北師大版數學七下壓軸題（北師大七年級數學下）

2023-07-30 15:33:52

等腰三角形是期末考試的重點，考查形式多樣，在解決與等腰三角形的邊或角度問題時，如果沒有明確等腰三角形的邊或角，一定要進行分情況討論，防止漏解。常見的分情況的標準有：邊為底邊或腰，角為底角或等角，三角形為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形。

01腰和底邊不明確

例題1：已知實數x，y滿足|x-5| （y-10）^2=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（ ）

分析：絕對值和平方都具有非負性，利用非負數的性質求出x、y，再根據三角形的三邊關係定理確定等腰三角形的三邊即可解決問題。

解：∵|x-5| （y-10）^2=0，∴x-5=0，y-10=0，解得x=5，y=10，

以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是10 10 5=25，

∵5 5=10，∴5，5，10不可能構成三角形．

故以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是25.

例題2：定義：等腰三角形的底邊與一腰的比值稱為「完美比」，若等腰△ABC的周長為13cm，AB=5cm，則它的「完美比」k=

分析：分兩種情況：AB為腰或AB為底邊，再根據三角形周長可求得底邊或腰的長度，即可得到它的完美k．

解：當AB腰時，則底邊=3cm，三邊分別為5cm、5cm、3cm，能構成三角形，此時，完美比k=3/5=0.6；

當AB為底邊時，則腰為4cm，三邊分別為5cm、4cm、4cm，能構成三角形，此時，完美比k=5/4=1.25.

02頂角和底角不明確

例題3：在等腰三角形ABC中，∠A=2∠B，則∠C的度數為（ ）

分析：分∠A是頂角和底角兩種情況分類討論列出方程求解即可．

解：設∠B=x°，則∠A=2x°，

當∠A是頂角時，∠A 2∠B=180°，

即：4x=180，解得：x=45，此時∠C=∠B=45°；

當∠A是底角時，2∠A ∠B=180°，

即5x=180，解得：x=36°，此時∠C=2∠B=72°，

綜上所述，∠C的度數為45°或72°．

例題4：如果等腰三角形的兩個內角之比為1：4，求這個三角形三個內角各是多少度？

解：（1）當較小角為底角時，設較小角為x，

則x x 4x=180°，解得x=30°，則4x=120°．

故三角形三個內角的度數分別為30°、30°、120°；

（2）當較大角為底角時，設較小角為x，

則x 4x 4x=180°，解得x=20°，則4x=80°．

故三角形三個內角的度數分別為20°、80°、80°

03等腰三角形的腰與高的夾角

例題5：若等腰三角形一腰上高與另一腰的夾角為25°，則這個等腰三角形的頂角是（ ）

分析：等腰三角形的高相對於三角形有三種位置關係，三角形內部，三角形的外部，三角形的邊上．根據條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應分兩種情況進行討論．

解：當高在三角形內部時（如圖1），頂角是65°；當高在三角形外部時（如圖2），頂角是115°．

此題主要考查等腰三角形的性質，熟記三角形的高相對於三角形的三種位置關係是解題的關鍵，本題易出現的錯誤是只是求出65°一種情況，把三角形簡單的認為是銳角三角形．因此此題屬於易錯題。

04腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角

例題6：已知等腰△ABC，AB=AC，若AB邊上的垂直平分線與直線AC所夾的銳角為40°，則等腰△ABC底角的度數為

分析：作出圖形，分①DE與線段AC相交時，根據直角三角形兩銳角互餘求出∠A，再根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；②DE與CA的延長線相交時，根據直角三角形兩銳角互餘求出∠EAD，再求出∠BAC，然後根據等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解.

解：①DE與線段AC相交時，如圖1，∵DE是AB的垂直平分線，∠AED=40°，∴∠A=90°-∠AED=90°-40°=50°，

∵AB=AC，∴∠ABC=1/2（180°-∠A）=1/2（180°-50°）=65°；

②DE與CA的延長線相交時，如圖2，∵DE是AB的垂直平分線，∠AED=40°，∴∠EAD=90°-∠AED=90°-40°=50°，

∴∠BAC=180°-∠EAD=180°-50°=130°，∵AB=AC，

∴∠ABC=1/2（180°-∠BAC）=1/2（180°-130°）=25°，

綜上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小為65°或25°．