三角形幾何題及答案（考驗想像力創造力）

2023-08-13 05:47:29 4

題目：

正▲DEF是正▲ABC的內接三角形，G 是DF的中點，延長BG交AC於H.證明：BG=GH

知識點回顧：

粉絲解法1：

因為g是d f的中點。所以過g點作bd的平行線，交於bf於o點，所以o是b f的中點。同理過g點作h c的平行線交於i點，這樣所形成的三角形。go i為小等邊三角形。根據知條件三角形bd f。全等於三角形。af c。所以bd是等於fc。所以小等邊三角形的邊長正好是fc的一半。因為o是b f的中點。所以bo oi=fo-oi fc，所以i是bc的中點，這道題也就迎刃而解了。

粉絲解法2：

易證△BDF≌△CFE

得BD＝CF

取BF、BC中點M連接GM，則GM∥BD，＜GMC＝60°

GM＝1/2BD

過G點作GN∥CH，則

＜GNB＝60°，GN＝1/2CH，

∴△GMN為正△

∴△CFH為正△

FH＝FC＝BD，FH∥BD

連接DH、FH

則BDHF為平行四邊形

∴BG＝GH

粉絲解法3：

過D，G，F做AC邊垂線，可證G到AC距離等於D和F到AC距離和的一半，而D和F到AC距離和又為正三角形的高，即G的AC距離等於B到AC距離的一半，從而可證BG＝GH。

粉絲解法4：

過G點分別作AB與AC的平行線，分別與BC的交於點M和N，L是FC的中點，FL=LC,可以證明△GMN是正三角形，又因為GD=GF,可以得出MN=GM=1/2BD，BM=MF,因為可證得DB=FC,可以推得BN=CN,在△BHC中，BG=GH

粉絲解法5：

粉絲解法6：

S△AGB＝1／2S△AFB，S△CGB＝1／2S△CDB，又S△AFB＋S△CDB＝S△AFB＋S△AFC＝S△ABC，從而S△AGB＋S△CGB＝1／2S△ABC，從而可證S△AGC＝S△ABC－（S△AGB＋S△CGB）＝1／2S△ABC，從而BG：GH＝（S△AGB＋S△CGB）：S△AGC＝1：1。

粉絲解法7：

過G分別作AB，CD平行線分別交BC於M，N。易知△GMN為正三角形，GM＝MN＝1／2BD＝1／2CF，易知N為BC中點，可得G為BH中點。

粉絲解法8：

首先，根據對稱關係，很容易知道

BD＝FC，(根據△CEF≌△BFD也能知道)

以B為原點，BC為x軸建立平面直角坐標系，設C(2，0) A(1，√3)

lAC：y＝-√3(x－2)………………①

設|CF|＝|BD|＝a

則F(2-a，0) D( a/2，(√3a)/2 )

G( (4-a)/4，(√3a)/4 )

lBG：y＝[(√3a)/(4－a)] x………………②

①②聯立解得

xH＝(4－a)/2

因為B，G，H三點共線

xB＋xH＝2xG

所以，G是BH中點，BG＝GH得證