平行四邊形的性質和判定技巧（八年級學生把這五種方法掌握牢）

2023-04-30 18:50:46

八年級學生在學習平行四邊形的判定時，常常不知道該如向運用題中的條件，不知道該用哪種方法去判定一個四邊形是平行四邊形。要學好平行四邊形的判定需把這五種方法區分清、掌握牢。

方法一:(定義法)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

當題中條件已有一組對邊平行時，再證明另一組對邊也平行即可。

例1:如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A，C兩點作AE丄BD，CF丄BD，垂足分別是E，F，延長AE，CF分別交CD，AB於M，N。(1)求證:四邊形CMAN是平行四邊形。(2)已知DE=4，FN=3，求BN

分析:(1)由ABCD為平行四邊形可知CM//AN，

由AE丄BD，CF丄BD可知AE//CF從而可得

CMAN是平行四邊形。

證明:∵ABCD為平行四邊形

∴AB//CD，又∵M，N分別在DC，AB上

∴CM//AN

∵AE丄BD，CF丄BD

∴AE//CF又∵AE，CF分別交CD，AB於M，N

∴AM//CN

∴四邊形CMAN是平行四邊形。

分析(2)題中有垂直時，常把已知線段轉化為同一個三角形的邊，再利用勾股定理求解。

解:∵四邊形CMAN是平行四邊形

∴CM=AN

∵四邊形ABCD為平行四行四邊形

∴AB=CD，AB//CD

∴DM=BN，∠MDE=∠FBN

又∵AE丄BD，CF丄BD

∴∠AEM=∠BFN=90°

∴△MED≌△NFB

DE=BF=4，又∵FN=3

由勾股定理可得BN²=BF² FN²=4² 3²=25

∴BN=5

方法二:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一般題中所給條件可直接得出一對對邊平行，一般再利用題中其它條件，通過證明兩三角形全等得出另一對對邊也相等。

例:如圖:在平行四邊形ABCD中，分別以AD，BC為邊向內作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，

求證:四邊形BEDF是平行四邊形。

分析:先由題中條件給相等的邊作相同的標記，可發現四邊形DEBF中DE=BF，所以需再證DF=BE，根據圖中標記可證△DFC≌△BEA即可證明。

證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴DC=AB，AD=BC，∠DCB=∠DAB

∵△ADE和△BCF為等邊三角形

∴AD=DE=AE=BC=CF=BF，∠DAE=∠BCF=60°

∴DE=BF，AE=CF，∠EAB=∠FCB

在△DFC和△BEA中

DC=AB，∠EAB=∠FCB，AE=CF

∴△DFC≌△BEA

∴DF=BE，又DE=BF

∴四邊形BEDF為平行四邊形。

方法三:一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形

當題中可找出一對邊平行時，也可再證這對邊相等；如果相等時也可再證這對邊平行。

例:如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=CF，M，N分別是DE，BF的中點，求證:四邊形MFNE是平行四邊形

分析:由題中所給條件易知AD=BC，∠B=∠C

從而可得△ADE≌△CBF，由此得DE=BF，再證平行即可。

證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AD=BC，∠A=∠C，又AE=CF

∴△ADE≌△CBF

∴DE=BF，∠AED=∠BFC

又∵M，N分別是E，BF中點

∴ME=FN

在平行四邊形ABCD中，AB//DC

∴∠AED=∠EDC，又∵∠AED=∠BFC

∴∠BFC=∠EDC

∴ME//FN又∵ME=FN

∴四邊形MFNE是平行四邊形。

四、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

當圖形中有對角線時常用此方法。

例:如圖，平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交於點E，F，GH過點O，與AB，CD分別相交於點G，H，連接EG，FG，FH，EH。

求證:四邊形EGFH是平行四邊形。

分析:由圖中畫出了EGFH的對角線，可證OE=OF，OG=OH，根據所作標記可證△AOE≌△COF，同理可證△AOG≌△COH。

證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD//BC

∴∠EAO=∠FCO

∵O是AC中點

∴OA=OC

又∵∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF

同理可得OG=OH

∴四邊形EGFH是平行四邊形。

五:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

當題中所給條件與角有關係時常用這種方法，這種方法判定平行四邊形時用得較少。

如圖在平行四邊形ABCD中，BE，DF分別是

∠ABC與∠ADC的角平分線，求證:四邊形BFDE是平行四邊形。

證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴∠A=∠C，∠ABC=∠ADC

又∵BE，DF分別是∠ABC與∠ADC的角平分線

∴∠ABE=∠EBF=1/2∠ABC，

∠CDF=∠EDF=1/2∠ADC

∴∠EBF=∠EDF，∠ABE=∠CDF

∵∠BED=∠A ∠ABE

∠BFD=∠C ∠CDF

∴∠BED=∠BFD，又∠EBF=∠EDF

∴四邊形BFDE是平行四邊形。

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