圓的內接直角三角形一定過直徑嗎（為什麼圓內接三角形的一邊是直徑）

2023-09-17 14:10:58 21

為什麼圓內接三角形的一邊若是直徑，該邊的對角是90度？

現在用幾何證明角APB=90度。

這是內接角的一個已知且非常有用的性質，它們是同一條弧對著的圓心角的一半，或者是同一弦對著的圓心角的一半。當弦是直徑時，圓心角是2直角和對應的圓周角都是直角。

設P是直徑為AB、圓心為O的圓上的一點，即OA = OB = OP，表示同一圓的三個半徑。這使得三角形成為AOP和BOP等腰

其中，底角相等，它們的和等於一個外角:

∠OAP ∠APO =∠BOP

同樣

∠OBP ∠BPO =∠AOP

但由於∠OAP =∠APO

且∠OBP =∠BPO，則有

2∠APO =∠BOP

同樣

2∠BPO =∠AOP

把兩者相加

2∠APO 2∠BPO =∠AOP ∠BOP=180°。

換句話說,

∠APB =∠APO ∠BPO = 90°。

證法2：利用同弧的圓周角等於圓心角的一半的這個定理，可知AB是圓心角所在的弧為180度，因此其圓周角APB=90度。