平行四邊形的性質，所有的淚水也都已啟程

2023-03-30 13:21:29 1

平行四邊形是在同一個二維平面內，由兩組平行線段組成的閉合圖形[1]，在歐幾裡德幾許中，平行四邊形是具有兩對平行邊的簡略（非自相交）四邊形。平行四邊形一般用圖形稱號加四個極點依次命名。其相對或相對的側面具有相同的長度，而且平行四邊形的相反的角度是持平的。

中文名

平行四邊形

特點

對邊平行且持平、簡單變形

性質1

兩組對邊別離持平

性質3

對角線相互平分

內角和

360°

外文名

Parallelogram

類別

平面圖形

性質2

兩組對角別離持平

性質4

兩組對邊別離相互平行

邊數

4條

目

錄

1圖形界說

2根本性質

3其他性質

4斷定方法

5輔佐線條

6相關計算

7特別圖形

矩形

菱形

正方形

8根本例題

1圖形界說修改

兩組對邊別離平行的四邊形叫做平行四邊形[1]。

1.平行四邊形歸於平面圖形。

2.平行四邊形歸於四邊形。

3.平行四邊形歸於中心對稱圖形。

2根本性質修改

（矩形、菱形、正方形都是特別的平行四邊形。）

（1）假如一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩組對邊別離持平。

（簡述為「平行四邊形的兩組對邊別離持平」）

（2）假如一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩組對角別離持平。

（簡述為「平行四邊形的兩組對角別離持平」）

（3）假如一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的鄰角互補。

（簡述為「平行四邊形的鄰角互補」）

（4）夾在兩條平行線間的平行的高持平。（簡述為「平行線間的高距離處處持平」）

（5）假如一個四邊形是平行四邊形，那麼這個四邊形的兩條對角線相互平分。

（簡述為「平行四邊形的對角線相互平分」）

（6）銜接恣意四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。（推論）

（7）平行四邊形的面積等於底和高的積。（可視為矩形。）

（8）過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分紅全等的兩部分圖形。

（9）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點.

（10）平行四邊形不是軸對稱圖形，但平行四邊形是中心對稱圖形。矩形和菱形是軸對稱圖形。註：正方形，矩形以及菱形也是一種特別的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質。

（11）平行四邊形ABCD中（如圖）E為AB的中點，則AC和DE相互三等分，一般地，若E為AB上靠近A的n等分點，則AC和DE相互(n+1)等分。

（12）平行四邊形ABCD中，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，則各四邊的平方和等於對角線的平方和。

（13）平行四邊形對角線把平行四邊形面積分紅四等份。

（14）平行四邊形中，兩條在不同對邊上的高所組成的夾角，較小的角等於平行四邊形中較小的角，較大的角等於平行四邊形中較大的角。

（15）平行四邊形的面積等於相鄰兩邊與其夾角正弦的乘積

3其他性質修改

平行四邊形的對邊是平行的（根據界說），因而永遠不會相交。

平行四邊形的面積是由其對角線之一創立的三角形的面積的兩倍。

平行四邊形的面積也等於兩個相鄰邊的矢量交叉乘積的大小。

任何經過平行四邊形中點的線將該區域平分。

任何非簡併仿射變換都選用平行四邊形的平行四邊形。

平行四邊形具有2階（至180°）的旋轉對稱性（假如是正方形則為4階）。假如它也具有兩行反射對稱性，那麼它必須是菱形或長方形（非矩形矩形）。假如它有四行反射對稱，它是一個正方形。

平行四邊形的周長為2（a + b），其中a和b為相鄰邊的長度。

與任何其他凸多邊形不同，平行四邊形不能刻在任何小於其面積的兩倍的三角形。

在平行四邊形的內側或外部結構的四個正方形的中心是正方形的極點。

假如與平行四邊形平行的兩條線與對角線並行構成，則在該對角線的相對側上構成的平行四邊形面積持平[7]

平行四邊形的對角線將其分紅四個持平面積的三角形。

4斷定方法修改

兩組對邊別離平行的四邊形是平行四邊形（界說斷定法）；

一組對邊平行且持平的四邊形是平行四邊形；

兩組對邊別離持平的四邊形是平行四邊形；

兩組對角別離持平的四邊形是平行四邊形（兩組對邊平行斷定）；

對角線相互平分的四邊形是平行四邊形。補充：條件3僅在平面四邊形時成立，假如不是平面四邊形，即使是兩組對邊別離持平的四邊形，也不是平行四邊形。

5輔佐線條修改

一、銜接對角線或平移對角線。[2]

二、過極點作對邊的垂線構成直角三角形。

三、銜接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構成線段平行或中位線。

四、銜接極點與對邊上一點的線段或延長這條線段，結構相似三角形或等積三角形。

五、過極點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。

6相關計算修改

1、（1）平行四邊形的面積公式：底×高（可運用割補法，推導方法如圖）；如用「h」表明高，「a」表明底，「S」表明平行四邊形面積，則S平行四邊形=a*h。[2]

（2）平行四邊形的面積等於兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值；如用「a」「b」表明兩組鄰邊長，α表明兩邊的夾角，「S」表明平行四邊形的面積，則S平行四邊形=ab*sinα。

2、平行四邊形周長：四邊之和。能夠二乘（底1+底2）；如用「a」表明底1，「b」表明底2，「c平」表明平行四邊形周長，則平行四邊的周長c=2(a+b)。

7特別圖形修改

矩形

界說：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

斷定：

1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

2.對角線持平的平行四邊形是矩形；

3.有三個角是直角的四邊形是矩形；

4.對角線持平且相互平分的四邊形是矩形。

性質：

1.矩形具有平行四邊形的全部性質；

2.矩形的對角線持平；

3.矩形的四個角都是90度；

4.矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，別離是每組對邊中點連線地點的直線；對稱中心是兩條對角線的交點。

菱形

界說：有一組鄰邊持平的平行四邊形是菱形。

斷定：

1.一組鄰邊持平的平行四邊形是菱形；

2.對角線相互筆直的平行四邊形是菱形；

3.四邊持平的四邊形是菱形。

性質：

1.菱形具有平行四邊形的全部性質；

2.菱形四邊持平；

3.菱形每條對角線平分一組對角；

4.菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。

正方形

界說：一組鄰邊持平且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

斷定：

1.一組鄰邊持平的矩形是正方形；

2.有一個角是直角的菱形是正方形；

3.對角線相互筆直的矩形是正方形；

4.對角線持平的菱形是正方形。

性質：

正方形具有矩形和菱形的全部性質。