初中數學函數問題及解決方法（七個問題精準解析中考函數不動點問題）

2023-05-24 00:06:58 1

數學是發現的還是發明的？有人說數學是人類心靈最獨特的創作，在數學裡，有許多與生活息息相關且令人印象深刻的定理"喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠也回不了家"、"在任意時刻，地球上總存在對稱的兩點，他們的溫度和大氣壓的值正好都相等"等，這些數學定理、數學論述在圈子中廣為流傳，也為數學家深深喜愛。望文生義，不動點即是不改變的點。

某天從甲地開往乙地的列車和從乙地開往甲地的列車，一定在途中某點相遇。

把一張當地地圖平鋪在地上，則總能在地圖上找到一點，這個點下面的地上的點正好就是在地圖上的點所表示的位置。

布勞威爾（1881-1966），荷蘭教學家，拓撲學的奠基人，他的突出貢獻是建立布勞威爾不動點定理以及證明維數的拓撲不變性。布勞威爾把數學看作心靈的自由創造，在博士論文《論數學基礎》中開始建立直覺主義的數學哲學。

1912年，荷蘭數學家布勞威爾證明了如下定理：讓一個圓盤裡的所有點連續運動，則總有一個點可以回到運動前的位置。這就是著名的不動點定理。從圖象上看不動點意味著點（x，f（x））在直線y=x上。

含參數的函數圖象隨參數的變化而變化，但這些圖象常常恆經過定點。這類問題時常出現各類考試中，很多學生感覺束手無策，下面我們一同探究這類問題。

例１．（1）若直線y=kx-2k 5恆過定點，則該點的坐標為_____。

（2）當p取任意實數時，拋物線y=2x²-px 4p 1都經過一個定點，則該點的坐標為_______。

（3）無論m，n為何值，函數y=mx²-nx-m-n必過定點________

解析：將問題轉化為"無關型"問題，對於式子ab=0，當a=0時，不論b為何實數，ab的值都是0。整理解析式，將含參數的項的係數變為0，由此確定定點。

（1）y=（x-2）k 5，當x-2=0，即x=2時，（x-2）k恆為0，y=5，故定點的坐標為（2，5）。

（2）y=2x²-p（x-4） 1，當x=4時，含p的項為0，y=33，與p的取值無關，故定點的坐標為（4，33）。

（3）y=（x²-1）m （-x-1）n，由x2-1=0，－ｘ－１＝０，得x=-1，y=0，故定點坐標為（一1，0）。

例2．已知二次函數y＝mx² 2mx﹣3m﹣1（m≠0）的圖象交x軸於P，Q兩點．

（1）求該二次函數圖象的對稱軸，並用含m的代數式表示該二次函數圖象頂點的縱坐標；

（2）求證：無論m取何非零實數，該二次函數的圖象必過某定點，並求這個定點的坐標；

（3）當PQ≤2時，求實數m的取值範圍．

【解析】：（1）∵y＝mx² 2mx﹣3m﹣1＝m（x 1）2﹣4m﹣1，

∴二次函數圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點為（﹣1，﹣4m﹣1）；

（2）∵y＝mx² 2mx﹣3m﹣1＝m（x 3）（x﹣1）﹣1，

∴該二次函數的圖象必過定點（﹣3，﹣1）和（1，﹣1）；

（3）二次函數y＝mx² 2mx﹣3m﹣1（m≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，

當PQ≤2時，則P點的橫坐標為﹣2≤x1＜﹣1，Q點的橫坐標為﹣1＜x2≤0，

把x＝﹣2，y＝0代入y＝mx² 2mx﹣3m﹣1得4m﹣4m﹣3m﹣1＝0，

解得m＝﹣1/3，

把x＝0，y＝0代入y＝mx² 2mx﹣3m﹣1得0 0﹣3m﹣1＝0，

解得m＝﹣1/3，∴m的取值範圍為m≤﹣1/3．

例3. 如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y＝x 1相交於A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM．

（1）求拋物線的函數關係式；

（2）判斷△ABM的形狀，並說明理由；

（3）把拋物線與直線y＝x的交點稱為拋物線的不動點．若將（1）中拋物線平移，使其頂點為（m，2m），當m滿足什麼條件時，平移後的拋物線總有兩個不動點．

【解析】：（1）∵A點為直線y＝x 1與x軸的交點，∴A（﹣1，0），

又B點橫坐標為2，代入y＝x 1可求得y＝3，∴B（2，3），

∵拋物線頂點在y軸上，∴可設拋物線解析式為y＝ax² c，

例4．（宿遷中考題）如圖，已知拋物線y＝ax² bx c（a＞0，c＜0）交x軸於點A，B，交y軸於點C，設過點A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D．

（1）如圖1，已知點A，B，C的坐標分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此拋物線的表達式與點D的坐標；

②若點M為拋物線上的一動點，且位於第四象限，求△BDM面積的最大值；

（2）如圖2，若a＝1，求證：無論b，c取何值，點D均為定點，求出該定點坐標．

【解析】：（1）∵拋物線y＝ax² bx c過點A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴AB為圓的直徑．

由垂徑定理可知，點C、D關於直徑AB對稱，∴D（0，4）．

（2）解法一：

設直線BD的解析式為y＝kx b，∵B（8，0），D（0，4），

∴當m＝2時，△BDM的面積有最大值為36．

（3）如答圖3，連接AD、BC．

由圓周角定理得：∠ADO＝∠CBO，∠DAO＝∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴無論b，c取何值，點D均為定點，該定點坐標D（0，1）．

例5．對於二次函數y＝x²﹣3x 2和一次函數y＝﹣2x 4，把y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）稱為這兩個函數的"再生二次函數"，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（﹣1，n），請完成下列任務：

【嘗試】

（1）當t＝2時，拋物線y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）的頂點坐標為_______；

（2）請你直接判斷點A是否在拋物線E上_____；（填是或不是）

（3）n的值等於_____．

【發現】

通過（2）和（3）的演算可知，對於t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，你認為定點的坐標為　 　．

【應用一】

二次函數y＝﹣3x² 5x 2是二次函數y＝x²﹣3x 2和一次函數y＝﹣2x 4的一個"再生二次函數"嗎？如果是，求出t的值；如果不是，請說明理由；

【應用二】

若拋物線E與x軸的另一個交點為C，△ABC的面積等於6，求拋物線E的解析式．

【解答】：【嘗試】

（1）∵將t＝2代入拋物線l中，得：y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）＝2x²﹣4x＝2（x﹣1）²﹣2，

∴此時拋物線的頂點坐標為：（1，﹣2），

故答案為：（1，﹣2）；

（2）∵將x＝2代入y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4），得 y＝0，

∴點A（2，0）在拋物線l上，

故答案為：是；

（3）將x＝﹣1代入拋物線l的解析式中，得：

n＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）＝6，

故答案為：6；

【發現】

∵將拋物線E的解析式展開，得：

y＝t（x²﹣3x 2） （1﹣t）（﹣2x 4）＝t（x﹣2）（x 1）﹣2x 4，

∴拋物線l必過定點（2，0）、（﹣1，6），

故答案為：（2，0）、（﹣1，6）；

【應用一】

將x＝2代入y＝﹣3x² 5x 2，y＝0，即點A在拋物線上．

將x＝﹣1代入y＝﹣3x² 5x 2，計算得：y＝﹣6≠6，

即可得拋物線y＝﹣3x² 5x 2不經過點B，

二次函數y＝﹣3x² 5x 2不是二次函數y＝x²﹣3x 2和一次函數y＝﹣2x 4的一個"再生二次函數；

【應用二】

由（1）得，拋物線E與x軸的一個交點為A（2，0），點B的坐標為（﹣1，6），

例6.如圖，已知點M（-2，1）為拋物線y=１/４ｘ²上一點，過葉點M作MＡ⊥MB，分別交拋物線於A，B兩點。求證：直線AB恆過定點，並求出該定點的坐標.

解析：大膽引入參數，構造相似三角形，綜合運用根與係數關係，探尋參數間關係.

例7.如圖，已知矩形ABCDO矩形A'B'C'D'，把矩形A'B'C'D'放置在矩形ABCD內，這表示矩形ABCD上的點到了新的位置，A→A'，B→B'，C→C'，D→D'，任一點P→P（P不在AB上）處，應有△PAB∽△P'A'B'.證明：一定有一個點Q與運動之後的Q'重合——也就是不動點.

解析：順思逆想，先假設存在這樣的點，由此出發推理，尋找Q點確定方法.

延長B'A'交直線AB於點E.

∵△A'B'Q∽△ABQ，∴∠QB'E=∠QBE，∴Q，B'，B，E四點共圓.

同理，延長A'D'交AD的延長線於F點，可證明Q，A'，A，F四點共圓.

∵B，B'，E與A'，A，F確定，故Q恆在B'，B，E所確定的圓上，又恆在A'，A，確定的圓上，只要分別作△B'BE和△A'AF的外圓，兩圓的交點就確定Q點了.

怎樣求出方程x³ 3x-1=0的實數解？

由原方程得x³ 4x-1=x，設x³ 4x-1=y①，此式反映了一個變換的規律，若將xo代入①式左端，計算之後仍是x0，則xo為①式的不動點，方程的求解問題可轉化為某個變換下的不動點問題.

在數學中，尋找未知曲線、未知曲面、未知數串等問題，都可轉化為尋找不動點問題.

不動點理論在博弈論、經濟學等領域也有廣泛應用.20世紀60年代，經濟學家肯尼思·阿羅與傑拉德·德布魯證明了在某些情況下自由市場導致經濟最優的"不動點"，結果是價格設置在最正確的水平上.

總之，在中考中，一個動態問題中，當問題的條件和結論關係不明朗時，可恰當引元（參數），建立條件和結論的聯繫，使關係明朗化。引入參數，參與推導，消去參數，顯露結論，這是引入參數解題的基本流程。