高等數學中函數有哪些類型（高等數學函數的概念）

2023-05-29 20:13:52

設數集D⊂R，則乘映射f: D->R為定義在D上的函數，通常記為 y=f(x), x∈D, 其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作D(f), 即D(f)=D。

函數的定義域中，對每個x∈D,按照對應法則f， 總有唯一確定的值y與之對應，這個值稱為函數f在x處的函數值，記作f(x), 即y=f(x), 因變量y與自變量x之間的這種依賴關係，通常稱為函數關係，函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f的值域，記作R(f), 或f(D)，即 R(f)=f(d) = {y∣f=f(x), x ∈ D}

需要指出，按照上述定義，記號f和f(x)的含義是有區別的，前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則，而後者表示與自變量x對應的函數值，但為了敘述方便，習慣長常用「f(x), x∈ D」或「y=f(x), x∈ D」來表示定義在D上的函數，這時應理解為由它所確定的函數了f。

表示函數的記號是可以任意選取的，除了常用的f外，還可以用其他的英文字母或者希臘字母，如"g, F"等等， 相應地，函數可記作y=g(x),y=F(x)等等， 有時還可直接用因變量的記號來表示函數，即把函數記作y=y(x), 但在用一個問題中，討論到幾個不同的函數時，為了表示區別，需要用不同的記號來表示它們。

函數是從實數集到實數集的映射，其值域總在R內，因此構成函數的要素是： 定義域D(f), 對應法則f. 如果兩個函數的定義域相同，對應法則也相同，那麼這兩個函數就是相同的，否則就是不同的。

函數的定義域通常按以下兩種情況來確定，一種是對有實際背景的函數，根據實際背景中變量的實際意義確定，例如，在自由落體運動中，設物體下落的時間為t, 下落距離為s, 開始下落的時刻t=0, 落地的時刻t=T, 則s與t之間的函數關係是：

s=(1/2) * g * (t^2), t∈[0, T]，

這個函數的定義域就是區間[0, T], 另一種是抽象地用算式表達函數，通常約定這種函數的定義域是使得算式有意義的一切實數組成的集合，這種定義域稱為函數的自然定義域，在這種約定下，一般的用算式表達的函數可用「y=f(x)」表達，而不必在表出D（f）, 例如，函數y=√（1-x^2）的定義域是閉區間[-1, 1], 而函數y=1/√(1-x^2)的定義域是開區間(-1, 1)。