地理怪題目（有名的怪題）

2023-05-31 05:04:34 1

節選自《幫你學數學》，張景中著，中國少年兒童出版社。

有這麼一個故事，曾經在一些國際數學家聚會中流傳。他們把這個故事裡提出的問題，叫做「看來幾乎無法回答的問題」。

現在，我把這個故事寫在下邊，作一些分析說明。

有一個一元二次方程。它的兩個根都是大於1的正整數，而且兩根的和不超過40。這個方程寫出來是：x²-px q=0（紙上p、q處寫的是數）。

有人把寫有這個方程的紙條從中間撕開，把帶有數p的一半給了數學家甲，把帶有q的另一半給了外地的數學家乙。

於是，甲知道了兩根的和（p），乙知道了兩根的積（q）。

過了一會兒，甲打電話告訴乙說：「我斷定，你一定不知道我手中的p。」

又過了一會兒，乙回電活說：「可是，我已經知道你的p是多少了。」

又過了一會兒，甲回電話說：「我也知道你的q了。」

請問：這個方程的兩個根是什麼？

這個問題，怪就怪在沒有已知數，好像很難。其實，仔細看明問題，經過一番分析，用算術知識便能解答。

關鍵在於：甲所說的「你一定不知道我手中的p」意味著什麼。

它意味著p一定不能寫成兩個素數的和。

因為p=a b，要是a、b都是素數，那麼，乙手中拿到的q，就有可能是ab，要是q=ab，q就只有一種分解因子的方法，乙便知道手中的p了。

注意！甲斷定，乙一定不知道p。這就是說乙手裡拿的q，一定不是兩個素數的積。也就是說甲自己拿到的p，不是兩個素數的。

這樣，乙就可以一個一個地檢查，在4到40之中，把不能分成兩個素數的和的數，全部找出來。它們是：

11、17、23、27、29、35、37。

現在，乙已經知道甲手中的不外乎是這7個數了。

那麼，甲、乙手裡是什麼數時，乙能準確地說出甲手中的p，同時甲又能準確地說出乙手裡的q呢？

先看11。

要是乙手裡是18、24或者28，那麼，因為

18=2×9＝3×6，只有2 9在這7個數之中；

24=3×8＝2×12＝4×6，只有3 8在這7個數之中；

28＝4×7＝2×14，只有4 7在這7個數之中；

可見，乙手裡拿到18、24或者28，都能斷定甲手中是11；可是這時，甲卻不能斷定乙手裡是18，還是24，還是28。

所以，甲手裡不是11。

再看23。

130＝10×13＝5×26＝2×65，只有10 13在這7個數之中；

126＝14×9＝7x18＝……只有14 9在這7個數之中。

可見乙手裡拿到130或者126，都能斷定甲手裡是23；可是這時，甲卻不能斷定乙手裡是130，還是126。

所以，甲手裡不是23。

同樣的道理，甲手裡不是27，不是29，不是35，不是37。最後，只剩下一種可能：甲手裡拿到了17。

甲手裡的p是17，乙手裡可能拿到：

30=2×15，42=3×14，60=5×12，66=6×11，

70＝7×10，72＝8×9，52＝4×13。

要是乙拿到30，30＝5×6，5＋6＝11，乙就不能斷定甲有到的是11，還是17。

所以，乙拿到的不是30。

同樣的道理，乙拿到的不是42，不是60，也不是66、70、72。最後，只剩下一種可能：乙拿到的是52。

52＝4×13＝2×26。因為2＋26＝28，不在這7個數之中，所以乙可以斷定甲拿到了17。

結果，這個方程的兩個根是4和13。

以上解決問題的方法叫做枚舉法，又叫做窮舉法，就是把各種可能加以分析，從中找出解答。

許多實際問題，現在只能用枚舉法來解決，這是無可奈何的辦法。所以，它也可以算是一種解題的好辦法

好玩的數學

mathfun

↑

好玩的數學以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目標，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

↓

點閱讀原文，發現更多好玩的數學。