認識數字和百數表（數字真奇妙四和八的方方面面）

2023-05-01 18:37:49

本文作者劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！

本來想先和讀者閒聊一下 4 和 8 的，但是寫完以後發現文章太長了，還是閒話休提，只說正事，下面內容主要和 4 有關，間或有 8。

一、算術和代數

關於4有個很有意思的等式，即 2＋2=2×2=2²=4，三個不同優先級的式子居然都等於 4，好玩。4還是最小的合數，而且在費馬猜想中，n=4 是唯一一個需要單獨證明的合數。據說當年費馬可能已經證明了n=4的情形，這讓他自以為「已經找到了這個命題的真正證明」只是因為「空白太小寫不開了」。這個證明用的是費馬自創的「無窮下降法」，過程如果寫在這裡會顯得很繁，所以就不列出了，請大家自行查閱有關資料。

4 還是具有求根公式的多項式方程的最高次數，但是求根公式很複雜，手動計算基本不可能，也沒有必要，當然你可以用計算機編程來計算。而缺少三次和一次項的四次方程——也叫做雙二次方程——卻可以通過換元法轉化為二次方程進行求解，這就容易多了。可以證明，任何形如 ±√a±√b 的數（a、b 都是正有理數，且開方後至少有一個是無理數）都是整係數雙二次方程的根。證明起來很簡單，大家要不要試一試呢？

紀念哈密爾頓郵票

數學裡有一種對象叫做「四元數」，形式上包括一個實數部分和三個不同的虛數部分：

這是著名的哈密頓發明的，據說他的動機是看到了複數的重要作用，覺得「既然引入一個虛數部分很有用，那麼引入兩個會不會更有用呢？」結果他總是失敗，原因是弄不好這個新數的乘法，後來他終於恍然大悟，不是引入兩個而是引入三個虛數部分，而且放棄了自古以來被視為天經地義的乘法交換律才搞定。遺憾的是，四元數似乎並沒有太大的作用，大概是因為矩陣已經可以代替它了吧。在四元數以後數學家還創造過所謂的八元數，就是一個實數部分帶七個虛數部分，連結合律都不遵守了，用途更少了。

二、傳統幾何中的 4 和 8

傳統的平面幾何中，四點共圓是一種重要的幾何模型，因為這裡面既有長度關係又有角度關係，在證明題中常用來轉化長度和角度。這一模型使用靈活，而且其中的圓往往不是真實出現，只是一個輔助圓，所以難度也不小呢。這方面的典型例子是「三角形三條高線交於一點」的一個經典證明。

PA×PC=PB×PD，∠1=∠2

在平面幾何中，重要的四邊形是平行四邊形，以及各種特殊的平行四邊形——矩形、菱形和正方形。

立體幾何中，有幾種重要的多面體帶有「4」和「8」，比如最基本的幾何體——三稜錐有四個面、平行六面體有八個頂點，以正方體的各面中心為頂點可以得到正八面體，而金字塔則是正四稜錐，如此等等。

三、四維空間

四維空間是科幻、科普作品中的常客，也是人類無法憑直覺把握的東西。這些年劉慈欣的《三體》大火，其中第三部就描述了四維空間的景象。我很佩服他的想像力，雖然知道肯定是有「硬傷」的。

本文不再談四維空間和相對論等等的關係了，事實上我也沒有那個能力，下面只談一條幾何公理：若兩平面a和b有一公共點A，則它們至少還有一公共點B。這在希爾伯特的《幾何基礎》中被列為結合公理的第七條，即I7。希爾伯特說這條公理表示空間不能多於三維，但沒有具體論述。實際上，如果空間是四維的，建立坐標系，設其中一個平面的方程是 w=x=0，另一個平面的方程是y=z=0，容易知道這兩個平面的公共點有且只有 (0,0,0,0)。因此在四維空間裡兩個平面可以僅在一點相交。更高維類似可證，但要注意的是，在五維空間裡平面方程有三個等號，六維則是四個等號，如此等等。由此可見，我們雖然不能想像高維空間，但是能通過數學把握其性質，這是人類理性的勝利。

關於四維空間，還有什麼可以說的嗎？比如四維空間裡有沒有「柏拉圖立體」？其中肯定有正方體，不過其它的正多面體（或者更確切地應該叫正什麼？反正你懂我的意思就行了）是否存在就需要動動腦筋了。下面我們還是離開這麼抽象的東西，看看其它學科。

四、其它學科中的「四」和「八」

在邏輯學裡，有所謂的四種類型的基本命題，示例和命題名稱如下：

「所有鳥都會飛———全稱肯定命題」「有的鳥會飛————特稱肯定命題」「所有鳥都不會飛——全稱否定命題」「有的鳥不會飛———特稱否定命題」

這些命題之間的關係，以及在「三段論」中的作用，是傳統邏輯學中的重要內容，而現代物理課本上常作為「反面典型」的亞里斯多德，就是世界上最早、最重要的邏輯學家，他這方面的成果在現代仍然基本適用。

下面看看物理學。這裡最能體現四的重要性的，除了前面說到的相對論，就是麥克斯韋方程組，它無論是微分形式還是積分形式都由四個方程組成。同樣的，熱力學方程也是包含四個。我覺得，如果一個人能欣賞麥克斯韋方程組的美，那就也應該能欣賞熱力學方程的美。已經有很多文章介紹麥克斯韋方程組了，所以下面只寫了熱力學方程組：

四在化學中最重要的應用大概是第四主族元素了，碳矽鍺錫鉛嘛，其中碳是生命必不可少的元素，原因之一是它具有四個最外層電子，可以形成長鏈，構成幾乎無窮無盡的各種分子，而矽比碳多了一個電子層，雖然也能形成很多種化合物，但到底還是就和碳有很大區別。有的科幻書一本正經地討論「矽基生命」，不必當真了。不過矽也不必沮喪，因為它和鍺是我們這個資訊時代的明星。注意，如果你和臺灣人交流，他們可能會把 Si 念成「矽」，這樣是容易和「錫」「硒」混淆。另外截止到今天，全部已經發現的化學元素的原子，處於基態時核外電子只有四個亞層，這就是所謂的 s、p、d、f 亞層，每個亞層中電子云的形狀不同。

八在化學中同樣很重要，我們都知道有個「八電子穩定結構」，說的是如果原子的最外層具有八個電子就是穩定的。天然具有八個最外層電子的原子是所謂「惰性氣體（現在叫稀有氣體了）」，具有化學性質穩定、液化點和凝固點低等特點。而其它元素的原子也往往具有成為八電子穩定結構的傾向，於是產生了各種各樣的單質和化合物。順便說一句，在生物體內僅次於碳、意義可能和氫差不多的氧原子的核電荷數就是八。

在地質方面，本來我們所處的地質年代被稱為「第四紀」，但是人類對自然界的影響太大了，於是有人傾向於劃分出一個新的地質年代——人類紀。不過我不能斷定這是不是認真的。

在天文學方面，我們的太陽系——多少有些隨意的——被認定有八顆大行星，其中四顆是類地行星，另外四顆則是巨行星。本來冥王星也是大行星中的一顆，但是後來天文學家發現太陽系內類似冥王星那麼大的行星有好幾顆，而且不能保證今後不會發現新的同樣大小的系內行星，於是把它降了半級，稱之為「矮行星」，屬於這個分類的還有穀神星等等。這是我要介紹的有關「四」和「八」的最後一個內容。

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