三角形中作輔助線的常用方法（老教師幫你總結）

2023-04-29 19:06:50

方法一：等腰三角形有底邊中點時，常作底邊上的中線。

例：如圖在△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，D為BC中點。E，F分別是AB，CA延長線上的點，且BE=AF，求證△DEF為等腰直角三角形。

證明：連接AD。

∵∠BAC=90º，AB=AC，D是BC的中點。

∴∠ADB=90º，

∠ABD=（180º—90º）÷2=45º，

∠BAD=∠CAD=∠BAC÷2=90º÷2=45º

∴∠ABD=∠BAD

∴AD＝BD

∵∠CAD＋∠FAD＝180º

∠ABD＋∠EBD＝180º

∴∠FAD＝∠EBD，

∵BE＝AF

∴△AFD≌△BED

∴DF＝DE ∠ADF＝∠EDB

∵∠ADF＋∠FDB＝∠ADB＝90º

∴∠EDB＋∠FDB＝∠EDF＝90º

∴△EDF是等腰直角三角形。

方法二：等腰三角形中沒有底邊中點時，常作底邊上的高。

例：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC於點D，求證∠BAC＝2∠DBC

證明：過點A作AE丄BC於點E

∵AB＝AC

∴∠BAC＝2∠CAE

∵BD丄AC

∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90

∴∠CAE＝∠DBC

∴∠BAC＝2∠DBC

方法三：等腰三角形中證明與腰有關聯的線段之間的關係，常做腰的平行線。

如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB於點E，交AC的延長線於點F，交BC於點D，且BE＝CF，求證DE＝DF。

證明：過點E作EG∥AC，交BC於點G

∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB

∵AB＝AC

∴∠ACB＝∠B

∴∠B＝∠EGB

∴BE＝EG

∵BE＝CF

∴EG＝CF

∵∠EDG＝∠CDF，∠DEG＝∠F

∴△EDG旦△FCD

∴DE＝DF。

方法四：等腰三角形中證明與底有關聯的線段之間的關係，時常作底的平行線。

例：如圖，已知等邊△ABC，在AB邊上任取一點D，延長BC到E，使CE＝AD，連接DE交AC於點P，求證DP＝PE。

證明：過點D作DF∥BE，交AC於點F

∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠ACB，

∠FDP＝∠E

∵△ABC為等邊三角形

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60

∴∠ADF＝∠AFD＝∠A＝60

∴△ADF為等邊三角形

∴AD＝DF

∵AD＝CE

∴DF＝CE

∵∠DPF＝∠EPC，∠FDP＝∠E

∴△DPF≌EPC

∴DP＝CE

方法五：補行法構造等腰三角形。

如圖：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，BF平分∠ABC，CD丄BF交BF的延長線於點D，求證：BF＝2CD

證明：延長BA，CD交於點E

∵BF平分∠ABC，CD丄BD，BD＝BD

∴△BDC≌△BDE

∴CD＝ED，即CE＝2CD

∵∠BAC＝90º，∠BDC＝90º

∠AFB＝∠CFD

∴∠ABF＝∠DCF

∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90º

∴△ABF≌△ACE

∴BF＝CE

∴BF＝2CD

方法六：截長或補短法構造等腰三角形。

如圖：△ABC是等邊三角形，P是△ABC外一點，且∠ABP＋∠ACP＝180º。

求證：PB＋PC＝PA

證明：延長PC到D，使CD＝PB，連接AD。

∵∠ABP＋∠ACP＝180º，

∠ACP＋∠ACD＝180º

∴∠ABP＝∠ACD，

又∵△ABC為等邊三角形

∴AB＝AC

∴△ABP≌△ACD

∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD

∵△ABC為等邊三角形

∴∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝60º

∴∠CAD＋∠PAC＝60º

即∠PAD＝60º

∴△PAD為等邊三角形

∴PA＝PD＝PC＋PD

∴PB＋PC＝PA