數學中的數形結合解題方法（一張圖就能看懂的數學題）

2023-10-04 10:30:05 2

說起平均數，沒有人不知道吧。有不明白的，被平均幾回也懂了。

不過平均數並不只一種，我們平常用的最多的，叫算術平均數。

像左邊這樣兩個數（或者幾個數）加起來，再除以二（或者除以幾），叫做算術平均數。右邊這樣，兩（幾）個數乘起來，再開（幾次）方的，就叫幾何平均數。

幾何平均數聽起來挺面生，其實也很常見。比如說算算菜價，上個月比上上個月漲了3%，這個月又比上上個月漲了5%，那麼平均每個月漲了多少呢，是（3% 5%）÷2=4%？

當然不能這麼算，而要用到幾何平均數：

簡單的說 ，算術平均數適合算可以相加的數，幾何平均數適合算可以連乘的數。

左邊的長方形邊長分別是a和b，面積等於ab。右邊的正方形面積同樣等於ab，邊長等於長方形兩邊長的幾何平均數。長方形的兩邊被取長補短，但面積不變，也就是幾何屬性不變。

算術平均數和幾何平均數，哪個大？

因為平均數一般在統計中使用，我們這裡只討論正數的情況。

我們以a b為直徑畫一個圓，那麼a和b的算術平均數就是這個圓的半徑：

而幾何平均數是經過a、b交點、垂直於a、b的弦的一半，這容易用相似三角形證明。

因為半弦小於等於半徑，所以幾何平均數小於等於算術平均數，且只有在a等於b的時候，兩者相等。

除了算術平均數和幾何平均數，我們還可以在一張圖上，畫下一個平均數全家桶：

上圖中，直徑延長線的部分（即BC）等於b，直徑及延長線（即AC）等於a，且a>b>0。平均數的全家桶用不同顏色的線段表示，且有：

平方平均數>算術平均數>幾何平均數>調和平均數

要看上一期，點這裡：《一張圖就能看懂的數學題（三）：算平方和還有立方和，從此不用記公式》

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