複數的幾何意義及解題方法（周末消遣聊數學）

2023-05-04 05:31:05 1

來源：算法與數學之美

看得懂的複數--溯源複數的物理意義

上幾天在群內，網友「南方的風」在諮詢信號系統問題，涉及到離散傅立葉變換複數問題。我因為之前寫過「看得懂的傅立葉變換」，大家希望我解答一下。

說實在，我雖然對於傅立葉變換的物理意義比較了解，也能自己根據自己的感性理解可以推導出公司，但對於複雜的一些比如離散傅立葉等，卻沒有仔細分析過，因為用不著。

群內大部分網友都認為這個東西，就是一頓數學的推導，用matlab套用公式做幾個例子就差不多了，至於很詳細的，尤其是感性的理解，完全沒有。

對於他的問題，我無法直接回答，但是，關於傅立葉變換本身不複雜，但引入了複數之後，因為大家對複數的物理意義都不懂，最後都是屬於理性的公式推導，但最後的結果的物理意義是什麼，大家卻都不明白，只知道一堆的數學公式，這個是一種本末導致，所以我認為有必要先搞明白複數的物理意義，只有看得懂複數，有它的感性認識，那麼基於它的推理才可能有感性，深刻的認識。

這根數軸的正向部分，可以繞原點旋轉。顯然，逆時針旋轉180度， 1就會變成-1。

這相當於兩次逆時針旋轉90度。

因此，我們可以得到下面的關係式：

( 1) * (逆時針旋轉90度) * (逆時針旋轉90度) = (-1)
如果把 1消去，這個式子就變為：
(逆時針旋轉90度)^2 = (-1)
將"逆時針旋轉90度"記為 i ：
i^2 = (-1)
這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。
所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。
二、複數的定義
既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。
將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。
只要確定橫坐標和縱坐標，比如( 1 , i )，就可以確定某個實數的旋轉量（45度）。
數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維坐標：用號把橫坐標和縱坐標連接起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 i 。這種表示方法就叫做複數（complex number），其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。
為什麼要把二維坐標表示成這樣呢，下一節告訴你原因。
三、虛數的作用：加法
虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。
比如，物理學需要計算"力的合成"。假定一個力是 3 i ，另一個力是 1 3i ，請問它們的合成力是多少？
根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 i ) ( 1 3i ) = ( 4 4i )。
這就是虛數加法的物理意義。
四、虛數的作用：乘法
如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。
比如，一條船的航向是 3 4i 。
如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？
45度的航向就是 1 i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 4i 與 1 i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：
( 3 4i ) * ( 1 i ) = ( -1 7i )
所以，該船的新航向是 -1 7i 。
如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：
( 3 4i ) * i = ( -4 3i )
這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。
五、虛數乘法的數學證明
為什麼一個複數改變旋轉角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的數學證明，實際上很簡單。
任何複數 a bi，都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。
假定現有兩個複數 a bi 和 c di，可以將它們改寫如下：
a bi = r1 * ( cosα isinα )
c di = r2 * ( cosβ isinβ )
這兩個複數相乘，( a bi )( c di ) 就相當於
r1 * r2 * ( cosα isinα ) * ( cosβ isinβ )
展開後面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ i( cosα * sinβ sinα * cosβ )
根據三角函數公式，上面的式子就等於
cos(α β) isin(α β)
所以，
( a bi )( c di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α β) isin(α β) )
這就證明了，兩個複數相乘，就等於旋轉半徑相乘、旋轉角度相加。
（完）
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