一元二次方程難學嗎（總說二元一次方程不好學）

2023-05-17 14:31:11 1

經常聽到有童鞋抱怨7年級的二元一次方程不好學，其實歸根結底就是對一元一次方程掌握程度不深，因為一元一次方程就是在為你學習二元一次方程打基礎的。儘管如此，你們也不必擔心，數學加小編今天就帶著你們再次領率一遍一元一次方程，鞏固你們的後防線！

一元一次方程

一、基礎知識點及定義：

1.等式與等量:用「=」號連接而成的式子叫等式.注意:「等量就能代入」！

隨手一試：根據下面的條件能列出方程的是:（ ）

C.a、b之和的60 D.甲的3倍與乙的2倍之差

2.等式的性質：

等式性質1：等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，所得結果仍

是等式；

隨手一試：(1)下列變形正確的是（ ）

A.若x=y，則x 2m=y 2m B.若a=b，則a c=b﹣c

(2)已知ax=ay，下列等式中成立的是（ ）

A.x=yB.ax 1=ay﹣1C.ax=﹣ayD.3﹣ax=3﹣ay

3.方程：含未知數的等式，叫方程.

其中是方程的個數為（ ）

A.3 B.4C.5D.6

4.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(含未知數項的係數不是零)且

未知數的指數是1(次)的整式方程叫做一元一次方程。一般形式：ax b=0

(x是未知數，a、b是已知數，且a≠0).最簡形式：ax=b(x是未知數，ab是

已知數，且a≠0).

隨手一試:(1)下列方程中，是一元一次方程的為（ ）

A.2 B.3 C.4 D.7

(3)已知（a 1）x2﹣(a﹣1)x 8=0是關於x的一元一次方程，求代數式

60（2x 2a）(x﹣a) 208的值．（ ）

A.208 B.-208 C.2008 D.-2008

5.解一元一次方程

方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解；注意：

「方程的解就能代入」驗算！

解方程：求方程的解的過程叫做解方程。

等式性質1：等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，所得結果仍

是等式；

等式性質2：等式兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數，所得結果仍是等式；

(例題解析)x=﹣2是下列（ ）方程的解．

解析：A.把x=﹣2代入方程得：左邊=﹣10 7=﹣3，右邊=7﹣4=11，左邊≠右

邊，即x=﹣2不是方程的解；

B.把x=﹣2代入方程得：左邊=﹣12﹣8=﹣20，右邊=﹣16﹣4=﹣20，左邊=右

邊，即x=﹣2是方程的解；

C.把x=﹣2代入方程得：左邊=﹣6﹣2=﹣8，右邊=4﹣2=2，左邊≠右邊，

即x=﹣2不是方程的解；

即x=﹣2不是方程的解，

故選B．

隨手一試：如果2x 3=5，那麼6x 10等於（ ）

A.15B.16C.17D.34

6.移項

移項：方程中的某些項改變符號後，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的

變形叫做移項.

移項依據:(1)移項實際上就是對方程兩邊進行同時加減，根據是等式的性質1；

(2)係數化為1實際上就是對方程兩邊同時乘除，根據是等式的性質2.

移項作用：移項時一般把含未知數的項向左移，常數項往右移，使左邊對含

未知數的項合併，右邊對常數項合併.

注意：移項時要跨越「=」號，移過的項一定要變號。

隨手一試：下列方程變形中，正確的是（ ）

A.方程3x﹣2=2x 1，移項，得3x﹣2x=﹣1 2

B.方程3﹣x=2﹣5(x﹣1)，去括號，得3﹣x=2﹣5x﹣1

7.解一元一次方程的一般步驟：整理方程、去分母、去括號、移項、合併同

類項、未知數的係數化為1；(檢驗方程的解).

注意：去分母時不可漏乘不含分母的項。分數線有括號的作用，去掉分母后，

若分子是多項式，要加括號.

（例題解析）方程3x 2(1﹣x)=4的解是（ ）

分析：方程去括號，移項合併，把x係數化為1，即可求出解

解：去括號得：3x 2﹣2x=4，

解得：x=2，

故選C．

A.1﹣3(x﹣2)=2(x 1) B.6﹣2(x﹣2)=3(x 1)

C.6﹣3(x﹣2)=2(x 1) D.6﹣3x﹣6=2x 2

經過上面的嘗試，現在來解解下面幾個方程吧，相信你一定可以的

4x-3(20-x)=6x-7(9-x) 4x-3=4-2x

8.用方程解決問題

列一元一次方程解應用題的基本步驟：審清題意、設未知數(元)、列出方

程、解方程、寫出答案。關鍵在於抓住問題中的有關數量的相等關係，列

出方程.

解決問題的策略：利用表格和示意圖幫助分析實際問題中的數量關係

(例題分析)：一個飼養場裡的雞的只數與豬的頭數之和是70，雞、豬的腿

數之和是196，求雞的只數？

審題：關於雞兔同籠相關問題：已知雞與豬的頭數之和以及兩

者腿數之和.

設未知數：設雞的只數是x，則豬的頭數為(70﹣x)頭，根據雞、豬

的腿數之和是196，列方程．

列方程：解：設雞的只數是x，則豬的頭數為(70﹣x)頭，

由題意得，2x 4(70﹣x)=196．

解方程： 2x 4(70-x)=196

解：

去括號，得： 2x 280-4x=196

移項，得： 2x-4x=196-280

合併同類項，得： -2x=-84

係數化為1，得： x=42

答： 雞的只數是42隻.

隨手一試：（1）某工廠加強節能措施，去年下半年與上半年相比，月平均

用電量減少2000度，全年用電量15萬度．求上半年每月平均用電量？

*（2）中國古代問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：「把你的羊給我一隻，

我的羊數就是你的羊數的2倍」．乙回答說：「最好還是把你的羊給我一隻，

我們羊數就一樣了」．求甲有多少只羊？

9.列一元一次方程解應用題：

讀題分析法：多用於「和、差、倍、分」等問題

仔細讀題，找出表示相等關係的關鍵字，例如：「大、小、多少、是、共、

合、為、完成、增加、減少、配套」之類的，利用這些關鍵字列出文字等式，

並且根據題意設出未知數，最後利用題目中的量與量的關係填入代數式，得

到方程.

(例題分析): 某車間原計劃13小時生產一批零件，後來每小時多生產10件，

用了12小時 不但完成任務，而且還多生產60件，設原計劃每小時生產x件

零件，則所列方程為（ ）

A.13x=12(x 10) 60B.12(x 10)=13x 60

分析：首先理解題意，找出題中存在的等量關係：實際12小時生產的零件數

=原計劃13小時生產的零件數 60，根據此等式列方程即可．

解：設原計劃每小時生產x個零件，則實際每小時生產(x 10)個零件．

根據等量關系列方程得：12(x 10)=13x 60．

故選B

隨手一試：(1)某企業為嚴重缺水的甲、乙兩所學校捐贈礦泉水共2000件．

已知捐給甲校的礦泉水件數比捐給乙校件數的2倍少400件．設該企業捐給

乙校礦泉水x件，則下列相等關係成立的是（ ）

A．2x﹣400=2000 B．2x 400=2000

C．2x﹣400=2000﹣xD.2x 400=2000﹣x

(2)某班共有學生x人，其中男生人數佔35%，那么女生人數是（ ）

畫圖分析法:多用於「行程問題」

利用圖形分析數學問題是數形結合思想在數學中的體現，仔細讀題，依照

題意畫出有關圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關係是

解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據，最後利用量與量之間的關係(可

把未知數看做已知量)，填入有關的代數式是獲得方程的基礎.

(例題分析)：小明從家裡騎自行車到學校，每小時騎15km，可早到10分鐘，

每小時騎12km就會遲到5分鐘，問他家到學校的路程是多少km？設他家到學

校的路程是xkm，則據題意列出的方程是（ ）

分析：設他家到學校的路程是xkm，根據每小時騎15km，可早到10分鐘，

每小時騎12km就會遲到5分鐘，列方程即可

解：設他家到學校的路程是xkm，

故選B．

隨手一試:一艘貨船從甲岸順流而下到達乙岸再返回，已知船在靜水中的速

度是40km/h，水流速度是10km/h，且從甲岸順流到達乙岸比從乙岸逆流到達

甲岸所花的時間少1h．設從甲岸到達乙岸的路程為xkm 下列所列方程正

確的是（ ）

10.實際問題的常見類型：

(1)行程問題：包括[相遇、追及(同時不同地出發、同地不同時出發)]

(單位：路程—米、千米；時間—秒、分、時；速度—米／秒、米／分、

千米／小時)

(例題分析)某人從家裡騎自行車到學校．若每小時行15千米，可比預定的時

間早到15分鐘；若每小時行9千米，可比預定的時間晚到15分鐘；求從家裡到

學校的路程有多少千米？

分析：找出合適的等量關係，由題意可知，此人不管以多大的速度到達學校路

解：設從家到學校有x千米，

12x 45=20x﹣45

8x=90

解得， x=11.25

答：從家裡到學校的路程有11.25千米．

隨手一試：甲、乙兩人繞湖競走，繞湖一周4000m，乙的速度是80m/min，

（例題分析）某項工作甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成，若甲先做1天，

然後甲，乙合作完成此項工作，求甲一共做了多少天？

分析：首先要理解題意找出題中存在的等量關係：甲完成的工作量 乙完成

的工作量=總的工作量，根據題意我們可以設總的工作量為單位「1「，

根據效率×時間=工作總量的等式，分別用式子表示甲乙的工作量即可列出

方程．

解：設甲一共做了x天，則乙一共做了(x﹣1)天．

隨手一試:某工程，甲單獨做12天完成，乙單獨做8天完成．現在由甲先做3

天，乙再參加做，求完成這項工程乙還需要幾天？

（例題分析）某種商品的進價為每件180元，現按標價的九折銷售時，利潤率

為15.2%，求這種商品的標價為多少元？

分析：設這種商品的標價為每件x元，根據按標價的九折銷售為0.9x，利潤率

解：設這種商品的標價為每件x元，

由題意得，0.9x﹣180=180×15.2%．

解得：x=230.4

答：這種商品的標價為230.4元.

隨手一試:(1)某商人一次賣出兩件衣服，一件賺了15%，另一件賠了15%，售

價均為1955元，則在這次生意中商人是賠了還是賺了？

(2)某電器按成本價提高30%後標價，再打八折銷售，售價為2080元．求該電

器的成本價為多少元？

（例題分析）李明五年前存了一份3000元的教育儲蓄，今年到期時的本利和

為3600元，請你幫李明算一算這種儲蓄的年利率.

即可列出相關方程求解.

解：設年利率為x.

由題意得， 3000 3000×x×5=3600

解得， x=0.04

答；年利率為4％.

隨手一試：小張以兩種形式儲蓄了500元，第一種的年利率為3.7%，第二種

的年利率為2.25%,一年後得到利息為15.6元，那麼小張以這兩種形式儲蓄的

錢數分別是多少？

（例題解析）某種酒精溶液裡純酒精與水的比例為1︰2，現在加進純酒精120g

後配成濃度為75%的酒精溶液，問原有酒精溶液多少克？

出方程.

設原來有酒精溶液為xg,則現在的酒精溶液為（x 120）g，水為2x.

解：設原來有酒精溶液為xg,

解得， x=24

答：原來有酒精溶液為24g.

隨手一試：一收割機收割一塊麥田，上午收割了麥田的25%，下午收割了剩

下麥田的20%，結果剩下6公頃麥田未收割，這塊麥田一共有多少公頃？

(6)順逆流(順逆風)問題：順流速度=靜水速度 水流速度，

逆流速度=靜水速度-水流速度：

（例題解析）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時，若

船速為26千米/時，水速為2千米/時，求A港和B港相距多少千米？

分析：輪船沿江從A港順流行駛到B港，則由B港返回A港就是逆水行駛，由於

船速為26千米/時，水速為2千米/時，則其順流行駛的速度為26 2=28千米/時，

逆流行駛的速度為：26﹣2=24千米/時．根據「輪船沿江從A港順流行駛到B港，

比從B港返回A港少用3小時」，得出等量關係：輪船從A港順流行駛到B港所用

的時間=它從B港返回A港的時間﹣3小時，據此可列出方程

解：設A港和B港相距x千米，可得方程：

答：AB兩港相距504千米.

隨手一試：一架飛機在A，B兩城間飛行，順風要5.5小時，逆風要6小時，

風速為24千米/小時．求A、B兩城之間的距離？

(7)等積變形問題：長方體的體積=長×寬×高； 圓柱的體積=底面積×高；

（例題解析）有一塊稜長為4釐米的正方體銅塊，要將它熔化後鑄成長4釐米、

寬2釐米的長方體銅塊，鑄成後的銅塊的高是多少釐米（不計損耗）？

分析：本題涉及到等積變形，即：鍛造前的體積=鍛造後的體積 為出發點，

熔鑄前的正方體體積與熔鑄後的長方體體積相等。

解：設鑄成後銅塊高度為x.

4×4×4=4×2×x

解得， x=8

答：鑄成後銅塊高度為8cm.

隨手一試：一個長方形的周長為36釐米，若長減少4釐米，寬增加2釐米，長

方形變成正方形，求正方形的邊長？

(8)周長、面積、體積問題：

(例題解析)如圖，矩形ABCD被分割成六個正方形，其中最小正方形的面積

等於1，則矩形ABCD的面積大小？

解：∵最小正方形的面積等於1，

∴最小正方形的邊長為1，

設右下角的正方形的邊長為x．

∴AB=x 1 (x 2)=2x 3，BC=2x (x 1)=3x 1，

∵最大正方形可表示為2x﹣1，也可表示為x 3，

∴2x﹣1=x 3，

解得x=4，

∴AB=11，BC=13，

∴矩形的面積為11×13=143，

答：矩形ABCD的面積為143.

隨手一試：在矩形ABCD中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸如圖

所示，求小長方形的寬AE？

二、(附加)含字母係數的方程與絕對值方程

含字母係數的方程

1.關於x的方程ax=b

(2)當a=0,b≠0時，方程無解；

(3)當a=0,b=0時，方程有無數個解，且解為任意數；

A.x=0B.x=1C.x為任意數D.原方程無解

解：2(x-1) 6=3(x 1)-(x-1)

2x-2 6=3x 3-x 1

2x-3x x=3 1 2-6

0•x=0

∴原方程有無窮多解，x為任意數.

隨手一試：解關於x的方程mx-m=nx

2.理解同解方程的定義，再解題：

(1)同解方程的定義為：如果兩個方程的解相同，那麼這兩個方程叫同解方

程；反之如果兩個方程是同解方程，那麼這兩個方程的解是一樣的；例如

x 1=4與x 51=54的解都是x=3，這兩個方程是同解方程；

且這兩個方程的解相同，求它們的解．

分析：分別將兩個關於x的方程解出來，得到兩個用含a的代數式表示的解，

根據同解方程的定義，列出等式，建立一個關於a的方程，然後解答．

∵由於①和②是同解方程

解得： a=2

把a=2代入4x﹣a=1得：4x﹣2=1，

隨手一試：若關於x的方程2x﹣4=3m和x 2=m有相同的解，則m的值是（ ）

A.10B.﹣10C.8D.﹣8

絕對值方程

歸納1

解可化為|x|=a(a≥0)的絕對值的方程，只需把|x|看成一個整體，其餘解題

步驟與解一元一次方程相同

（例題分析）19-|x|=100-10|x|

解：-|x| 10|x|=100-19

9|x|=81

|x|=9

x=±9

歸納2

對於形如|ax b|=c(a≠0,a、b、c為常數)的方程，有下列三種情況：

(1)c>0,ax b=±c可求得兩個解.

(3)c<0,無解.

（例題解析）|2x 3|=5

解：由絕對值的意義知，|2x 3|=5

即是 2x 3=±5

由2x 3=5，解得x=1

由2x 3=-5，解得x=-4

(2)解方程|3x 2|=10，方程的解為（ ）

歸納3

對一次方程|ax b|=cx d,可將它變為ax b=±(cx d),並且檢驗cx d≥0來求

解(注意檢驗)

（例題解析）解方程：|3x 2|=5x-10

解：(解法一)當3x 2 ≥0時，原方程化為 3x 2=5x-10,

解得，x=6.

當3x 2 <0時，原方程化為 -(3x 2)=5x-10,

解得，x=1.

經檢驗，x=6位原方程的解.

(解法二) 有絕對值的意義知，|3x 2|=5x-10

即是，3x 2=5x-10 或 3x 2=-(5x-10)

其中，5x-10≥0

分別解這兩個方程得：x=6或x=1

經檢驗，x=6位原方程的解

隨手一試：

解方程 |4x-3|-2=3x a(其中|3a-5 4|=8)