怎樣做一個問答題（要做一個小題目）

2023-05-04 21:56:38

（《怎樣解題》是美國數學家波利亞寫的關於解題方法和教育方法的著作。原著雖然經典，但是結構鬆散，閱讀體驗不佳。我們把原著的內容加以整理，用更通俗的例題做示範，供大家參考。）

上一期我們講了特殊化的方法，要找解題的思路，可以先考慮找一個簡單的特例。點這裡看上一期：《怎樣解題（四）：考慮這道數學題的一個特例》

有了從一般到特殊，自然也有從特殊到一般。這一期要講的方法，非常的辯證唯物主義，就是普遍化。

普遍化是從對一個對象的考慮過渡到對包括詞對象在內的一系列對象的考慮，或者是從對一個限定的集合的考慮過渡到對包括這個限定的集合在內的一個更廣泛的集合的考慮。

上面一句刷刷過去就好，普遍化（或者叫一般化，反正英文都是一個詞）其實就是：先考慮一道「大題目」。

當時我們是這麼講的，先依次觀察前面幾項的和，發現它們分別等於1，9，36，100……，都是完全平方數。

於是我們猜測，是不是自然數前n項的立方和都是完全平方數。

經過證明，我們得到了一個公式：

再計算原題的答案就很簡單了。詳細講解請見：《這道數學題稍微有點難，但可以培養很好的思維方法》

題目雖然是具體的，但題目的特徵被具體的數字掩蓋住了，解決起來並不容易，只有先繞一個彎，解決相應的一般性的問題，才能發現解題的關鍵。

為了解這道題，我們先舉出幾個特殊的例子，再把觀察的結果歸納起來，就是特殊化 普遍化的方法。

用普遍化的方法解題，最困難的地方，在於找到一道合適的「大題目」。比如下題：

顯然，解這道題只能用普遍化的方法。

按照前一題的歸納方法，我們先拿前幾項試試看：（因數分解沒有什麼好辦法，要麼會背，要麼上網找個質因數分解器）

11是質數

111=3×37

1111=11×101

11111=41×271

111111=3×7×11×13×37

不知道你看出什麼來沒有，反正我是一臉懵。

做不出來了？等等，還有一頭沒試呢。要證明蘋果不等於梨，在蘋果上看不出什麼花樣來，為什麼不試試梨呢：能不能證明完全平方數不是11，111，…？

首先，偶數的平方數可以去掉了，偶數的平方還是偶數，所以這裡沒它們什麼事。

奇數的平方數呢，我們把它們一個個寫出來，分別是1，9，25，49，81，121，……

好像有點意思。沒錯，它們除以4的餘數都是1。這個很好證明：

那麼11，111，1111這樣的數呢？它們的最後兩位都是11，所以這些數除以4的餘數都是3。這樣我們就可以證明了，這些數都不是完全平方數。

用普遍化的方法解題是有挑戰性的工作，（除非題目你已經很熟悉了），其中最重要的一步是找到一個好的一般性問題。這需要紮實的知識基礎，大膽的想像力，還有一點點天分。

下面這道題，題面很短，但要是直接做的話，困難不小。如果能合理用到普遍化（一般化）的方法，初中生也能輕鬆解決：

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