很有意義的簡單圖案（永不重複的圖案）

2023-05-08 10:09:31

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還記得在學校時用過的繪圖紙嗎？就是上面有小方格的那種。這是數學家口中所謂的「空間的周期性密鋪」的完美例證，它指的是整個區域都被不同的形狀呈周期性的覆蓋，形狀與形狀之間沒有重疊，也沒有縫隙。如果將整張圖案平移一個瓷磚的長度，或旋轉90°，可以得到相同的圖案。

除了正方形之外，我們用等邊三角形、正六邊形也可以很輕鬆的得到這樣的圖案。這幾種常見的普通瓷磚都具有以下特點：它們的每條邊都有相同的長度，且邊與邊之間的夾角也相同。

那麼，是不是所有的正多邊形瓷磚都可以被平鋪成周期性、無重疊、無縫隙的圖案？

不，正五邊形顯然不可以。事實證明，我們是無法用正五邊形瓷磚不重疊、無縫隙地貼滿浴室的牆壁的。背後的原因其實也不難理解：一個普通的正五邊形有5個大小為108°的內角，如果我們試圖繞著一個點平鋪正五邊形，就會發現每鋪3個就必須會出現一個缺口，因為3×108° = 324°，小於完整一周的360°；但繞一點平鋪4個正五邊形又必然會出現重疊，因為4×108° = 432°，大於360°。

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1974年，物理學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）以正五邊形為基礎，設計出了一種驚人的瓷磚圖案。他發現僅通過兩種不同的形狀，就可以構造出一個能實現五重對稱，並能無限延續下去且不會自我重複的圖案。也就是說用兩種形狀的瓷磚進行平鋪最終會得到非周期性的圖案。

他觀察到，一個正五邊形可以由6個更小的正五邊形，以及5個頂角為36°的等腰三角形組成（如上圖所示）。在這之後，以相同的方式重複這一過程，如此一來，在下一次迭代之後形成的6個正五邊形中就會出現菱形（下圖左）。

在下一代迭代中，菱形會演變成冒著尖尖的形狀（上圖中），並且可以在其中添加一個正五邊形，從而中間的空缺部分可被劃分為一個正五邊形、一個五角星和一個像船隻一樣的圖案（上圖右）。

對新的正五邊形的放置也預示了五角星和「船隻」的放置規則。如此一來，利用這種規則，我們可以用四種形狀來進行平鋪。

下面的圖形便是在這種規則下利用這四種形狀可以得到的平鋪圖案。

通過對這些形狀進行一些簡單的修改，彭羅斯成功創造出了非周期性、非重複性的圖案。再後來，他僅用兩種菱形就構建了這種非周期性的圖案。

上圖所示的彭羅斯瓷磚就是由兩種並不具有五重對稱的菱形構成的。

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在所有可能的排列中，自然界特別偏愛這類規律的排列，這與組裝它們所需的能量是最少的這一事實有關。直到最近幾十年我們才了解到，其實這種非周期性且永不重複的排列圖樣同樣也可以存在於晶體之中。

上世紀80年代，丹·謝赫特曼（Dan Schechtman）發現了一種在所有方向上都具有非周期性圖案，並且在旋轉72°時仍具有旋轉對稱性的「鋁錳」合金。對於這個結果，許多科學家都表示無法相信，因為在此之前，沒有平移對稱但具有旋轉對稱的晶體實際上是不可想像的。但結果證明，這樣的結構可以用彭羅斯瓷磚的一種形式來解釋。現在，具有這類不同尋常的對稱性結構的晶體被稱為「準晶體」。

○ 圖片來源：Nobelprize

準晶體永不重複的模式源自於其構造核心的無理數，這個無理數就是一次又一次出現在彭羅斯鑲嵌裡的黃金分割率（Φ）。在彭羅斯鑲嵌中，厚的菱形與薄的菱形的數量比是Φ；準晶體中原子間各種距離的比值也總是與Φ相關。

Φ的數值大約是1.618，它滿足Φ = 1 1/Φ的關係。對一個正五邊形來說，它所含有的五角星的邊長與它自身的邊長之比就等於Φ。因此，當一個準晶體是由正五邊形構成的時，我們就能觀察到72°角的旋轉對稱性。

準晶體材料的耐磨性使得它們具有許多實際應用，一個貼近我們日常生活的例子是，它們可被用作為煎鍋的防刮塗層。因此，彭羅斯開啟的這項研究不僅僅是一個概念性的數學挑戰，它在許多實際應用中都具有很大的前景，包括製造高效的準晶體雷射器。此外，一些研究人員也在思考如何將準晶體添加到家居塗料中，以此產生需要的反光效果。

文：佐佑

參考來源：

https://theconversation.com/the-maths-behind-impossible-never-repeating-patterns-63801

https://plus.maths.org/content/trouble-five

https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/aperiodic-tiles

https://www.wadham.ox.ac.uk/news/2014/january/non-repeating-patterns

https://plus.maths.org/content/os/issue16/features/penrose/index

https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-chemistryprize2011.pdf