幾何光學與成像理論（魅力的幾何光學）

2023-08-05 20:45:07 1

光，是我們這個世界最常見也是最神秘的現象。其實人類從文明開始的時候，就已經探索光了。在幾乎所有的神話裡，總是會有類似的開頭，光明劈開黑暗和混沌，世界開始運轉。光從人類文明一開始就被認為是這個世界運轉的終極奧義，代表著未來，生命，活力。可是，光到底是什麼？哥本哈根學派有一句名言，先有自然才有人類，但是先有人類才有自然科學。人類天生是擁有好奇心的群體，我們在認識自然的時候，總是希望能夠搞明白一件事情背後的原因，才能罷休。

對於"光是什麼"這個問題，從久遠的幾千年前人們就試圖去用理論解釋。最開始人們認為，光是從我們眼睛中發射出去的東西，碰到物體了，我們就看到了這個物體。但是慢慢的發現有一個問題：如果在一片漆黑的夜晚，我們睜開眼睛，也看不到東西。如果光是從我們眼睛裡發出來的話，不應該看不見東西。

公元前300年左右，歐幾裡得在著作《光學》中寫到了他對光性質的研究。歐幾裡得設想光線筆直傳播，用數學方法研究並闡述了反射定律。之後託勒密在他的著作裡對於光的反射做了詳細的研究，給出了完整的光的反射理論，這理論能夠分析光從平面鏡、圓球面鏡、圓柱面鏡等等凹面形或凸面形鏡子的反射。並且設計了一些光的折射的實驗。由此人類，開始認識到光的基本的傳播規律。

時間拉到千年以後的中世紀，整個歐洲處於科學的黑暗時期，而同時代的阿拉伯科學家登上了歷史舞臺，他們進一步發展了光學理論。比如看到物體的基本原理，是因為光通過物體反射到我們眼睛裡成像，我們才能看到，而不是因為我們眼睛發射光線去碰撞物體。比如為巴格達宮廷效勞的伊朗學者伊本·沙爾在專著《論點火鏡子與透鏡》裡最先正確地表述出折射定律。不過沒有得到重視。

到了近代科學時代，對於光學的研究越來越多，荷蘭物理學家威理博·斯涅爾總結了前人的研究，於1621年發表了光的折射定律的數學公式。關於幾何光學的一些基本定理，都有了基本的研究。

一般科學研究到了這個階段，會出現一個極簡的基本定理，就像超級大佬牛頓橫空出世，用幾條基本的定理來推導萬事萬物的運動一樣。

到了1662年，被後世稱為"業餘數學之王"的費馬，給出了一個幾何光學的基本定理：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。怎麼理解這個規律呢？正常情況光是沿直線傳播的，因為兩點之間直線最短。但是光從空氣進入水中，不是沿一條直線傳播？而是發生了折射，這樣距離不是變長了麼？

但是我們知道，光在空氣中傳播速度非常快，而在水中傳播速度會變得很慢。如果沿直線傳播，在水中走過的路程，會比按照折射定律發生的路徑要長，所用的時間反而更多，所以需要一個折射，選擇用時最短的路徑。

通過這條理論，可以推出真空中光沿直線傳播，光的反射定律，光的折射定律。當然費馬的這個定理後來做了一定程度的修正，改成了一個更為嚴謹的數學表述，（費馬原理的最準確表述應該是：過兩個定點的光走且僅走光程的一階變分為零的路徑）。總之，通過費馬定理，我們能推導出光的很多運動規律。

下面看看光的反射知識應用的典型數學問題案例吧

下圖的這個人，現在要回家了，但是，他打算在回家前先去河邊喝一口水。

那麼，他應該怎麼走才能使得喝水後回家的路徑最短呢？我們把人的位置標為點A，房子的位置標為點B，河岸用直線l來表示，同時我們把河岸看成一面鏡子，點B在鏡子中就有個鏡像B'。

接下來我可以告訴大家哪條路徑才是最短的。先在河岸線上任選一點C--D，人走到D點喝完水再回家的路徑長度是AC＋CB，注意了CB在鏡子中的鏡像是CB'，所以路徑長是AC＋CB＝AC＋CB'。但是AC＋CB'是連接A和B'的折線ACB'的長度，根據"線段公理"，A和B'之間，線段AB'才是最短的，所以AC＋CB＝AC＋CB'≥AB'。也就是說不論你怎麼走，路程都不會小於AB'。

講到這裡，最短路徑的選擇也就呼之欲出了。把線段AB'與河岸線的交點記為D，這時AD＋DB＝AD＋DB'＝AB'。所以，折線ADB就是喝水後再回家的最短路徑！

現在我們來提一個稍微複雜一點的問題：下圖的這個人帶著一隻羊，他打算先去河邊喝一口水，然後去草地上把羊餵飽最後再回家。那麼，他應該怎麼走才能使得先喝水，再餵草，最後回家的路徑最短呢？

其實方法和上一節非常類似，只不過稍稍複雜一點。我們把人與羊的位置標為點A，房子的位置標為點B，河岸用藍線來表示，草地邊界線用綠線來表示，同時我們把河岸和草地邊界看成兩面鏡子，點B在上面鏡中就有個鏡像B'，而點B'在下面鏡中又有個鏡像B''。

先在河岸線和草地邊界上分別任選兩點C，D，人和羊走到C點喝完水，再去D點餵草，最後再回家的路徑長度是AC＋CD＋DB(下圖實線)。假設點D在下面鏡中鏡像為D'，那麼路徑長是：

但是AC＋CD'＋D'B''是連接A和B''的折線ACD'B''的長度，根據"線段公理"，A和B''之間，線段AB''才是最短的，所以AC＋CD＋DB≥AB''。也就是說不論你怎麼走，路程都不會小於AB''。

考考您：現在如何選取路徑，使得長度剛好等於AB''？

剛才的鏡子都是假設的，現在我們在下圖上下邊要用兩個真正的鏡子。假設B點處是一個光源，我們站在A點觀察。在A點可以看到許多條光線，因為在兩個鏡子的互相映照下，B點光源有無數個鏡像光源，比如下圖中的兩個鏡像光源B'，B''。而其中最亮的光線，也是最短的光線，肯定是由B點直接照射向A 點的光線。

但現在我在B點前方設置一個紫色障礙，這時，從A點看到的最亮的，也是最短的光線就是經過一次折射後照過來的兩根光線(如上圖所示)，也就是分別從鏡像光源B'，B''照射過來的兩根光線。注意了，這兩根光線其實分別對應著上兩節中喝完水直接回家，或餵完草直接回家的最短路徑。這裡涉及到光學的一個原理：在均勻介質中，光總是沿著最短路徑傳播。

接下來，我們在A，B兩點周圍分別設如下的紫色障礙，這時上面的兩條折射光線已經被擋住了。現在，從A點看到的最亮的，也是最短的光線就是經過兩次折射後照過來的光線(如上圖所示)。而這根光線對應著上一節中喝完水，接著餵草，最後回家的最短路徑。所以光能幫我們找到最短路徑，實際上每個帶限制條件(比如先喝水還是先餵草，喝幾次水，餵幾次草)的最短路徑，都對應著從B點到A點的一根光線。