美觀，一個數學證明應該像簡單而輪廓分明的星座，而不是銀河系中雜亂無章的星群。

責編：李文瑤