中考數學切線的方法（中考數學最熱考點之一）

2023-09-13 02:57:47 2

​切線的判定是最常考的考點之一，從2019年的中考真題中隨手一翻即可看到此類相關的題目。以下地區均有涉及：

2019•大慶、2019•濟寧、2019•衢州

2019•白銀、2019•深圳、2019•揚州

2019•蘭州、2019•廣東、2019•黃石

2019•荊州、2019•鎮江、2019•隨州

2019•雅安、2019•鄂州、2019•廣元

2019•遵義、2019•西藏、2019•本溪

2019•瀘州、2019•宜賓、2019•泰州

2019•棗莊、2019•常德、2019•萊蕪

2019•襄陽、2019•安順、2019•淮安

2019•廣安、2019•達州、2019•貴港

2019•恩施州、2019•湘西州

2019•郴州、2019•遂寧

……

【中考真題】

一、兩角的和為90°

1．（2019•大慶）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點，直線OD與⊙O相交於E，F兩點，P是⊙O外一點，P在直線OD上，連接PA，PC，AF，且滿足∠PCA＝∠ABC．

（1）求證：PA是⊙O的切線．

【分析】

通過等量代換得兩個角的和為90°。

【答案】（1）證明∵D是弦AC中點，

∴OD⊥AC，

∴PD是AC的中垂線，

∴PA＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB ∠CBA＝90°．

又∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠PCA ∠CAB＝90°，

∴∠CAB ∠PAC＝90°，即AB⊥PA，

∴PA是⊙O的切線．

二、三角形的內角和

2．（2019•宜賓）如圖，線段AB經過⊙O的圓心O，交⊙O於A、C兩點，BC＝1，AD為⊙O的弦，連結BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，連結DO並延長交⊙O於點E，連結BE交⊙O於點M．

（1）求證：直線BD是⊙O的切線；

【分析】

通過圓周角定理得到兩個內角和為90°，再得直角。

【答案】（1）證明：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，

∴∠A＝∠ADO＝30°，

∴∠DOB＝∠A ∠ADO＝60°，

∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，

∵OD是半徑，

∴BD是⊙O的切線．

三、通過全等得到兩個角相等

3．（2019•棗莊）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD＝CB，連接DO並延長交CB的延長線於點E．

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關係，並說明理由．

【分析】

證明全等，得到90°。

【答案】（1）證明：連接OC．

∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，

∴△OCB≌△OCD（SSS），

∴∠ODC＝∠OBC＝90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切線．

四、通過平行得到90°

4．（2019•湘西州）如圖，△ABC內接於⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直徑，與AB相交於點G，過點D作EF∥AB，分別交CA、CB的延長線於點E、F，連接BD．

（1）求證：EF是⊙O的切線．

【分析】

先利用垂徑定理的推論得到垂直，再根據平行進行轉化。

【答案】解：（1）∵AC＝BC，CD是圓的直徑，

∴由圓的對稱性可知：∠ACD＝∠BCD，

∴CD⊥AB，

∵AB∥EF，

∴∠CDF＝∠CGB＝90°，

∵OD是圓的半徑，

∴EF是⊙O的切線．

五、無交點作垂直

5．（2019•貴港）如圖，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊於點E，對角線AC與半圓O的另一個交點為P，連接AE．

（1）求證：AE是半圓O的切線．

【分析】

題目未指出圓與直線的交點時，需手動作垂線進行證明。

【答案】（1）證明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，

∵OE⊥OA，

∴∠AOE＝90°，

∴∠BAO ∠AOB＝∠AOB ∠COE＝90°，

∴∠BAO＝∠COE，

∴△ABO∽△OCE，

∴AB/OC=AO/OE，

∵OB＝OC，

∴AB/OB=AO/OE，

∵∠ABO＝∠AOE＝90°，

∴△ABO∽△AOE，

∴∠BAO＝∠OAE，

過O作OF⊥AE於F，

∴∠ABO＝∠AFO＝90°，

在△ABO與△AFO中，

∠BAO=∠FAO，∠ABO=∠AFO，AO=AO，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴OF＝OB，

∴AE是半圓O的切線．

六、通過相似得到角度相等

6．（2019•遂寧）如圖，△ABC內接於⊙O，直徑AD交BC於點E，延長AD至點F，使DF＝2OD，連接FC並延長交過點A的切線於點G，且滿足AG∥BC，連接OC，若cos∠BAC=1/3，BC＝6．

（1）求證：∠COD＝∠BAC；

（2）求⊙O的半徑OC；

（3）求證：CF是⊙O的切線．

【分析】

通過相似也可以得到角度相等，進行轉化。

【答案】（3）∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴OE/OC=OC/OF=1/3，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOC，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF是⊙O的切線．

七、勾股定理的逆定理進行證明

7．（2013•廣州）已知AB是⊙O的直徑，AB＝4，點C在線段AB的延長線上運動，點D在⊙O上運動（不與點B重合），連接CD，且CD＝OA．

（1）當OC=2√2時（如圖），求證：CD是⊙O的切線；

【分析】

已知三角形的三邊，利用勾股定理的逆定理來證明90°。

【答案】（1）證明：連接OD，如答圖①所示．

由題意可知，CD＝OD＝OA=1/2AB＝2，OC=2√2，

∴OD² CD²＝OC²，

由勾股定理的逆定理可知，△OCD為直角三角形，則OD⊥CD，

又∵點D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線．

【總結】

切線是初中階段的重點、熱點，主要是圓的切線。

其實拋物線也有切線。到了高中還有橢圓、雙曲線等圓錐曲線的切線，以及函數圖象的切線。

圓的切線有兩個角度：

圓的切線有幾個角度：

①交點個數；

②垂直半徑，也就是證明90°；

③到圓心的距離為半徑，也就是長度。