長方形的認識的筆記（數的分流2）

2023-04-20 18:54:37 2

作者 | trustno1v3來源 | 知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/92507715

☛ 數的分流

我們知道，畢達哥拉斯學派對可公度性的執著，實際上是希望在樸素的無窮觀念和原子論下，為測量計算和幾何抽象架起橋梁。一旦這個假設是成立的，那麼意味著希臘人可以用計算板上的所有的測量計算方法，去度量幾何體。更重要的是，幾何體的抽象性質可以拋開笨重的大理石算板，形成一種存粹靠邏輯推動的高效的計算方法。然而這個設想被證明走不通

既然融合代數和幾何方法走不通，那麼剩下的辦法只能在兩者選其一，到底選擇計算和測量，還是選擇幾何與抽象？在這個十字路口，來自尼羅河的莎草紙將希臘人推上了那條與眾不同的抽象之路。

莎草紙是把紙莎草的莖劈成細條，並列排成一層，再在上面垂直地排出另一層；把這兩層壓實、乾燥，就成為柔軟堅固的紙草。這種紙草可以用來書寫甚至繪畫，紙草可以做成長頁，捲起來存放，也就是捲軸，也可以像今天的圖書一樣，沿一邊裝訂成冊。比起昂貴的羊皮來說，紙草是實用便宜的書寫載體。所以自古埃及人發明以來，紙草在古代地中海世界和周邊地區就一直得到沿用，直到公元 8 世紀以後才逐漸被來自中國的紙取代。

19 世紀末，在埃及的俄克喜林庫斯（Oxyrhynchus）陸續發掘出了 5000 多份紙草殘片，主要製作於古羅馬帝國時期。雖然其中大部分是稅單、帳簿、契約、書信、星宮圖之類瑣碎的生活記錄，但也有不少珍貴文獻。

人們在俄克喜林庫斯紙草中發現了歐幾裡得《幾何原本》殘篇(如上圖)、亞里斯多德（或其弟子）早已佚亡的《雅典政制》、古希臘戲劇家米南德同樣早已佚亡的劇作《恨世者》的大部、記載了珍貴史料的《俄克喜林庫斯希臘志》以及《新舊約全書》殘篇和基督教次經等重要資料。

俄克喜林庫斯的發現向我們證明，古希臘數學家的主要工作載體就是埃及莎草紙。莎草紙柔軟的特性也有利於數學家在上面進行幾何作圖進行運算和推演，更使得古希臘的哲學家群體可以大量的記錄他們的思維結果，使得他們之間的學術成果可以進行快速有效的交流。可以說莎草紙是希臘人走向抽象化的決定性物質條件。

在這樣的物質條件下，希臘人果斷的放棄了笨重而不精確的計算和測量，而全面轉向了以幾何為中心的抽象數學研究。在希臘數學家看來，幾何的研究顯然是比計算和測量更加高級的數學活動，因為計算板上的計算和測量不能完全表達莎草紙上演算出來的幾何量，而反過來莎草紙上演算的幾何量卻即可以替代計算板上的計算和測量。

對於幾何量不可公度的問題，柏拉圖首先從認識論上進行根本的補救。他認為我們無法認可測量出來的斜邊長度是確鑿無疑的，否則我們將不得不接受畢達哥拉斯學派哪裡遇到的荒謬結果。在幾何學中，計算和測量是不可靠的。我們眼中看到的那條線段，只是客觀世界對無理數的近似。簡而言之，無理數與其形象顯然是分離的。那麼進一步思考，整數本身與計數對象也應該是分離的。於是由計算和測量活動所得到的結果，都是人的幻覺。數學上的否定只能通過存粹的邏輯推演，任何客觀數據與數學理念不一致的地方，都不會對數學構成任何有效反駁。柏拉圖的哲學觀為希臘數學家提供了一個想像中的庇護所，把現實計算和測量的詰難抵擋在邏輯大廈之外，數學家們就可以任意自洽地擺布數學概念。

希臘數學家將現代的實數分成，三類，數，比例，不可公度量。也就是說，希臘人的數隻包含特定的部分整數，不但不包括無理數，甚至不包括分數。希臘人沒有分數概念，原因在於他們甚至認為」一「也不是一個數。數學史學家 Jacob Kelin 認為，在希臘人的觀念中，"一"是數的本原，是構成數的單元，是用於計數的尺度，它本身絕不能被視為一個數。希臘人認為，「一」是每一個事物的獨特屬性，即每個物都可以被稱為"一個"，不同事物總能因為這個屬性而被歸入同一類，從而能用相同的單元來對它們計數。對於希臘人而言，一個老年人，一和人，老年，一樣都是這個事物的屬性。因為他歸屬於人，所以他可以歸入人的一類，因為他老所以也可以歸入老年一類，因為他是一，所以他可以歸入 1 這一類。這是與古希臘人研究自然史那樣的分類方式是相適應的。亞里斯多德認為，需要為每一個物尋找所屬的恰當類型，這是是希臘人理解整個宇宙的基本方式。

這個傳統在《原本》的第 VII 卷的對數的定義中非常直接的寫了出來。

定義 1.每一個事物都作為一個單位而存在，並稱之為 1.

Definition 1[1]Aunit is that by virtue of which each of the things that exist is called one.

定義 2.一個數是由許多單位合成的

Definition 2[2]Anumber is a multitude composed of units

按照這兩個定義，數和單位是分別兩種不同的東西。歐幾裡得的數不但沒有 0，也沒有 1，他的數是從 2 開始的。單位 1（Unit）不可分割，本質上還是在逃避畢達哥拉斯派對無窮小的恐懼。在歐幾裡得這裡，Unit 實際上對應於，他第一卷對點沒有大小，線沒有粗細，面沒有厚度的基本幾何定義。如果他們承認 Unit 可以分割的話，那麼點是不是可以進行再分割呢？畢竟根據定義，點也是一個單位。如果點是可以被分割的，那麼他引以為豪的幾何體系的基礎，就會遭致毀滅性打擊。

一旦承認 unit 不可分割，那麼分數自然就不會存在。《原本》中的比也不能等同於分數，比是兩個同類量的關係而非運算，《原本》中，比和比例從不脫離確定的圖形，不會在沒有具體圖形的語境下把兩個比複合在一起，拋開圖形去考察比的複合的做法在原本中是不存在的。

最後，希臘人將不可共度的量也單獨分離開來。他們認為，可以被同一個量量盡的量叫做可共度量，不可被量盡的量叫做不可公度。在希臘人的觀念中，可公度實際上等同於用圓規進行作圖。《原本》的第一卷的前三個複雜命題正是為此而準備的。這三個命題是，利用兩個圓構建等邊三角形，第二個命題，利用等邊三角形，在已知線段外的一點上作已知線段的等長的線段，第三個命題，如果有兩條不等長的線段，在一條較長的線段上截取較短線段等長的部分。這三個作圖題，實際上就是僅僅使用直尺和圓規將一個較短的線段搬運到一條較長線段的端點上，一旦完成這一步，那麼就可以利用圓規逐次的去量較長的線段。

也就是說，是否可共度，對於希臘人而言是以幾何作圖為準繩的。可以被圓規作圖量盡的兩個線段叫做長度可共度線段。在這裡，數和可共度量也不是一個東西，數和可共度量只存在比例上等同的比例關係，而不能稱之為相同的數。

古希臘數學家為了修正，畢達哥拉斯派的漏洞，拯救他們的數學成果。他們開始為數，可共度量，不可共度量建立統一的比例關係。這是《幾何原本》第五卷所做的主要工作，

定義一：設 與 為兩個同類的幾何量（例如線段長或面積或體積）。如果存在自然數 m 與 n（包括 1），使得

定義一是說：兩個有限的幾何量，不論可共度或不可共度，就可談論比值。這是因為歐幾裡得和畢達哥拉斯一樣，無法處理無窮小量。於是只能採用這個定義排除掉無窮大與無窮小的量，只討論有限量。

定義二：設 為四個有限量。如果對於任何自然數 m 與 恆有：

則稱

事實上，(1)式中任何一式都可用來判別 。以下第二式對應是的可共度的情形。

為了看出這條定義的含義所在， 我們不妨作一個小小的形式變換， 將 換成 ， 將 換成 ， 依此類推。如此一來， 這條定義可進一步表述為：對 四個量，及任意正整數 和 ， 如果 意味著 ， 意味著 ， 意味著 ，則表明 。

上述定義意味著 是通過兩者與任意有理數具有相同的大小關係來定義的——或者反過來說， 可以通過跟全體整數比例之間的大小關係來定義 (唯一的) 比例。

有不少數學史學家認為，這個命題與現代數學中的戴德金利分割(Dedekind cut)非常類似

戴德金，將實數集的分割 等同為實數 。《原本》中譯本譯者梁宗巨認為，由於希臘數學家對數系的概念還非常模糊，歐幾裡得也是這樣，他們無法將幾何量轉化為數，他建立了兩個理論，第 卷關於量的比例理論和第 VII 卷關於數的比例理論,在第 卷再將他們關聯起來，造成了不必要的繁瑣。如果他們可以統一這兩者，卷 的定義 5 就會形成與戴德金利分割等價的命題，實數理論也可以較早的出現。在這些數學史學家看來，歐幾裡得距離實數系統只有一步之遙，只需要捅穿數和幾何量的那層窗戶紙，歐幾裡得就進入了現代數學。

我認為這種觀點有合理的成分，但是也是輝格式地過渡解讀古人意向。數和幾何量之間只有一層"窗戶紙",這種看法只是我們現代人的想像。因為這種認識是建立在現代數學認識之上的，現代數學的實數理論為我們掃清了認識的道路，於是我們認為數和幾何量是沒有任何區別的。然而對於古希臘數學而言，如果他們無法破除無窮小的邏輯困境，那麼他們的單位(Unit)的分割問題就無法解決，他們就無法將比例轉化成真正獨立的可以參與運算的分數和有理數，沒有分數也就無法構造出像極限，無窮級數這些具有」潛無窮「能力的數學工具去探討實數的內在精細結構。於是他們只能另闢蹊徑，通過操縱整個直線的全體點集合這樣一個宏觀結構來規避掉對無窮小量的討論。換一句話說，他們是將直線上的所有點的集合，當作一個"實無窮"的實體來處理。這與希臘人的幾何直觀是完全符合的。比如說正方形對角線如果是一個無理數，那麼用整數去度量必然需要陷入無窮，然而從幾何作圖來看，我們可以很容易通過有限步驟的將這個線段這個無窮點集的全體集合一分為 2。

從現代數學的觀點來看，完整的實數理論，實際上是由幾組等價的命題來完整描述的。這其中既有」潛無窮「的工具，比如柯西收斂原理，單調有界原理。也有"實無窮"的工具，比如戴的金分割，最小上界原理。雖然這些命題都是互相等價的，但數學的認知形成過程並不如這些命題的等價性一樣，可以隨意無縫的越遷。每一個獨立的命題後面，實際上都對應著一場持續數百年的數學範式變革，柯西收斂原理背後實際上是微積分從牛頓到柯西上百年的變革過程，戴的金分割背後實際上是數理邏輯公裡集合論完善的結果。對於公元前的希臘數學家而言，他們對「實無窮」的操縱實際上只是一種盲人摸象，就算他們摸全了一隻大象的耳朵，他們也只會認為這隻大象只不過是一個大扇子。真正要完整的了解這頭大象，需要數學家們完善潛無窮和實無窮所有的工具之後，才能對實數作解剖學式的分析。

Definition 1: https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html

[2]

Definition 2: https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVII/defVII1.html